2025高考数学函数竞赛专项训练（50道情境压轴题）

2025高考数学函数竞赛专项训练（50道情境压轴题）一、选择题（每题1分，共5分）1.设函数f(x)=x²2x+3，则f(x)的最小值为A.1B.2C.3D.42.函数y=log₂(x²4x+5)的定义域为A.(1,3)B.[1,3]C.(1,+∞)D.[1,+∞)3.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(x)的周期为A.πB.2πC.π/2D.4π4.函数y=2ˣ+2⁻ˣ的最小值为A.2B.3C.4D.55.设函数f(x)=x³3x²+2，则f(x)的极大值点为A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3二、判断题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x²在R上为偶函数。（）2.函数y=log₃x在(0,+∞)上为增函数。（）3.函数f(x)=sinx在[0,2π]上的最大值为1。（）4.函数y=2ˣ在R上为奇函数。（）5.函数f(x)=x³在R上为严格递增函数。（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x²4x+3的零点为______。2.函数y=log₅(x+2)的定义域为______。3.函数f(x)=cos(3x)的周期为______。4.函数y=eˣ+e⁻ˣ的最小值为______。5.函数f(x)=x³6x²+9x+1的极值点为______。四、简答题（每题2分，共10分）1.求函数f(x)=x²6x+8的极值。2.判断函数f(x)=x³3x+1在R上的单调性。3.求函数y=log₂(2x1)的定义域。4.求函数f(x)=sin(2x+π/6)的周期和振幅。5.求函数y=3ˣ+3⁻ˣ的最小值。五、应用题（每题2分，共10分）1.某商品的价格P与需求量Q满足关系式P=100Q²，当Q=5时的边际收益为多少？2.一个质点沿直线运动，其位置函数为s(t)=t³6t²+9t+1，求t=2时的瞬时速度。3.某工厂生产成本函数为C(x)=x²10x+100，求生产量为6时的边际成本。4.函数f(x)=x³3x²+2在区间[0,3]上的最大值和最小值。5.求函数y=ln(x²+1)在x=1处的导数值。六、分析题（每题5分，共10分）1.已知函数f(x)=x³3x²+ax+1在x=1处取得极值，求a的值，并分析函数的单调性和极值。2.设函数f(x)=eˣax，当a取何值时，方程f(x)=0在R上有唯一实数解？有两个不同的实数解？无实数解？七、实践操作题（每题5分，共10分）1.某工厂生产两种产品A和B，其利润函数分别为P₁(x)=20xx²和P₂(y)=30y2y²，其中x和y分别为产品A和B的产量。若总产量限制为x+y=15，求如何分配产量使总利润最大。2.某公司投资项目的收益函数为R(t)=100te⁻⁰·¹ᵗ，其中t为时间（年）。求何时收益达到最大值，最大收益为多少？八、专业设计题（每题2分，共10分）1.设计一个二次函数f(x)=ax²+bx+c，使其图像经过点(1,3)、(2,7)、(1,1)，求a、b、c的值。2.构造一个分段函数f(x)，使得当x≤0时f(x)=x²+1，当x>0时f(x)=2x1，画出该函数的图像并说明其连续性。3.设计一个指数函数模型y=a·bˣ来描述某城市人口增长情况，已知初始人口为50万，5年后增长到80万，求a和b的值。4.构造一个三角函数f(x)=A·sin(ωx+φ)+k，使其最大值为5，最小值为1，周期为2π，且过点(0,2)。5.设计一个复合函数f(x)=ln(g(x))，其中g(x)为二次函数，要求f(x)的定义域为[1,5]，且f(2)=0，f(4)=ln4。九、概念解释题（每题2分，共10分）1.解释函数的单调性概念，并举例说明如何判断一个函数在给定区间上的单调性。2.什么是函数的奇偶性？请分别给出奇函数和偶函数的定义及判断方法。3.解释函数的周期性概念，并说明如何求三角函数的周期。4.什么是函数的极值？请说明函数极值存在的必要条件和充分条件。5.解释函数的连续性概念，并说明函数在一点连续的三个条件。十、思考题（每题2分，共10分）1.如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么在(a,b)内是否一定存在点c使得f'(c)=0？请说明理由。2.函数f(x)=x³和g(x)=|x|³在R上的单调性有何不同？为什么会出现这种差异？3.为什么说指数函数y=aˣ(a>0,a≠1)的图像恒过点(0,1)？这个性质在实际应用中有什么意义？4.函数f(x)=sinx+cosx的最大值和最小值分别是多少？请思考如何通过变形来求解这类三角函数的最值问题。5.如果函数f(x)在x₀点可导，那么f(x)在x₀点是否一定连续？反之，如果f(x)在x₀点连续，是否一定可导？请举例说明。十一、社会扩展题（每题3分，共15分）1.某电商平台的双十一销售数据可以用函数S(t)=1000·2⁻⁰·¹ᵗ来模拟，其中t为时间（小时），S(t)为t时刻的销售额（万元）。求前6小时的总销售额，并分析该函数模型的特点。2.某城市的空气质量指数AQI与温度T（℃）的关系可以用函数AQI=50+2T+0.1T²来描述。当温度在10℃到30℃之间变化时，求AQI的平均变化率，并分析温度对空气质量的影响。3.某股票的价格P(t)可以用函数P(t)=100·e⁰·⁰⁵ᵗ来模拟，其中t为时间（月）。求该股票的年增长率，并预测2年后的股票价格。4.某产品的市场需求量Q与价格P的关系为Q=1000·P⁻⁰·⁵，其中P>0。求当价格从20元涨到25元时，需求量的相对变化率，并分析该产品的价格弹性特征。5.某地区的新冠病毒传播可以用函数N(t)=500/(1+49·e⁻⁰·³ᵗ)来描述，其中t为时间（天），N(t)为t天的累计感染人数。求该函数的拐点，并解释拐点的流行病学意义。一、选择题答案：1.B2.B3.A4.A5.C二、判断题答案：1.√2.√3.√4.×5.√三、填空题答案：1.x=1,x=32.x>23.2π/34.25.x=1,x=3四、简答题答案：1.极小值f(3)=12.在(∞,1]和[1,+∞)上递增，在[1,1]上递减3.x>1/24.周期π，振幅15.最小值2五、应用题答案：1.502.33.24.最大值3，最小值15.1六、分析题答案：1.a=3，在(∞,1]上递减，在[1,+∞)上递增，极小值f(1)=12.a=0时唯一解，0<a<e时两解，a≥e或a≤0时无解七、实践操作题答案：1.x=5，y=10，最大利润1252.t=10年，最大收益约367.9一、函数基础理论1.函数概念与性质：包括函数的定义域、值域、对应关系等基本概念2.函数的单调性：增函数、减函数的判断与应用3.函数的奇偶性：奇函数、偶函数的判定与性质4.函数的周期性：周期函数的概念与周期求解5.函数的极值：极大值、极小值的求法与应用二、初等函数理论1.二次函数：顶点式、标准式、零点求解2.指数函数：底数限制、单调性、图像特征3.对数函数：定义域、单调性、换底公式4.三角函数：正弦、余弦函数的周期、振幅、相位5.幂函数：幂指数对函数性质的影响三、函数应用理论1.函数建模：实际问题转化为数学模型2.最优化问题：函数最值在实际中的应用3.函数图像分析：通过图像理解函数性质4.函数方程：含参数函数方程的求解5.复合函数：函数的复合运算与性质各题型考察知识点详解及示例：一、选择题考察要点：主要考察学生对函数基本概念的掌握程度，包括函数性质、特殊函数特征、基本运算等。如第1题考察二次函数最值求解，需要学生掌握配方法或公式法；第3题考察三角函数周期，需要理解周期函数的定义。二、判断题考察要点：重点检验学生对函数性质判断的准确性，包括奇偶性、单调性、周期性等性质的识别。如第4题考察指数函数奇偶性，需要学生知道指数函数既非奇函数也非偶函数。三、填空题考察要点：着重训练学生函数计算的准确性，包括零点求解、定义域确定、周期计算等。如第1题考察二次函数零点，需要熟练运用因式分解或求根公式。四、简答题考察要点：深入考察学生对函数性质的理解和应用能力，包括极值求解、单调性分析、定义域确定等。如第2题需要学生通过导数分析函数单调性，体现导数与函数性质的关系。五、应用题考察要点：检验学生将函数