直线、射线、线段（知识点总结 11大题型 解题技巧）易错点重难点培优同步讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

6.2直线、射线、线段【题型1】直线、射线、线段的识别与表示1.核心知识点总结 三者本质区别： 图形端点个数延伸方向能否度量直线0向两方无限延伸否射线1向一方无限延伸否线段2不延伸是 表示方法： 直线：直线AB(AB为直线上两点，无序)或直线l(小写字母)。 射线：射线OA(O为端点，有序，端点字母在前)或射线l。 线段：线段AB(AB为端点，无序)或线段a。2.高频考点梳理 判断表示方法的正误(如“射线AO与射线OA是否为同一条射线”)。 根据图形识别直线、射线、线段的类型。 结合图形统计射线、线段的条数。3.易错点警示 混淆射线的表示顺序，端点字母未写在前面(如误将射线OA写成射线AO)。 认为“射线比直线短”“直线可以度量长度”等错误认知。 统计射线时遗漏直线上各点对应的不同方向射线。4.解题技巧拆解 识别类题目：先看端点个数，再看延伸方向，排除不符合特征的选项。 表示类题目：牢记“射线端点在前、直线/线段无序”的核心规则。 计数类题目：线段按“n点共线时线段数为n(n−1)2【例题1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①射线AB和射线BA是同一条射线；②直线AB和直线BA不是同一条直线；③一条直线上一点把这条直线分成两条射线；④直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点．其中，正确的是（填序号）．【答案】③④【分析】本题主要考查直线、线段、射线的知识点，熟练掌握直线，射线的含义及表示方法是解题的关键．根据直线、线段以及射线的概念来解答即可．【详解】解：①射线AB和射线BA是同一条射线，该说法错误，因为两射线的端点和方向不同，不符合题意；②直线AB和直线BA是同一条直线，故原说法错误，不符合题意；③一条直线上一点把这条直线分成两条射线，说法正确，符合题意；④直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点，说法正确，符合题意．其中，正确的是③④，故答案为：③④．【变式题1-1】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，下列语句：①点A在直线BC上；②直线BC经过点B；③直线AC，BC交于点C；④点C在直线AB外；⑤图中共有6条射线，以上表述正确的有.（只填写序号）【答案】②③④【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解．【详解】解：由图可知：①点A在直线BC外，故原说法错误；②直线BC经过点B，原说法正确；③直线AC、BC交于点C，故原说法正确；④点C在直线AB外，原说法正确；⑤图中是射线的有：射线BD、射线BE、射线BA、射线BC、射线CM、射线CN、射线CA、射线CB、射线AH、射线AG、射线AB、射线AC共12条，故原说法正确；∴以上表述正确的有②③④；故答案为②③④．【变式题1-2】．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，平面内有A，B，C三点．(1)按下列语句作出图形：①作直线AB；②作射线AC；③作线段BC．(2)指出图中有哪几条线段．(3)指出图中有几条射线，并写出能用图中字母表示的射线．【答案】(1)作图见解析(2)线段AB,BC,AC(3)6条，见解析【分析】本题主要考查了作直线，射线，线段，对于（1），根据直线是向两方无限延伸的，射线是向一方无限延伸，线段有两个端点画出图形即可；对于（2），根据线段有两个端点解答；对于（3），根据射线是向一方无限延伸的解答，并表示出来．【详解】（1）解：如图所示；（2）解：线段AB,BC,AC（3）解：一共有6条射线，射线AB,射线BA，射线AC．【变式题1-3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知平面内的三个点A，B，C，按要求画图：画线段AB，画射线BC，画直线AC，下列画出图形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查作图—复杂作图、两点间的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据线段、射线、直线的定义画图即可．【详解】解：按题意如下图：故选：C．【题型2】两点确定一条直线的应用1.核心知识点总结 基本事实：经过两点有且只有一条直线(简称“两点确定一条直线”)。 核心应用：确定直线位置、解释生活现象、计算直线条数。2.高频考点梳理 用基本事实解释生活现象(如“钉两个钉子固定木条”“建筑工人砌墙弹墨线”)。 已知平面内n个点(无三点共线或部分共线)，求能画出的直线条数。 判断多点共线时的直线构成情况。3.易错点警示 忽略“三点共线”情况，导致直线条数计算漏解。 混淆“两点确定一条直线”与“两点之间线段最短”的应用场景。4.解题技巧拆解 解释现象类：直接关联“两点确定直线唯一性”，说明操作的依据。 计数类：分两种情况讨论——①无三点共线：直线条数为n(n−1)2；②有k点共线：总条数为n(n−1)【例题2】．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下列现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（

）A．钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面 B．笔尖在纸上滑动，形成一条线C．把弯曲的公路改直，可以缩短路程 D．锯木料时，利用两点弹出一条墨线【答案】D【分析】本题考查了线段的性质，直线的性质，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．根据线段的性质，直线的性质，点、线、面、体，逐一判断即可解答．【详解】解：A、钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面，可以用基本事实“线动成面”来解释，故A不符合题意；B、笔尖在纸上滑动，形成一条线，可以用基本事实“点动成线”来解释，故B不符合题意；C、把弯曲的公路改直，可以缩短路程，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，故C不符合题意；D、锯木料时，利用两点弹出一条墨线，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，故D符合题意；故选：D【变式题2-1】．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）用两个钉子把一根细木条钉在木板上，木条不能转动，能解释这一实际应用的数学知识是（

）A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短C．点动成线 D．线动成面【答案】A【分析】本题考查了两点确定一条直线的应用，理解两点确定一条直线是解题的关键．【详解】解：用两个钉子把一根细木条钉在木板上，木条不能转动的依据是两点确定一条直线，故选：A．【变式题2-2】．（24-25七年级上·四川成都·期末）墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其中的道理是（

）A．直线最短 B．两点之间的距离C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线【答案】D【分析】本题考查了直线的性质，解题的关键是掌握直线的性质．根据直线的性质：两点确定一条直线可得答案．【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．这其中包含的数学道理是两点确定一条直线，故选：D．【变式题2-3】．（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】（1）如图①，已知两点确定一条直线，则：图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线；图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线；图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线．【探索归纳】（2）如果平面内有nn≥3个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n【解决问题】（3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？【答案】（1）3，6，10；（2）nn−12；（3）他们共握了【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是仔细地观察图形并找到其中的规律．（1）根据图形画出直线即可；（2）根据上面得到的规律用代数式表示即可；（3）将n=45代入公式即可求解．【详解】解：（1）根据图形得：如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线；故答案为：3，6，10；（2）如果平面上有n(n≥3)个点，且任意3个点均不在同一条直线上，∴1+2+3+……+n−1=n(n−1)那么经过两点最多可以画n(n−1)2故答案为：n(n−1)2（3）某班级聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握n−1n把n=45代入n−1n2，得答：他们共握了990次手．【题型3】两点之间线段最短的实际应用1.核心知识点总结 基本事实：两点的所有连线中，线段最短(简称“两点之间，线段最短”)。 两点间距离：连接两点的线段的长度(注意：距离是数值，线段是图形)。2.高频考点梳理 选择最短路径(如“从A地到B地选笔直道路”“蚂蚁爬行最短路线”)。 结合图形计算两点间距离，或比较路径长短。 解决“河道改直”“公路取直”等实际问题的数学原理分析。3.易错点警示 混淆“线段”与“两点间距离”(误将线段本身当作距离)。 立体图形中最短路径问题，未将立体图形展开为平面图形。4.解题技巧拆解 平面内最短路径：直接连接两点，线段即为最短路径。 立体图形(如圆柱、长方体)：先沿棱展开为平面图形，再连接两点找线段。 距离计算：利用线段和差、中点等知识，转化为已知线段长度的计算。【例题3】．（22-23七年级上·江苏扬州·月考）下列现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象有（）A．②④ B．①③ C．①④ D．③④【答案】A【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的实际应用，解题的关键是熟练掌握该定理．利用两点之间线段最短逐项进行判断即可．【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，可用“两点之间线段最短”来解释，符合题意；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，可用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用“两点之间线段最短”来解释，符合题意；故选：A．【变式题2-1】．（20-21七年级上·陕西西安·期末）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．经过一点有无数条直线B．两点之间，线段最短C．两点确定一条直线D．两点间的线段的长度，叫做这两点的距离【答案】B【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的实际应用，解题的关键是熟练掌握该知识点．利用两点之间线段最短即可求解．【详解】解：剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，根据是两点之间线段最短，故选：B．【变式题2-2】．（24-25七年级上·广西防城港·期末）如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（

）．A．两点之间线段最短 B．两点之间直线最短C．两点确定一条直线 D．直线比曲线短【答案】A【分析】本题考查了两点之间线段最短，结合把弯曲的河道改直，能够缩短航程，则这样做根据的道理是两点之间线段最短，即可作答．【详解】解：∵把弯曲的河道改直，能够缩短航程，∴这样做根据的道理是两点之间线段最短，故选：A．【变式题2-3】．（24-25七年级上·湖北随州·期末）下列生活中的做法与其运用的数学原理对应正确的是（

）（1）如图①，工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线）（2）如图②，把弯曲的公路改直，就能缩短路程（两点之间线段最短）A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错【答案】C【分析】本题主要考查了直线的性质，线段公理等知识；将实际问题数学化是解决问题的关键可根据公理“两点确定一条直线”；线段的性质即可判断，即可求解．【详解】解：工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线），符合题意；把弯曲的公路改直，就能缩短路程（垂线段最短），做法与其运用的数学原理是两点之间线段最短，符合题意；故选：C．【题型4】尺规作线段(和差、倍分)1.核心知识点总结 尺规作图定义：用无刻度的直尺和圆规作图(保留作图痕迹，不写作法)。 基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作线段的和(a+b)、差(a−b，a>b)、倍分(2a、122.高频考点梳理 按要求作线段(如“作线段AB=2a−b”“作线段CD=3a+c”)。 结合作图结果进行线段长度计算。3.易错点警示 作线段差时，未在较长线段上截取较短线段。 作倍分线段时，截取方向错误(如反向延长导致长度偏差)。 遗漏作图痕迹(如圆弧痕迹未保留)。4.解题技巧拆解 通用步骤：①作射线l(确定起始方向)；②用圆规量取已知线段长度；③按“和差倍分”要求依次截取： 和(a+b)：先截AC=a，再在AC延长线上截CB=b，则AB=a+b。 差(a−b)：先截AB=a，再在AB上截AD=b，则DB=a−b。 倍分(2a)：连续两次在射线上截AC=CD=a，则AD=2a。【例题4】．（25-26七年级上·全国·课后作业）线段a，b，c如图所示，用尺规作一条线段AD，使AD=a+b−c（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】【分析】本题考查了线段和差的尺规作图，在射线上截取点C，使AC=a+b，再在线段上截取点D，使CD=c，根据线段的和差计算，可知AD线段即为所求，正确理解线段和差的尺规作图步骤是解题的关键．【详解】解：如图：在射线上截取点C，使AC=a+b，再在线段上截取点D，使CD=c，根据线段的和差计算，AD=AC−CD=a+b−c，可知AD线段即为所求．【变式题4-1】．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，已知线段a、b．(1)请用尺规按要求作图，作线段AB，使AB=2a+b；（保留作图痕迹）(2)在（1）条件下，若点C为AB上的任意一点，点D为BC的中点，点E为AC的中点，请写出DE与AB的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)DE=1【分析】本题考查了线段和的尺规作图，线段中点的定义；（1）作一条以A为端点的射线，以A为圆心，a的长为半径画弧，连续截取两次，再按同样的作法顺次截取线段b，即可求解；（2）由线段的中点可得CD=12BC，EC=掌握线段的作法，根据题意用线段的和差表示线段，能利用线段中点的定义进行线段的等量转换是解题的关键．【详解】（1）解：如图，线段AB即为所求作的线段；（2）解：如图

∵D为BC的中点，∴CD=1∵E为AC的中点，∴EC=1∴DE=EC+CD===1∴DE=1【变式题4-2】．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）（1）如图，已知线段a、b．请用尺规按要求作图：①作线段AB=a；②在线段AB的延长线上截取BC=b；(不要求写画法，保留作图痕迹)（2）若点D是线段AC的中点，用含a、b的式子表示线段BD的长．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）BD=【分析】本题考查了作线段、与线段中点有关的计算、整式加减的应用，熟练掌握作线段和线段的运算是解题关键．（1）①根据作线段的方法，作线段AB=a即可得；②根据作线段的方法，在线段AB的延长线上截取BC=b即可得；（2）先求出AC=a+b，再根据线段中点的定义可得AD=a+b2，然后根据【详解】解：（1）①作线段AB=a，如图所示：②在线段AB的延长线上截取BC=b，如图所示：（2）∵AB=a，BC=b，∴AC=AB+BC=a+b，∵点D是线段AC的中点，∴AD=1∴BD=AB−AD=a−a+b【变式题4-3】．（24-25七年级上·重庆永川·阶段练习）如图，在同一平面内有三个点A、B、C，和两条线段a，b利用尺规按下面的要求作图（要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论）．(1)①作射线BA；②作线段BC；③作直线AC．(2)尺规作图：在射线BA上作线段AD=2a−b，其中AE=2a，DE=b（保留作图痕迹，不写作法）；(3)在（2）的条件下，当a=6cm、b=4cm时，若点M、N分别是线段AD、DE的中点，求线段解：由题可知DE=b=4 cm,AD=2a−b=∵M、N分别是线段AD、DE的中点∴MD=12AD=_____∴MN=_____+_____=4+2=6【答案】(1)①画图见解析；②画图见解析；③画图见解析(2)作图见解析(3)见解析【分析】本题考查的是画线段，射线，直线，作线段的和差，线段中点的含义；（1）①根据射线BA的特点画图即可；②连接B,C两点即可；③过A,C画直线即可；（2）在射线BA上截取AE=2a，在线段AE上截取DE=b，可得线段AD即为所求；（3）根据题干信息的提示完成解答过程即可.【详解】（1）解：①如图，射线BA即为所求；②如图，线段BC即为所求；③如图，直线AC即为所求；（2）解：如图，线段AD即为所求；（3）解：如图，当a=6cm、b=4由题可知DE=b=4 cm,AD=2a−b=8∵M、N分别是线段AD、DE的中点∴MD=12AD=4cm∴MN=MD+DN=4+2=6cm【题型5】线段的和差倍分计算(提升)1.核心知识点总结 线段和差关系：AC=AB+BC(B在线段AC上)；AC=|AB−BC|(B在线段AC延长线或反向延长线上)。 比例关系：若AC:CB=m:n，则设AC=mk，CB=nk，总长度AB=(m+n)k(k为比例系数)。2.高频考点梳理 已知线段比例和某段长度，求总长度或其他线段长度(如“AC:BC=2:3，AB=25cm，求AC”)。 结合图形列等式，求解未知线段(如“AB=10cm，BC=2AB，求AC”)。3.易错点警示 未明确点的位置关系(在线段上或延长线)，导致漏解。 比例设元时，单位统一错误或计算失误。 混淆“线段和”与“线段差”的适用场景。4.解题技巧拆解 步骤：①画图确定各点位置(不确定时分类讨论)；②设未知数(比例关系设k，长度未知设x)；③列等式(根据和差、比例关系)；④求解并验证。 关键：数形结合，先通过图形明确线段间的包含或并列关系，再列方程。【例题5】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．已知线段a，b，c，某同学按照下面步骤进行了规范、正确的尺规作图：第一步，在直线上作线段AB=a；第二步，在线段AB的延长线上作线段BC=b；第三步，在线段AC的延长线上作线段CD=b；第四步，在线段AD上作线段AE=c．根据以上尺规作图可知，线段ED的长是．【答案】a+2b−c【分析】本题主要考查尺规作图的定义，熟练掌握线段之间的和差是解题的关键．利用线段和差定义判断即可．【详解】解：由图可知：AB=a,BC=CD=b,AE=c，∴AD=AB+BD=a+2b，∴DE=AD−AE=a+2b−c，故答案为：a+2b−c．【变式题5-1】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，已知点B、C、E都是线段AD上的点，AC=13AD=10，BD=6，点E(1)求AE的长（请根据提示，将下列过程补充完整）：解：（1）∵AC=∴AD=3=3×10=30∵BD=6∴AB==∵点E是AB的中点∴AE=12(2)若点F是CD的中点，则EF的长为______.【答案】(1)AC；AD−BD；24；AB，12(2)8【分析】本题考查线段的和差运算，线段中点的含义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．（1）根据AC=13AD=10，BD=6，求出AB（2）首先求出CE，得到CD，根据中点的定义求出CF，即可．【详解】（1）解：∵AC=∴AD=3AC=3×10=30∵BD=6∴AB=AD−BD=24∵点E是AB的中点∴AE=（2）解：∵AE=12,AC=10，∴CE=2．∵AD=30，AC=10，∴CD=20．∵点F是CD的中点，∴CF=1∴EF=CF−CE=8．故答案为：8．【变式题5-2】．（25-26七年级上·全国·月考）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧(1)若AB=15，DE=6，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②若点F（异于B、C)在线段BC上，且AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长；(2)若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=3【答案】(1)①6.5；②13(2)116或【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，线段的和差，比较难，需要熟练进行分类讨论．（1）根据AC=2BC，AB=15，DE=6，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，根据中点定义即可求AD的长；②分情况讨论，即点E在点F的左侧或右侧，分别讨论即可解答；（2）根据AC=2BC，AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，满足关系式AD+ECBE=32，可以设CE=x，DC=y，用含x和y的式子表示线段长，从而得出x与【详解】（1）解：AB=15，DE=6，AC=2BC，∴BC=5，AC=10，①如图，∵E为BC中点，∴CE=BE=2.5，∴CD=DE−CE=3.5，∴AD=AB−CD−BC=15−3.5−5=6.5；②分两种情况：i）当点E在点F的左侧，且E在线段BC上，如图，∵CE+EF=3，∴CF=3，∴AF=AC+CF=10+3=13，∵AF=3AD，∴AD=1当点E在点F的左侧，且E在线段AC上，如图，设AD=x，则AF=3x，DF=2x，∴EF=DF−DE=2x−6，CE=AC−AD−DE=10−x−6=4−x，∵CE+EF=3，∴2x−6+4−x=3，解得x=5，此时，CE=4−x=4−5=−1（不合题意舍去）ⅱ）当点E在点F的右侧，如图，设AD=x，则AF=3x，DF=2x，∴EF=DE−DF=6−2x，CE=AD+DE−AC=x+6−10=x−4，∵CE+EF=3，∴6−2x+x−4=3，解得x=−1（不合题意舍去）综上所述，AD的长为133（2）解：∵AC=2BC，AB=2DE，满足关系式AD+ECBEⅠ、当点E在点C右侧时，如图，设CE=x，DC=y，则DE=x+y，∴AB=2(x+y)，AC=2∴AD=AC−DC=4BC=1∴BE=BC−CE=2∴AD+EC=7∵2(AD+EC)=3BE，∴27解得，17x=4y，∴CDABⅡ、当点E在点A左侧时，如图，设CE=x，DC=y，则DE=y−x，∴AB=2(y−x)，AC=2∴AD=DC−AC=4BC=1∴BE=BC+CE=2∴AD+EC=7∵2(AD+EC)=3BE，∴27解得，11x=8y，∴CDAB点D在C点右侧，及点D在B点右侧，无解，不符合题意；当DE在线段AC内部时，如图，设CE=x，DC=y，则DE=y−x，∴AB=2(y−x)，AC=2∴AD=AC−DC=1BC=1∴BE=BC+CE=2∴AD+EC=−1∵2(AD+EC)=3BE∴2−解得，−5x=4y（不符合题意，舍去），∴CDAB其他情况不存在，舍去．故答案为：1742或11【变式题5-3】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）对于题目“已知A、B、C在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm，求(1)请认真阅读下列解法，并填空：解法一：根据题意可分如下两种情形：①如图，C点在线段AB上，AC==3−1=2cm②如图，C点在线段AB延长线上，AC==3+1=4cm．所以线段AC的长为2cm或4解法二：如图，在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴．则A：表示的数为0，B：表示的数为3；因为BC=1，所以点C表示的数为；所以线段AC的长为2cm或4(2)已知A、B、C、D在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm，AD=1cm，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出CD的长为(3)已知线段AB=3，线段CD在直线AB上运动，且CD=5，在运动的过程中，若点M、N分别为线段AC、BD的中点，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出MN的长为．【答案】(1)解法一：①AB−BC，②AB+BC解法二：2或4(2)1或3或5(3)线段MN的长度为4或1．【分析】本题考查数形结合的应用，数轴上两点间的距离，线段之间的和差．（1）解法一：根据线段的和差即可求解，解法二：利用数轴上点的位置和两点间的距离即可求解；（2）解法一：按照点C和点D与线段AB的位置关系进行分类讨论，根据线段的和差计算即可；解法二：在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立数轴，则A表示的数为0，B表示的数为3，由BC=1，可得点C表示的数为2或4，由AD=1，可得点D表示的数为±1，分类讨论，分别计算线段CD的长即可；（3）解法一：按照点C和点D与线段AB的位置关系进行分类讨论，根据线段的和差计算即可；解法二：在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立数轴，则A表示的数为0，B表示的数为3，由线段CD在直线AB上运动，且CD=5，设点C表示的数为a，则点D表示的数为a+5或a−5，可得点M和点N表示的数，分类讨论，分别计算线段MN的长即可．【详解】（1）解：解法一：根据线段的和差，①C点在线段AB上，AC=AB−CB=3−1=2cm故答案为：AB−BC．②C点在线段AB延长线上，AC=AB+BC=3+1=4cm故答案为：AB+BC．解法二：设点C表示的数为x，若点C在AB上，则3−x=1，解得x=2，若点C在AB延长线上，x−3=1，解得x=4，∴点C表示的数为2或4．故答案为：2或4．（2）解：解法一：根据题意可分如下四种情形：①点C和点D都在线段AB上，CD=AB−AD−BC=3−1−1=1cm②点C在线段AB上，点D在线段BA的延长线上，CD=AB+AD−BC=3+1−1=3cm，③点C在线段AB的延长线上，点D在线段AB上，CD=AB−AD+BC=3−1+1=3cm，④点C在线段AB的延长线上，点D在线段BA的延长线上，CD=AB+AD+BC=3+1+1=5cm，∴CD的长为1cm或3cm或5故答案为：1或3或5．解法二：在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A表示的数为0，B表示的数为3，∵BC=1，∴点C表示的数为2或4，∵AD=1，∴点D表示的数为±1，∴①当点D表示1，点C表示2时，CD=2−1=1，②当点D表示−1，点C表示2时，CD=2−−1③当点D表示1，点C表示4时，CD=4−1=3，④当点D表示−1，点C表示4时，CD=4−−1∴CD的长为1cm或3cm或故答案为：1或3或5．（3）解：解法一：根据题意可分如下情形：①MN====4，②MN=1======1，∴线段MN的长度为4或1．解法二：在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A表示的数为0，B表示的数为3，∵线段CD在直线AB上运动，且CD=5，设点C表示的数为a，则点D表示的数为a+5或a−5，∵点M为AC的中点，∴点M表示的数为a2∵点N为BD的中点，∴点N表示的数为a+5+32或a−5+3当点N表示的数为a+5+32时，MN=当点N表示的数为a−5+32时，MN=∴线段MN的长度为4或1．【题型6】线段中点与双中点模型(提升)1.核心知识点总结 中点定义：若M是AB中点，则AM=MB=12AB 双中点模型：若M、N分别是AB、BC的中点，则MN=12AC(无论B2.高频考点梳理 单中点计算(如“AB=16cm，M是中点，求AM”)。 双中点模型计算(如“A、B、C共线，M、N分别是AB、BC中点，AC=20cm，求MN”)。 多中点综合(如“M、N、P分别是AB、AC、BC中点，探究MP与AC的关系”)。3.易错点警示 双中点模型中，忽略B点的位置(延长线上时仍误用“和”关系)。 认为“若AM=MB，则M是AB中点”(未强调M在线段AB上)。4.解题技巧拆解 单中点：直接套用中点公式，结合和差计算。 双中点：①画图标注中点位置；②用中点定义替换线段(AM=12AB，BN=12【例题6】．（25-26七年级上·重庆·月考）数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，且满足a<b<0，a=10，b=8，c−162(1)求a、b、c、d的值；(2)若A、B两点以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时C、D两点以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，并设运动时间为t秒．则t为何值时，AB的中点与CD的中点距离3个单位长度；(3)在（2）的条件下，t满足什么条件时，A、B两点都运动在线段CD上（不与C，D两个端点重合）．【答案】(1)a=−10，b=−8，c=16，d=20．(2)154或(3)13【分析】本题考查的是非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．（1）先求解绝对值方程，即可求解a、b，再根据平方和绝对值的非负性可求解c、d．（2）先表示出A、B、C、D四个点在运动中对应的数，再分别表示AB,CD中点对应的数，再根据两点之间的距离公式列方程求解即可．（3）根据A、B、C、D四个点在运动中对应的数，结合A,C重合时，B,D重合时，建立方程求解临界值即可．【详解】（1）解：∵a<b<0，a=10，b∴a=−10，b=−8，∵c−162与d−20∴c−162∴c−16=0，d−20=0，解得：c=16，d=20．（2）解：∵A、B两点以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，∴运动中A、B两点表示的数分别为：−10+6t，−8+6t，∴AB的中点表示的数为：12∵C、D两点以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，∴运动中C、D两点表示的数分别为：16−2t，20−2t，∴CD的中点表示的数为：12∵AB的中点与CD的中点距离3个单位长度，∴−9+6t−18−2t=3，即∴−27+8t=3或−27+8t=−3，解得：t=154或∴运动时间为154s或3s时，AB（3）解：∵AB=−8−−10=−8+10=2，当A,C重合时，∴−10+6t=16−2t，解得：t=13当B,D重合时，∴−8+6t=20−2t，解得：t=7∴当134<t<72时，A、B两点都运动在线段CD上（不与【变式题6-1】．（24-25七年级上·四川成都·月考）如图，已知点C为线段AB上一点，AC=24cm，CB=16cm，D、E分别是AC、(1)AD的长度为______；(2)DE的长度为______；(3)若M在直线AB上，且MB=12cm，求AM【答案】(1)12(2)8(3)AM的长度为52cm或【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键．（1）直接根据D是AC的中点可得答案；（2）先求出AB的长，然后根据E是AB的中点求出AE，根据DE=AE﹣AD即可求解；（3）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可．【详解】（1）解：∵AC=24cm，D是AC∴AD=故答案为：12cm（2）∵AC=24cm，CB=16∴AB=AC+BC=24+16=40（cm），∵E是AB的中点∴AE=1∴DE=AE−AD=20−12=8（cm），故答案为：8cm（3）当M在点B的右侧时，AM=AB+MB=40+12=52（cm），当M在点B的左侧时，AM=AB−MB=40−12=28（cm），∴AM的长度为52cm或28【变式题6-2】．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）如图①，直线l上有顺次三点A、B、C，线段AB=2cm，线段BC=3cm，点M、N分别是线段AB、BC的中点，求线段（2）①以（1）题中的直线建立数轴（如图②），向右为正方向，1cm为1个单位长度，如果点B表示−1，那么点A表示的有理数是___________，A、C两点表示的数之和为___________，线段AC②在①的基础上动点M、N分别从点A、C出发，沿数轴同时向左匀速运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度每秒2个单位长度，___________秒后，M、N两点的距离为1．【答案】（1）52cm；（2）①−3，−1，−12【分析】本题考查数轴与有理数，两点间距离，线段的和差，一元一次方程的应用．（1）根据线段中点的定义求出BM,BN，即可求解；（2）①根据两点间的距离结合数轴的定义即可得到点A表示的有理数，点C表示的有理数，进而求出A、C两点表示的数之和，再根据中点的定义即可求出线段AC的中点表示的有理数；②分别表示出点M、N所表示的数，再根据M、N两点的距离为1列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵AB=2cm，BC=3cm，点M、N的分别是线段AB、∴BM=12AB=1∴MN=BM+BN=1+3（2）①∵AB=2cm，点B表示−1∴点A表示的有理数为−1−2=−3；同理，得点C表示的有理数−1+3=2，∴A、C两点表示的数之和为−3+2=−1，线段AC的中点表示的有理数−3+22故答案为：−3，−1，−1②根据题意，点M所表示的数为−3−t，点N所表示的数为2−2t，∵M、N两点的距离为1，∴2−2t−−3−t=1解得t=4或t=6，故答案为：4或6．【变式题6-3】．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知点B、C在线段AD上，线段AD=m，BC=n，且m，n满足m−10+(1)m=_____，n=_____；(2)若M是AB的中点，N是CD的中点（如下图）．①MN的长度为_____；②嘉嘉同学分析探究后说，当线段BC在射线AD上运动时，线段MN的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由．【答案】(1)10，6(2)①8；②同意他的说法，理由见解析【分析】本题主要考查绝对值和平方的非负性，中点性质和线段的和差倍分关系，解题的关键是熟悉线段的关系，（1）根据绝对值和平方的非负性可得m−10=0和n−62=0，解得n（2）①当点B在线段AD上，点C在射线AD上运动时，有AB+CD=AD+BC−2BD=16−2BD，结合中点得BM=AM=12AB和DN=CN=12②当点B在射线AD上，点C在射线AD上运动时，有AB+CD=AD+BC+2BD=16+2BD，由中点得BM=AM=12AB和DN=CN=12CD，则【详解】（1）解：∵点B、C在线段AD上，线段AD=m，BC=n，且m，n满足m−10+∴m−10=0，n−6∴m=10，n=6，故答案为：10，6；（2）解：①当点B在线段AD上，点C在射线AD上运动时：∵AD=10，BC=6，∴AB+CD=AD+BC−2BD=16−2BD，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴BM=AM=12AB∴MN=BM+DN+BD====8−BD+BD=8．②同意他的说法，理由：当点B在射线AD上，点C在射线AD上运动时：∵AD=10，BC=6，∴AB+CD=AD+BC+2BD=16+2BD，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴BM=AM=12AB∴MN=BM+DN−BD====8+BD−BD=8．∴线段MN的长度不变．【题型7】线段n等分点的综合计算(提升)1.核心知识点总结 n等分点定义：若n−1个点将线段AB分成n条相等线段，则这n−1个点为AB的n等分点(如三等分点有2个，每份长度为13 核心关系：n等分点中，第k个分点到端点的距离为knAB(2.高频考点梳理 三等分点、四等分点相关计算(如“AB=12cm，C是AB的三等分点，求AC”)。 等分点与中点结合(如“M是AB中点，C是AB的三等分点，求MC”)。 多等分点综合(如“AB的四等分点C、D，M是CD中点，求AM与AB的关系”)。3.易错点警示 等分点位置不确定(如三等分点可能靠近A或B)，导致漏解。 混淆“n等分点个数”与“份数”(n份对应n−1个分点)。4.解题技巧拆解 步骤：①设线段总长度为n的倍数(如三等分设AB=3k，四等分设AB=4k)；②标注各等分点对应的线段长度；③结合中点或其他条件计算目标线段。 关键：分类讨论等分点的不同位置(靠近左端点或右端点)，避免漏解。【例题7】．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知P是线段AB的中点，点C、D把线段AB三等分，已知线段CP的长为2cm，那么AB的长为cm【答案】12【分析】本题考查了两线段的和、差，掌握线段中点和三等分点的定义是解题的关键．根据题意得出AP=12AB，AC=【详解】解：解：∵AP=BP=12AB∴CP=AP−AC=1∴∴AB=12故答案为：12．【变式题7-1】．（25-26七年级上·江西吉安·期中）【课本再现】定义：若线段上的一个点把这条线段分成1:2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．（1）如图1，点M是线段AB的一个三等分点，满足BM=2AM，若AB=9cm，则AM=______【类比迁移】（2）如图2，已知AB=9cm，点C从点A出发，以每秒23cm的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C【方法运用】（3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为−8、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？【答案】（1）3；（2）t=92或t=9；（3）t为9，【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键．（1）由，BM=2AM，AB=9cm可得出AM（2）点C是线段AB的三等分点分两种情况：AC=13AB（3）根据题意先确定t秒后，点C、D的位置，再分点B是CD的三等分点和点C在BD的三等分点进行讨论求解．【详解】解：（1）∵AB=9cm，BM=2AM∴AB=AM+BM=3AM=9cm解得AM=3cm故答案为：3；（2）点C是线段AB的三等分点分两种情况：当AC=13AB；AB=9∴23t=3当AC=23AB；AB=9∴23t=6综上，t=92或（3）数轴上点A表示−8，点B表示10，运动t秒后：点C的位置：−8+t（速度1单位/秒，向右运动）；点D的位置：10+2t（速度2单位/秒，向右运动），需分两种情况讨论“一个点是另外两点的三等分点”：情况1：点B是CD的三等分点，B在线段CD上，且CB=13CDCD=10+2t−−8+t若18−t=13t+18若18−t=23t+18情况2：点C在BD的三等分点时C在线段BD上，且CB=13BDBD＝2t；若t−18=13×2t若t−18=23×2t所以，t为9，185，54秒时，B，C，D【变式题7-2】．（25-26七年级上·湖南衡阳·月考）【知识准备】①若点C在线段AB上，且把线段AB分成相等的两段，则称点C为线段AB的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段DE上，且把线段DE分成相等的三段，则称点P和点Q为线段DE的三等分点；②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为x+y2（1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则CD的中点N所对应的数为_______________；【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，PQ的中点所对应的数为10？【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为2x+y3：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：3x+y①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________．②在（2）的条件下，若E是PQ最靠近Q的五等分点，F为PC的中点，则是否存在t，使得57OE+2OF为定值？若存在，请求出【答案】（1）32；（2）17；（3）①x+4y5；②当37≤t≤10【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键．（1）求出点D对应的数，即可求解；（2）根据题意可得点P所表示的数为5−t，点Q表示的数为−2+2t，再由PQ的中点所对应的数为10，列出方程，即可求解；（3）①依题意可得出M对应的数；②根据题意可得点E表示的数为7t−35，点F所表示的数为5−12，从而得到OE=【详解】解：（1）∵点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，∴点D对应的数为5−7=−2，∴CD的中点N所对应的数为5−22故答案为：3（2）由题意得，点P所表示的数为5−t，点Q表示的数为−2+2t，∵PQ的中点所对应的数为10，∴12解得：t=17，当t=17时，PQ的中点所对应的数为10；（3）①根据题意∶点M对应的数为x+4y5故答案为∶x+4y5②由题意得，点E表示的数为5−t+4−2+2t5=7t−3∴OE=7t−3∴57当t<37时，当37≤t≤10时，当t>10时，57∴当37≤t≤10时，57【变式题7-3】．（23-24七年级上·山东青岛·期末）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，若a<b，则A、B两点之间的距离AB=b−a，例：在数轴上点A表示的数是5，点B表示的数是15，则A、B两点间的距离为AB=15−5=10．【定义】在数轴上，如果线段AB间从左往右的点M1,M2,M3，…，Mn−1将AB线段n等分，则这n−1个点都叫做线段AB的n等分点．若M1是靠近A的第1个n等分点，则记为A<n,1>，M2是靠近A的第2个等分点，则记为A<n,2>，…【探究一】如图1，在数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，若a<b，则线段AB的二等分点A<2,1>表示的数为a+b−a【探究二】如图2，在数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，若a<b，则线段AB上靠近点A的第2个五等分点A<5,2>表示的数为．【应用一】如图3，（1）在数轴上两点A、B表示的数分别为−10、−2，则线段AB的距离为；（2）数轴上两点C、D表示的数分别为−6、4，则线段CD的距离为；（3）若线段AB上靠近A的四等分点A<4,3>与线段CD上靠近C的十等分点C<10,x>重合，请求出x的值．【应用二】如图4，在数轴上两点A、B表示的数分别为−10和−2，若点P从A点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点Q从B点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为t秒时，线段AB上靠近A的等分点A<8,3>与线段PQ的三等分点重合，请直接写出此时的t为．【答案】[探究二]3a+2b[应用以]（1）8（2）10（3）2[应用二]14秒或7【分析】[探究二]根据“探究一”的计算方法求值即可；[应用一]（1）根据两点之间距离的计算方法计算即可；（2）根据两点之间距离的计算方法计算即可；（3）根据题意，点A<4,3>表示的数为−4，点C<10,x>表示的数为x−6，由此列式即可求解；[应用二]分别表示A<8,3>表示的数，点P,Q表示的数，PQ的值，由线段三等分点的计算方法得到线段PQ靠近点P的三等分点的第一个点<3,1>表示的数为4t−223，三等分的第二个点<3,2>表示的数为−t−14【详解】解：[探究二]a+b−a故答案为：3a+2b5[应用一]（1）点A、B表示的数分别为−10、−2，∴AB=−2−−10故答案为：8；（2）点C、D表示的数分别为−6、4，∴CD=4−−6故答案为：10；（3）线段AB上靠近A的四等分点A<4,3>表示的数为−10+8线段CD上靠近C的十等分点C<10,x>表示的数为−6+10∴x−6=−4，解得：x=2；[应用二]数轴上两点A、B表示的数分别为−10和−2，点P从A点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点Q从B点以每秒2个单位的速度向左移动，出发时间为t秒，线段AB上靠近A的等分点A<8,3>表示的数为−10+−2−∴点P表示的数为−10+3t，点Q表示的数为−2−2t，第一种情况，点P在点Q左边，PQ=−2−2t−−10+3t∴线段PQ靠近点P的三等分点的第一个点<3,1>表示的数为−10+3t+8−5t三等分的第二个点<3,2>表示的数为−10+3t+8−5t∵线段AB上靠近A的等分点A<8,3>与线段PQ的三等分点重合，∴当4t−223=−7时，t=14（秒）；当第二种情况，点P在点Q右边，PQ=−10+3t−−2−2t∴线段PQ靠近点Q的三等分点的第一个点<3,1>表示的数为−2−2t+5t−8三等分的第二个点<3,2>表示的数为−2−2t+5t−8∵线段AB上靠近A的等分点A<8,3>与线段PQ的三等分点重合，∴当−t−143=−7时，t=7（秒）；当4t−223综上所述，线段AB上靠近A的等分点A<8,3>与线段PQ的三等分点重合，此时的t为14秒或7故答案为：14秒或7【点睛】本题主要考查数轴上点与有理数的对应，数轴上两点之间距离的计算，等分点的概念及计算方法，一元一次方程的运用等知识的综合，掌握数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程的运用方法是解题的关键．【题型8】线段计数问题(含规律探究)(提升)1.核心知识点总结 直线上n个点的线段计数公式：n(n−1)2 实际应用模型：①单循环比赛(场次=线段数)；②单程车票(票数=线段数)；③往返车票(票数=2×线段数)。2.高频考点梳理 直接计数：已知直线上点的个数，求线段条数。 规律探究：从特殊到一般，推导n个点的线段计数公式。 实际应用：计算比赛场次、车票种类等(如“6个车站，求往返车票种类”)。3.易错点警示 计数时重复或遗漏(如将线段AB与BA算作两条)。 实际应用中混淆“单循环”与“双循环”(如往返车票需乘2，单循环比赛无需乘2)。4.解题技巧拆解 计数方法：①固定端点法(以A1为端点，有n−1条；以A2为端点，有n−2条……求和)；②公式法(直接套用 实际应用：①单循环(如比赛)：直接用公式；②双循环(如车票)：公式结果×2。【例题8】．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）【观察思考】如图，线段AB上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有条．【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有条线段（用含m的代数式表示）．【拓展应用】若有6支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），且每场比赛都要分出胜负，现在每队胜1场得2分，负一场得1分，某队一共得8分，则一共进行多少场比赛，该队胜了多少场比赛？【答案】观察思考：6；模型构建：mm−1【分析】本题主要考查了线段的条数问题，图形类的规律探索，一元一次方程的应用，熟知相关知识是解题的关键．（1）两点确定一条线段，据此求解即可；（2）求出线段上有2个点（包括端点），线段上有3个点（包括端点），线段上有4个点（包括端点）时，线段的条数，进而总结规律求解即可；（3）把6支球队看做一条线段上的6个点（包括端点），比赛场次即为线段的条数，结合（2）所求可求出比赛场次；6支球队两两比赛，那么每支球队要比赛5场，设该队胜x场比赛，则该队负了5−x场，根据积分为8分建立方程求解即可．【详解】解：观察思考：由题意得，图中线段有线段AC，模型构建：当线段上有2个点（包括端点）时，有1条线段，当线段上有3个点（包括端点）时，有1+2=3条线段，当线段上有4个点（包括端点）时，有1+2+3=6条线段，……，以此类推，可知线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有1+2+3+⋯+m−1=m拓展应用：把6支球队看做一条线段上的6个点（包括端点），比赛场次即为线段的条数，∴一共比赛6×6−1设该队胜x场比赛，则该队负了5−x场∴2x+5−x解得x=3，∴该队胜了3场比赛，答：一共进行15场比赛，该队胜了3场比赛．【变式题8-1】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）平面上有A，B，C，D四点．(1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线．(2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______．(3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手．(4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理：①要定_______种不同的票价；

②要准备_______种不同的车票．【答案】(1)1或4或6(2)n(3)1770(4)①21，②42【分析】此题考查图形的变化规律，找出运算的规律与方法，得出规律，解决问题．（1）分三种情况：当四个点在同一直线上时；当只有三个点在同一直线上时；当任意三点都不在同一直线上时，即可求解；（2）根据题意可得线段的总条数为n−1+n−2+⋯+3+2+1，即可求解；（3）共要握手的次数为59+58+⋯+3+2+1，即可求解；（4）①根据题意可得要定7×62【详解】（1）解：当四个点在同一直线上时，可以画1条直线；当只有三个点在同一直线上时，可以画4条直线；当任意三点都不在同一直线上时，可以画6条直线．综上，经过平面上四个点中任意两点可以作1或4或6条直线；故答案为：1或4或6（2）解：当直线m上有n个点时，线段的总条数为n−1+n−2+⋯+3+2+1=n−1+1故答案为：n（3）解：若每人都与其余人握一次手，则共要握59+58+⋯+3+2+1=59+1故答案为：1770（4）解：①因为客车中途停靠五个站(每两站之间距离不等)，所以包括甲地和乙地共有七个站，所以要定7×62故答案为：21②因为往返车票不同，所以要准备21×2=42种不同的车票．故答案为：42【变式题8-2】．（23-24七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系．图形…直线条数234…最多交点个数13=1+26=1+2+3…【延伸探究】（1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点；（2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出|x+y|的值；【实践应用】（3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数．【答案】（1）10；（2）29；（3）没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛【分析】本题主要考查了直线交点问题、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键（1）根据题干分析n条直线，最多有1+2+3+⋅⋅⋅+n=n（2）代入公式求出交点最多个数，当8条直线交于同一点时，个数最少；（3）根据单循环赛制的特点，以及各班级已赛场次的信息，逐步推理出班级之间的比赛关系，进而求出未与七6班比赛的班级以及剩余比赛场数．【详解】解：（1）5条直线相交，最多有1+2+3+4=10个交点，故答案为：10；（2）根据题意，最多有1+2+3+4+5+6+7=8×8−12当8条直线交于同一点时，交点最少，此时y=1，所以x+y=29（3）分析各班级比赛场次信息：单循环赛制意味着每个班级都要和其余5个班级各赛一场，所以每个班级最多比赛5场，①七1班赛了5场，这表明七1班与七2、七3、七4、七5、七6班都进行了比赛；②七5班只赛了1场，由于七1班与所有班级都比赛过，所以七5班这一场比赛就是和七1班进行的，七5班没有和其他班级比赛；③确定七2班比赛对象：七2班比赛了4场，因为七5班只和七1班比赛，所以七2班除了和七5班没比赛，与七1、七3、七4、七6班都比赛了；④确定七4班比赛对象：七4班赛了2场，根据前面的推理，七4班的两场比赛是和七1、七2班进行的；⑤确定七3班比赛对象：七3班比赛了3场，已知七1、七2班与七3班比赛，七5班没和七3班比赛，所以七3班的三场比赛是和七1、七2、七6班进行的（与七4班没有比赛）；通过以上分析可知，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班．已比赛的场数为：①七1班与七2、七3、七4、七5、七6班比赛5场；②七2班与七4、七3、七6班比赛3场（与七1已算在七1班场次中）；③七3班与七6班比赛1场（与七1、七2重复场次已算）；④七4班与七1、七2班赛比2场；（全部为重复场次，已算过）⑤七5班与七1班赛1场；（全部为重复场次，已算过）⑥七6班与七1、七2、七3班赛3场（全部为重复场次，已算过），总共已赛9场；6个班级进行单循环比赛，总场数为6×52=15场，所以还剩下的比赛场数为综上，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛．【变式题8-3】．（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究：点数2345…n示意图…直线12×33×4…【发现规律】（1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；【探索归纳】（2）当点数为n时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；（用含n的代数式表示）【迁移运用】（3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题：某学校七年级共有6个班进行足球比赛．①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛?②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？【答案】（1）4；10；（2）n−1；nn−1【分析】本题主要考查了图形规律探究，两点确定一条直线，解题的关键是根据已知图形，得出一般规律．（1）根据图形进行解答即可；（2）根据已知图形得出一般规律，进行解答即可；（3）①将n=6代入代数式nn−1②将n=6代入nn−1【详解】解：（1）当点数为5时，过任意一点的直线有4条，共有直线4×52故答案这：4；10；（2）当点数为n时，过任意一点的直线有n−1条，共有直线nn−1故答案为：n−1；nn−1（3）①进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行的比赛场数为：6×6−1②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出的纪念品件数为：6×6−1【题型9】线段中的分类讨论问题(培优)1.核心知识点总结 分类依据：点的位置不确定(在线段上、线段的延长线、线段的反向延长线)。 常见场景：①已知AB=a，BC=b，求AC；②点C是直线AB上一点，求相关线段长度。2.高频考点梳理 无图分类：如“AB=5cm，BC=3cm，求AC的长”(分C在线段AB上、AB延长线、BA延长线三种情况)。 结合中点分类：如“M是AB中点，C在直线AB上，MC=2cm，AB=6cm，求BC”。3.易错点警示 只考虑点在线段上的情况，忽略延长线和反向延长线的情况，导致漏解。 分类后未验证线段长度的合理性(如出现负长度)。4.解题技巧拆解 步骤：①明确“直线上”≠“线段上”，需全面考虑位置；②分情况画图(每种位置画一幅图)；③分别计算线段长度；④排除不合理结果(如负长度)。 关键：记住“两定一动”(A、B固定，C运动)时，通常分3种位置情况讨论。【例题9】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知：如图，AB=12cm，点M是线段AB的中点，点C在线段MB上，且满足MC:CB=2:1(1)求线段MC的长；(2)若点N为线段AB上一点，且MN=3cm，求线段NC【答案】(1)4(2)1cm或【分析】（1）根据线段中点的定义求出MB，进而根据比即可求解；（2）分点N在点M左侧和右侧两种情况，根据线段的和差关系解答即可求解；本题考查了线段的中点，线段的和差，运用分类讨论思想解答是解题的关键．【详解】（1）解：∵AB=12cm，点M是线段AB∴MB=1∵MC:CB=2:1，∴MC=2（2）解：当点N在点M左侧时，如图，∵MN=3cm，MC=4∴NC=MN+MC=3+4=7cm当点N在点M右侧时，如图，∵MN=3cm，MC=4∴NC=MC−MN=4−3=1cm综上，线段NC的长为1cm或7【变式题9-1】．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知线段AB．(1)请用尺规按要求作图．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）①在线段AB的延长线上取点C，使BC=AB；②在线段BA的延长线上取点D，使AD=AC；(2)在（1）的条件下，图中共有条线段；(3)在（1）的条件下，若AB=3cm，求线段AC和BD(4)在（1）的条件下，若AB=3cm，点E在直线AB上，且BE=2cm，求线段【答案】(1)①见详解；②见解析(2)6(3)AC=6(4)11cm或【分析】本题考查了简单作图-做线段、线段的等量关系等知识，厘清图中线段的等量关系是解答本题的基础．（1）①以B为圆心，AB为半径画弧交AB的延长线于点C，BC即为所求；②以A为圆心，AC为半径画弧交BA的延长线于点D，AD（2）任意两个点的连线即是一条线段，据此即可求解；（3）根据（1）中的等量关系即可求解．（4）分两种情况，当点E在B点左侧时和当点E在B点右侧时，画出对应的图形分别求解即可．【详解】（1）解：①如下图：BC即为所求②如下图：AD即为所求；（2）解：图中的线段有：DA、DB、DC、AB、AC、BC，共计6条，故答案为：6；（3）解：∵AB=BC，AB=3cm∴BC=3cm∴AC=AB+BC=3+3=6cm∵AC=AD，∴AD=6cm∴BD=DA+AB=6+3=9cm故答案为：6、9．（4）解：当点E在B点左侧时，如下图：∵AB=BC=3cm，∴AC=AB+BC=6cm，AE=1∴AD=6cm∴DE=AD+AE=6+1=7当点E在B点右侧时，如下图：∵AB=BC=3cm∴AC=AB+BC=6cm∴AD=6cm∵BE=2cm∴DE=AD+AB+BE=6+3+2=11综上：DE为11cm或7【变式题9-2】．（25-26七年级上·天津·期末）（1）如图1，点B，D在线段AC上．①填空：AB=DB+_____=AC−_____．②若D是线段AC中点，BD=14AD，AC=16cm（2）如图2，射线AB上有一点C，AC=12，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线CB的方向运动，同时，射线CB开始绕点C按顺时针方向以每秒30°的速度旋转一周．①当CB第一次转至与AC垂直时，PC=；（用含m的代数式表示）②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值．【答案】（1）①AD，BC；②6；（2）①3m；②1或4【分析】此题考查解一元一次方程的应用、线段的中点、两点间的距离等知识与方法，解题的关键是理解和把握线段中点的定义．（1）①根据线段的和差解答即可；②设BD为x，表示出AC长，再列出方程，计算即可；（2）①由题意知，当CB第一次转至与AC垂直，即旋转角为90°，时间为3秒，则PC=3m；②由题意知，当CB绕点C顺时针旋转180°时，时间为6秒，当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点，①当P为AC中点，PC=12AC，即6m=12×12=6，计算求解即可；②当A为PC中点，PC=2AC，即6m=2×12=24，计算求解即可；当CB绕点C顺时针旋转360°时，时间为12秒，C为【详解】解：（1）①AB=DB+AD=AC−BC，故答案为：AD，BC．②设BD=x，∵BD=1∴AD=4x，∵D是线段AC中点，∴CD=AD=4x，∴AC=8x=16，∴x=2，∴BC=4x−x=3x=6(cm（2）①由题意知，当CB第一次转至与AC垂直，即旋转角为90°，∴时间为90°30°∴PC=3m，故答案为：3m；②由题意知，当CB绕点C顺时针旋转180°时，时间为180°30°当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点，当P为AC中点，PC=12AC解得m=1；当A为PC中点，PC=2AC，即6m=2×12=24，解得，m=4；当CB绕点C顺时针旋转360°时，时间为360°30°C为AP中点，PC=AC，即12m=12，解得m=1．综上，m的值为1或4．【变式题9-3】．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为−1，3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x．(1)若点P为AB的中点，则x的值为，点P到点A的距离，x+1+|x−3|=(2)若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为；若点P在点A的左侧，点P到点A，B的距离之和为（用含x的式子表示）；(3)某时刻点A，B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．求当点A，B之间的距离为3个单位长度时，点P表示的数．【答案】(1)1，2，4(2)5，2−2x(3)−3或−27【分析】（1）根据点P为AB的中点，得到AP=PB，故3−x=x−−1，可计算x，点P到点A的距离x−−1，（2）根据点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，大于4，判定点P在点B的右侧，得x−−1+x−3=8，解答即可；当点P在点A的左侧，点P到点A，B的距离之和为（3）设运动时间为t，设运动时间为t，点A运动的路程为SA，点B运动的路程为SB，点P运动的路程为SP，则SA=2t，SB=0.5t，SP=6t，则点A表示的数为2t−1，点B表示的数为0.5t+3，点P表示的数为−6t+1本题考查了线段的中点，数轴上的两点间距离计算，数轴上点的表示数计算，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离公式，解方程是解题的关键．【详解】（1）解：由点P为AB的中点，得到AP=PB，故3−x=x−−1解得x=1，故点P到点A的距离x−−1x+1+|x−3|=故答案为：1，2，4．（2）解：根据点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，大于4，故点P在点B的右侧，根据题意，得x−−1解得x=5；当点P在点A的左侧，点P到点A，B的距离之和为3−x+−1故答案为：5，2−2x．（3）解：设运动时间为t，点A运动的路程为SA，点B运动的路程为SB，点P运动的路程为则SA=2t，SB则点A表示的数为2t−1，点B表示的数为0.5t+3，点P表示的数为−6t+1，当点A在点B的左侧时，根据题意，得AB=3，故0.5t+3−2t−1解得t=2故−6t+1=−3，此时，点P表示的数为−3；当点A在点B的右侧时，根据题意，得AB=3，故2t−1−0.5t+3解得t=14故−6t+1=−27，此时，点P表示的数为−27；综上所述，点P表示的数为−3或−27．【题型10】线段中的动点问题(培优)1.核心知识点总结 动点三要素：起始位置、运动方向、运动速度(路程=速度×时间，即s=vt)。 核心关系：用含时间t的代数式表示线段长度，结合题意列方程。2.高频考点梳理 数轴上动点：如“数轴上A表示-1，B表示3，P从A出发以2单位/s向右运动，Q从B出发以1单位/s向左运动，求t为何值时PQ=2”。 线段上动点：如“AB=20cm，P从A出发以3cm/s向B运动，Q从B出发以2cm/s向A运动，求相遇时间及相遇时AP的长”。 定值探究：如“P是线段AB上动点，M、N分别是AP、BP中点，探究MN是否为定值”。3.易错点警示 未明确动点的运动终点(如“P到达B后停止运动”，需考虑t的取值范围)。 代数式表示线段长度时，符号错误(如数轴上左边点减右边点需加绝对值)。 忽略动点运动方向的变化(如往返运动)。4.解题技巧拆解 步骤：①设运动时间为t(单位：s)；②用t表示各动点对应的位置或线段长度(数轴上位置=起始数±速度×时间)；③根据题意列方程(如相遇时位置相等、距离为定值)；④求解并验证t的取值范围(不超过运动终点时间)。 定值探究：用代数式表示目标线段(如MN=MP+PN=12AP+【例题10】．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知点A，点B是直线l上的两点，且AB=6cm，点P和点Q是直线上的两个动点，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线l请回答下列问题：(1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？(2)若点P、Q均向右运动，求t为何值时P、Q两点相遇？(3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2cm时，求出t的值．【答案】(1)t=2(2)t=6(