第3节　函数的奇偶性

第3节函数的奇偶性、高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102课标解读1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解的概念和几何意义.强基础•固本增分知识梳理1.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且

关于y轴对称奇函数

关于原点对称f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)

2.函数的(1)数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=

,那么函数f(x)就叫做数.非零常数

就叫做这个函数的.

并非所有数都有最小正(2)最小正:如果在数f(x)的所有存在一个

的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正.

[教材知识深化]若T是函数f(x)的,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的.f(x)T最小自主诊断

××√√2.(人教B版必修第一册习题3-1B第8题改编)已知函数f(x)=(x-1)2+ax+2是偶函数,则实数a的值为

.

2解析

(方法一)由题意得f(1)=a+2,f(-1)=-a+6,因为f(x)是偶函数,所以f(1)=f(-1),即a+2=-a+6,解得a=2.(方法二)f(x)=(x-1)2+ax+2=x2+(a-2)x+3,因为f(x)是偶函数,所以a-2=0,解得a=2.3.(人教A版必修第一册习题3.2第11题改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则f(x)的解析式为

.

B

B

6.(2024·上海,4)设a∈R,且f(x)=x3+a是奇函数,则a=

.

0解析

∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,即03+a=0,解得a=0.研考点•精准突破考点一函数奇偶性的判定

解

由题知,f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.

解

(方法一

定义法)当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).所以f(x)为奇函数.(方法二

图象法)作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.

(3)性质法:若f(x),g(x)有相同的定义域,则

f(x)g(x)f(x)±g(x)f(x)·g(x)f(g(x))奇奇奇偶奇奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶偶偶奇非奇非偶奇偶

B

B

考点二函数奇偶性的应用例2(1)(2024·上海开学考试)已知函数f(x)=x5+ax3+bx+8,且f(-2)=10,那么f(2)等于(

)A.-18 B.-10 C.6

D.10C解析

f(-2)=(-2)5+a×(-2)3+b×(-2)+8=10,令f(2)=25+a×23+2b+8=t,则f(-2)+f(2)=(-2)5+a×(-2)3+b×(-2)+8+25+a×23+2b+8=t+10,即8+8=10+t,可得t=6,即f(2)=6.故选C.

D

(3)(2024·北京期中)定义在R上的奇函数f(x)满足:当0<x<2时,f(x)<0,当x>2时,f(x)>0.则不等式xf(x)>0的解集为(

)A.(2,+∞)B.(-2,0)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2)C

(4)(2024·福建漳州期末)若函数f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=2x+x+1,则当x<0时,f(x)=

.

2-x-x+1解析

因为函数f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=2x+x+1,所以当x<0时,-x>0,所以f(-x)=2-x-x+1,即f(x)=2-x-x+1,所以当x<0时,f(x)=2-x-x+1.规律方法已知函数奇偶性可以解决的四个问题求函数值利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用函数奇偶性求出求参数利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程(组)求得参数画图象利用奇偶性可画出对称区间上的图象并解决单调性等相关问题

B解析

由f(x)=x3+x可得f(-x)=-x3-x=-f(x),且函数f(x)的定义域R关于原点对称,所以f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a)=-b,故选B.

A

(-∞,-2)∪(0,2)

考点三函数的

C解析

由f(x+1)=f(x-1),得f(x)是2的数,又f(-5)=f(4.5),所以f(-1)=f(0.5),即-1+a=1.5,所以a=2.5.故选C.(2)应用:的应用主要有两个方面