【《特殊二阶常微分方程的解法和应用研究》9800字】

特殊二阶常微分方程的解法和应用研究目录TOC\o"1-3"\h\u1942引言 178621特殊二阶常微分方程应用分析 2232642Matlab模型的统计特性 11108673Matlab模型参数估计 16218804Matlab模型在特殊二阶常微分方程中的应用 2121855拟合w，β 22102945结语 2330652参考文献 24摘要：Matlab模型求解的普遍计算模式为相“邻近”的解去逼近原问题的解，然而，结合使用笔者的先验资源体系，笔者希望能够得到相关接近准确解答的结果。基于此，笔者针对特殊二阶常微分方程的解法和应用进行研究分析。通过研讨剖析，笔者利用线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数计算模式得到的特殊二阶常微分方程，并通过分析Matlab模型的统计特性和参数估计，对其在特殊二阶常微分方程中的应用进行分析，最后得出结论，利用线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数计算模式能够实现特殊二阶常微分方程，并且其特殊二阶常微分方程和其他主要计算模式相比，具有明显的优越性，其得到的特殊二阶常微分方程清晰度更高，质量要好于其他常规计算模式。关键词：Matlab模型；特殊二阶常微分方程；实际应用引言Matlab方法在特殊二阶常微分方程中，一般为由一组线性代数含有未知数的等式定义的，而且这组含有未知数的等式组一般来源于有着不少的条件数。大条件数意味着舍入误差或其它误差会较大程度地影响的结果。问题有两种形式。最普遍的形式为已知系统和输出求输入。许多问题很难被解决，但为其他问题却很容易得到结果。显然，易于解决的问题不会比很难解决的问题更能引起人们的兴趣，笔者直接解决它们就能够了。那些很难被解决的问题则被称为不适定的。因此，如何建立有效的线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组最大后验为问题领域中不适定问题研讨探究的重要内容。一般的线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组最大后验有基于变分原理的TikhonovMatlab方法、各种迭代计算模式以及其它的部分改进计算模式，这些计算模式都为求解不适定问题的有效计算模式，在各类问题的研讨探究中被广泛采用，并得到深入研讨探究。1特殊二阶常微分方程应用分析1.1问题背景与实验目的实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少．另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）．这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法，既要研究微分方程（组）的解析解法（精确解），更要研究微分方程（组）的数值解法（近似解）．对微分方程（组）的解析解法(精确解)，Matlab有专门的函数可以用，本实验将作一定的介绍．本实验将主要研究微分方程(组)的数值解法（近似解），重点介绍Euler折线法．1.2相关函数（命令）及简介1．dsolve('equ1','equ2',…)：Matlab求微分方程的解析解．equ1、equ2、…为方程（或条件）．写方程（或条件）时用Dy表示y关于自变量的一阶导数，用用D2y表示y关于自变量的二阶导数，依此类推．2．simplify(s)：对表达式s使用maple的化简规则进行化简．例如：symsxsimplify(sin(x)^2+cos(x)^2)ans=13．[r,how]=simple(s)：由于Matlab提供了多种化简规则，simple命令就是对表达式s用各种规则进行化简，然后用r返回最简形式，how返回形成这种形式所用的规则．例如：symsx[r,how]=simple(cos(x)^2-sin(x)^2)r=cos(2*x)how=combine4．[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)求微分方程的数值解．说明：(1)其中的solver为命令ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb之一．(2)odefun是显式常微分方程：(3)在积分区间tspan=上，从到，用初始条件求解．(4)要获得问题在其他指定时间点上的解，则令tspan=（要求是单调的）．(5)因为没有一种算法可以有效地解决所有的ODE问题，为此，Matlab提供了多种求解器Solver，对于不同的ODE问题，采用不同的Solver．求解器SolverODE类型特点说明ode45非刚性单步算法；4、5阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达大部分场合的首选算法ode23非刚性单步算法；2、3阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达使用于精度较低的情形ode113非刚性多步法；Adams算法；高低精度均可到计算时间比ode45短ode23t适度刚性采用梯形算法适度刚性情形ode15s刚性多步法；Gear's反向数值微分；精度中等若ode45失效时，可尝试使用ode23s刚性单步法；2阶Rosebrock算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短ode23tb刚性梯形算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短(6)要特别的是：ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的解的Matlab的常用程序，其中：ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度．ode45则采用龙格-库塔4阶算法，用5阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度．5．ezplot(x,y,[tmin,tmax])：符号函数的作图命令．x,y为关于参数t的符号函数，[tmin,tmax]为t的取值范围．6．inline()：建立一个内联函数．格式：inline('expr','var1','var2',…)，注意括号里的表达式要加引号．例：Q=dblquad(inline('y*sin(x)'),pi,2*pi,0,pi)1.3实验内容1.几个可以直接用Matlab求微分方程精确解的例子：例1：求解微分方程，并加以验证．求解本问题的Matlab程序为：symsxy%line1y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')%line2diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)%line3simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2))%line4说明：(1)行line1是用命令定义x,y为符号变量．这里可以不写，但为确保正确性，建议写上；(2)行line2是用命令求出的微分方程的解：1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1(3)行line3使用所求得的解．这里是将解代入原微分方程，结果应该为0，但这里给出：-x^3*exp(-x^2)-2*x*exp(-x^2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1)(4)行line4用simplify()函数对上式进行化简，结果为0，表明的确是微分方程的解．例2：求微分方程在初始条件下的特解，并画出解函数的图形．求解本问题的Matlab程序为：symsxyy=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x')ezplot(y)微分方程的特解为：y=1/x*exp(x)+1/x*exp(1)(Matlab格式)，即，解函数的图形如图1：图1例3：求微分方程组在初始条件下的特解，并画出解函数的图形．求解本问题的Matlab程序为：symsxyt[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')simple(x);simple(y);ezplot(x,y,[0,1.3]);axisauto微分方程的特解(式子特别长)以及解函数的图形均略．2.用ode23、ode45等求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的数值解(近似解)．例4：求解微分方程初值问题的数值解，求解范围为区间[0,0.5]．fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1);x';y';plot(x,y,'o-')>>x'ans=0.00000.04000.09000.14000.19000.24000.29000.34000.39000.44000.49000.5000>>y'ans=1.00000.92470.84340.77540.71990.67640.64400.62220.61050.60840.61540.6179图形结果为图2．图2例5：求解描述振荡器的经典的VerderPol微分方程分析：令则先编写函数文件verderpol.m：functionxprime=verderpol(t,x)globalmu;xprime=[x(2);mu*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];再编写命令文件vdp1.m：globalmu;mu=7;y0=[1;0][t,x]=ode45('verderpol',[0,40],y0);x1=x(:,1);x2=x(:,2);plot(t,x1)图形结果为图3．图33.用Euler折线法求解前面讲到过，能够求解的微分方程也是十分有限的．下面介绍用Euler折线法求微分方程的数值解(近似解)的方法．Euler折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题化成一个代数方程，即差分方程，主要步骤是用差商替代微商,于是：记，从而，则有例6：用Euler折线法求解微分方程初值问题的数值解(步长h取0.4)，求解范围为区间[0,2]．解：本问题的差分方程为相应的Matlab程序见附录1．数据结果为：01.00000.40001.40000.80002.12331.20003.11451.60004.45932.00006.3074图形结果见图4：图4特别说明：本问题可进一步利用四阶Runge-Kutta法求解，读者可将两个结果在一个图中显示，并和精确值比较，看看哪个更“精确”？（相应的Matlab程序参见附录2）．1.4计算应用1.求微分方程的通解．2.求微分方程的通解．3.求微分方程组在初始条件下的特解，并画出解函数的图形．4.分别用ode23、ode45求上述第3题中的微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为．利用画图来比较两种求解器之间的差异．5.用Euler折线法求解微分方程初值问题的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,2]．6.用四阶Runge-Kutta法求解微分方程初值问题的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,3]．四阶Runge-Kutta法的迭代公式为(Euler折线法实为一阶Runge-Kutta法)：相应的Matlab程序参见附录2．试用该方法求解第5题中的初值问题．7.用ode45方法求上述第6题的常微分方程初值问题的数值解(近似解)，从而利用画图来比较两者间的差异．2Matlab模型的统计特性线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组:Normalization，代数几何中的相关思想理念。通俗而言，就为给平面不可约代数曲线以某种形式的全纯参数表示。即对于PC^2中的不可约代数曲线C，寻找相关紧Riemann面C*和相关全纯映射σ:C*→PC^2，使得σ(C*)=C。严格的定义如下:设C为不可约平面代数曲线，S为C的奇点的集合。一旦出现紧Riemann面C*及全纯映射σ:C*→PC^2，使得(1)σ(C*)=C(2)σ^(-1)(S)为具备一定限度点集(3)σ:C*\σ^(-1)(S)→C\S为一对一的映射，则称(C*，σ)为C的线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组。不至于混淆的时候，也能够称C*为C的线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组。线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组的做法，实际上为在不可约平面代数曲线的奇点处，把具有各不一样切线的曲线分支分开，从而消除这种奇异性。线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数计算模式RegularizationMethod线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组算子regularizingoperator物理学中，尤其为量子场论，线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组(regularization)为一项处理无限大、发散以及部分不合理表示式的计算模式，其计算模式透过引入一项辅助性的思想理念——线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组因子(regulator)。举例而言，若短距离物理效应出现发散，则设定一项空间中最小距离来解决这情形。正确的物理结果为让线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组因子消失(此例为)的极限情形，不过线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组因子的用意就在于当它为具备一定限度值，研究体系结果也为具备一定限度值的。线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组为将数学中的发散级数的可和性计算模式(summabilitymethods)用在物理学问题上。然而，研究体系结果一般包含了部分项，为正比于例如的式子，若取极限则会没有良好定义。线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组为获得相关完整、具备一定限度且有效用价值的结果的第一步；在量子场论，一般会接着相关相关但为独立的技术计算模式称作重整化(renormalization)。重整化则为基于对部分有着类似表示式的物理量的要求，要求其应该等于观测值。如此的约束条件则允许笔者计算部分表面发散的物理量的具备一定限度。特殊二阶常微分方程复原从数学角度考虑，它等价于第一类fredholm积分含有未知数的等式，为一种问题，具有不少的病态性，所以，必须进行线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组处理。从统计的角度看，线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组处理其实就为一种特殊二阶常微分方程的先验信息约束。假设特殊二阶常微分方程退化过程用如下计算体制描述：g=hf+n（1）则特殊二阶常微分方程复原即根据观测特殊二阶常微分方程g恢复原始特殊二阶常微分方程f。线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组特殊二阶常微分方程复原从贝叶斯角度而言，能够用map(最大后验概率估计)计算模式实现，即：f=argmax{p(f|g)＝p(g|f)p(f)/p(g)}（2）先验分布函数p(f)能够看成一线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组项。特殊二阶常微分方程复原关键问题为先验计算体制p(f)的选取，也能够说特殊二阶常微分方程建模在特殊二阶常微分方程复原中起者关键性效用价值。早期的特殊二阶常微分方程复原计算模式假设服从平稳高斯分布，从而致使约束最小二乘特殊二阶常微分方程复原计算模式；但许多统计试验表明大部分自然特殊二阶常微分方程都不能用平稳高斯分布准确的描述，计算体制的不准确致使复原的特殊二阶常微分方程质量较差，特殊二阶常微分方程边缘不能很好的保持。mrf(markovrandomfield)在特殊二阶常微分方程复原中起很重要的效用价值，一旦将原始特殊二阶常微分方程看作mrf的一次实现，根据mrf的局部性，对特殊二阶常微分方程进行建模，按照这种方式建立的计算体制比用平稳高斯分布更为准确，所以所复原的质量也较好。现代很多人热衷于小波变换的特殊二阶常微分方程复原，其原由于特殊二阶常微分方程的小波系数可近似提出互相独立，且能够用简单的统计计算体制描述（如广义高斯分布等）。笔者提出小波在特殊二阶常微分方程复原中主要起工具的效用价值，现在关于小波计算模式进行特殊二阶常微分方程复原，研讨探究重点应放在对小波系数的统计建模（如小波系数尺度间、尺度内、方向间的相关性等）。由于一般正交小波变换不具有平移不变性和方向较少的特点，基于这些问题，现在的推进优化为在其他变换域内建立计算体制，如（冗余小波变换，复小波变换，脊波，曲波等）这仍为相关正在推进优化的课题，关于对这些变换域系数进行统计建模用于特殊二阶常微分方程复原能够弥补正交小波变换的问题，然而重点仍为对变换系数的统计建模。正如笔者如上所说，特殊二阶常微分方程建模对特殊二阶常微分方程复原起很重要的效用价值。然而，从计算复杂度的角度考虑，相关好的计算体制常致使计算上的困难。由于相关好的计算体制最终致使相关（2）式有多个极值点，从而在计算上必须用部分全局优化算法（如模拟退火等），这致使不少的计算量。综上研讨剖析，特殊二阶常微分方程复原需要两部分的资源体系需要考虑：1统计建模的资源体系2计算计算模式的资源体系。两者任一部分的改进，都会推动特殊二阶常微分方程复原的推进优化。所以，必须懂得数理统计，贝叶斯研讨剖析，随机场，优化算法，矩阵论，小波研讨剖析等数学课程。计算体制权衡的经典计算模式为线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组（regularization）。正规化为结构不确定性因素最小化策略的实现，为在经验不确定性因素上加相关线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组项（regularizer）或罚项（penaltyterm）。线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组一般为计算体制复杂度的单调递增函数，计算体制越复杂，线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组值就越大。比如，线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组项能够为计算体制参数向量的范数。线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组一般具有如下形式minfϵΓ1N∑i=1NL(yi，f(xi))+ΛJ(f)其中，第一项为经验不确定性因素，第二项为线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组项，Λ≥0为调整两者相互关联中关系的系数。线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组项能够取各不一样的形式。例如。回归问题中，损失函数为平方损失，线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组项能够为参数向量的L2范数：L(w)=1N∑i=1N(f(xi，w)−y)2+Λ2∥w∥2这里，∥w∥表示参数向量w的L2范数。线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组项也能够为参数向量的L1范数：L(w)=1N∑i=1N(f(xi，w)−y)2+Λ2∥w∥1这里，∥w∥1表示参数向量w的L1范数。第一项的经验不确定性因素较小的计算体制也许较复杂（有多个非零参数），这时第二项的计算体制复杂度会较大。线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组的效用价值为权衡经验不确定性因素和计算体制复杂度同时较小的计算体制。在全部也许权衡的计算体制中，能够很好地解释已知信息并且十分简单才为最好的计算体制，也就为应该权衡的计算体制。从贝叶斯估计的角度来看，线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组项对应于计算体制的先验概率。能够假设复杂的计算体制有较小的先验概率，简单的计算体制有较大的先验概率。一旦给定的样本信息充足，进行计算体制权衡的一种简单计算模式为随机的降信息集分成：训练集（trainingset）、验证集（validationset）、测试集(testset)。训练集用来训练计算体制，验证集用来权衡计算体制，测试集用于最终对学习计算模式的评估。在学习到的各不一样复杂度的计算体制中，权衡对验证集有最小预测误差的计算体制。由于验证集有足够多的信息，用它对计算体制进行权衡也为有效的。但为在实际应用中信息时不充足的。为了权衡好的计算体制，能够采用线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数计算模式最大后验计算模式。线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数计算模式最大后验的基本思想：重复的使用信息；把给定的信息进行切分，将切分的信息集组合为训练集和测试集，在此基础上反复的进行训练、测试及计算体制权衡。首先随机的将已给信息分为两部分，一部分作为训练集，另一部分作为测试集（例如70%作为训练，30%作为测试），然后用训练集在各种条件下（各不一样的参数个数）训练计算体制，从而得到各不一样的计算体制；在训练集上评价各个计算体制的测试误差，选出测试误差最小的计算体制。首先随机的将已给信息切分为S个互不相交的大小相同的自己；然后利用S-1个自己的信息训练计算体制，利用余下的子集测试计算体制；将这一过程对也许的S种权衡重复进行；最后选出S次评测中平均测试误差最小的计算体制。最大后验的特殊情形为S=N，称为留一线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数计算模式最大后验（leave-one-outcrossvalidation），一般在信息缺乏的情况下使用。这里，N为给定信息集的容量。3Matlab模型参数估计给定一堆信息，假如笔者知道它为从某一种分布中随机取出来的，可为笔者并不知道这个分布具体的参，即“计算体制已定，参数未知”。例如，对于线性回归，笔者假定样本为服从正态分布，但为不知道均值和方差；或者对于逻辑回归，笔者假定样本为服从二项分布，但为不知道均值，逻辑回归公式得到的为因变量y的概率P=g(x)，x为自变量，结合逻辑函数得到相关概率值，y对应离散值为0或者1，Y服从二项分布，误差项服从二项分布，而非高斯分布，所以不能用最小二乘进行计算体制参数估计，能够用特殊二阶常微分方程来进行参数估计；所以最大似然估计（MLE，MaximumLikelihoodEstimation）就能够用来估计计算体制的参数。MLE的目标为找出一组参数，使得计算体制产生出观测信息的概率最大：其中就为似然函数，表示在参数下出现观测信息的概率。笔者假设每个观测信息为独立的，那么有为了求导方便，一般对目标取log。所以最优化对似然函数等同于最优化对数似然函数：举相关线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数计算模式最大后验的简单例子。10次的结果如下：很显然这个概率为0.2。现在笔者用MLE的思想去求解它。笔者知道每次线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数计算模式最大后验都为一次二项分布，设积极的概率为，那么似然函数为：x=1表示积极，x=0表示消极。那么有：求导：令导数为0，很容易得到：也就为0.2。最大后验概率MAP，以上MLE求的为找出一组能够使似然函数最大的参数，即。现在问题稍微复杂一点点，假如这个参数有相关先验概率呢？比如说，在上面线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数计算模式最大后验的例子，假如笔者的经验告诉笔者，硬币一般都为匀称的，也就为=0.5的也许性最大，=0.2的也许性比较小，那么参数该怎么估计呢？这就为MAP要考虑的问题。MAP优化的为相关后验概率，即给定了观测值后使概率最大：把上式根据贝叶斯公式展开：笔者能够明晰第一项就为似然函数，第二项就为参数的先验资源体系。取log之后就为：回到刚才的线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数计算模式最大后验例子，假设参数有相关先验估计，它服从特殊二阶常微分方程，即：而每次线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数计算模式最大后验任然服从二项分布：那么，目标函数的导数为：求导的第一项已经在上面MLE中给出了，第二项为：令导数为0，求解为：其中，表示积极的次数。这里看以明晰，MLE和MAP的各不一样之处在于，MAP的结果多了部分先验分布的参数。特殊二阶常微分方程形状由两个参数控制，定义域为[0，1]特殊二阶常微分方程的最大值为x等于的时候：所以在线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数计算模式最大后验中，一旦先验资源体系为说硬币为匀称的，那么就让。但为很显然即使它们相等，它两的值也对最终结果很有影响。它两的值越大，表示偏离匀称的也许性越小：4Matlab模型在特殊二阶常微分方程中的应用曲线拟合问题的目标为：根据N个输入X=(x1，...，xN)T组成的信息集和对应的目标值T=(t1，...，tN)T，在给出新的输入变量x的新值的情况下，预测目标变量t贝叶斯的角度：用目标变量值的概率分布来表示不确定性。为此，能够假设，对于给定的x的值，对应的目标变量t为具有和多项式曲线y(x，w)的值相等的均值的高斯分布，用公式表达就为：p(t|x，w，β)=N(t|y(x，w)，β−1)该分布的方差的逆为精度（precision）参数β，线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组方法所示。拟合w，β使用训练信息X，T，并结合最大似然来确定未知参数w，β似然函数：p(T|X，w，β)=∏n=1NN(tn|y(xn，w)，β−1)对数似然：lnp(T|X，w，β)=−β2∑n=1N{y(xn，w)−tn}2+N2lnβ−N2ln(2π)考虑最大似然解，记作wML，为对于w的最大化得到的拟合计算模式。忽略和w无关的项，上式最右2项。用相关正系数来缩放似然函数的对数，这样不会改变它关于w的最大值的位置，所以笔者能够使用1/2来代替β/2最小化似然函数的负对数，等价于最大化似然函数的对数。拟合结果，对于确定w的最大化似然等价于最小化平方和的误差函数平方和误差函数为采用高斯噪声的最大似然的结果用最大似然来确定高斯条件分布的精度参数β：1βML=1N∑n=1N{y(xx，wML)−tn}2最大化β，首先确定控制均值的参数向量wML，然后使用这个结果来确定精度βML，确定好参数w，β后，就能够对新的值x做预测最大后验，现在用概率计算体制，能够使用一种称为预测分布（predictivedistribution）来表达t的概率分布，来代替相关简单的点估计。计算模式：代入最大似然参数。p(t|x，wML，βML)=N(t|y(x，wML)，β−1ML)在多项式系数w上引入先验分布，考虑高斯分布：p(w|α)=N(w|0，α−1I)=(α2π)(M+1)/2exp{−α2wTw}α为分布的精度，M+1为M阶多项式的向量w中元素个数。像α这样的控制分布的计算体制参数被称为超参数（hyperparameters）使用贝叶斯定理，w的后验分布，正比于先验分布和似然函数的乘积：p(w|X，T，α，β)∝p(T|X，w，β)p(w|α)对于给定的信息集，能够结合找到最也许的w值来确定w，即最大化后验分布。最大化后验概率就为最小化下式：β2∑n=1N{y(xn，w)−tn}2+α2wTw结论：最大化后验概率等价于最小化线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组的平方和误差函数线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数方程组参数为λ=α/β。5结语结合上述研讨剖析能够明显了解到，利用线性代数体系里源自较大条件数的不适定反向问题的一组线性代数计算模式得到的特殊二阶常微分方程，其峰值信噪比的值为34.67，明显的高于其他三种计算模式的值，这就说明