2026届高三数学二轮复习课件：专题6 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数与方程

第2讲基本初等函数、函数与方程考点一基本初等函数的图象与性质考点二函数的零点(多考向探究预测)目录索引考点三函数模型及其应用考点一基本初等函数的图象与性质理知识名称指数函数y=ax对数函数y=logax幂函数y=xα性质a>1增函数在(0,+∞)内为增函数α>0幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)内单调递增0<a<1减函数在(0,+∞)内为减函数α<0幂函数的图象在区间(0,+∞)内单调递减过定点过定点(0,1)过定点(1,0)过定点(1,1)名称指数函数y=ax对数函数y=logax幂函数y=xα性质对称性函数f(x)=kxα为幂函数,则k=1指数函数与对数函数互为反函数,图象关于直线y=x对称链高考

A

C

例1

(1)(2024天津,5)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为(

)A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>aB解析

∵函数y=4.2x在R上单调递增,且-0.3<0<0.3,∴0<4.2-0.3<4.20<4.20.3,即0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0<a<1<b.∵函数y=log4.2x在区间(0,+∞)内单调递增,且0<0.2<1,∴log4.20.2<log4.21=0,即c<0.∴b>a>c.故选B.(2)(2025广东广州模拟)已知函数f(x)=2x+x-2,g(x)=log2x+x-2,h(x)=x3+x-2的零点分别为a,b,c,则下列选项正确的是(

)A.c<b<a B.a<c<bC.b<a<c D.c<a<bB解析

函数f(x)=2x+x-2的零点a即为方程2x=-x+2的根,也就是函数y=2x的图象与直线y=-x+2的交点的横坐标.同理,b,c分别为函数y=log2x和y=x3的图象与直线y=-x+2交点的横坐标.在同一坐标系中作出各个函数的图象,如图所示.显然有a<c<b.【对点训练1】(1)(2025福建福州开学考试)若函数f(x)=xa,x∈(0,+∞)的图象如图所示,则函数g(x)=logax+loga(2-x)的图象大致为(

)A解析

由幂函数图象可得0<a<1.函数g(x)=logax+loga(2-x)=loga(2x-x2)=loga[-(x-1)2+1],定义域为(0,2),而0<-(x-1)2+1≤1,则g(x)≥0恒成立,所以B,C,D错误,A正确.故选A.(2)(2025海南海口模拟)已知函数f(x)=loga(ax+b)(a>0,且a≠1)的值域为R,则b的取值范围是(

)A.(0,+∞) B.[0,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,0]D解析

令t=ax+b,则g(t)=logat,要使函数f(x)=loga(ax+b)(a>0,且a≠1)的值域为R,则(0,+∞)是函数t=ax+b的值域的子集,又当x∈R时,ax>0,所以b≤0,所以b的取值范围是(-∞,0].故选D.考点二函数的零点(多考向探究预测)理知识1.零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.2.函数的零点与方程解的关系函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的解,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.链高考

B

考向1

函数零点个数的判断例2

(1)(2025山东枣庄二模)函数f(x)=sinx+cos2x在区间(0,3π)内的零点个数为(

)A.3 B.4

C.5

D.6B

C解析

由题意,令[f(x)]2-5f(x)+6=0,解得f(x)=2或f(x)=3,作出y=f(x)的大致图象,如图.由图可知,直线y=2与y=f(x)的图象有3个交点,直线y=3与y=f(x)的图象有4个交点,所以原方程有7个解,即函数y=[f(x)]2-5f(x)+6有7个零点.故选C.(3)函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)内存在零点,则实数m的取值范围是

.

(-5,-1)

B

BCD

A

D

考点三函数模型及其应用理知识

链高考(2025北京,9)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时)(

)A.2 B.4

C.20

D.40B

例5

(2025福建福州模拟)在一定条件下,大气压强p(单位:百帕)随海拔高度h(单位:米)的变化满足如下函数关系式:p=p0e-kh(p0,k为正常数).已知海拔高度0米处的大气压强为1000百帕,海拔高度10000米处的大气压强为250百帕,那么,若大气压强从250百帕增加到500百帕,则海拔高度降低了(

)A.100米 B.2500米C.5000米 D.7500米C

声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力