2026届高三数学二轮复习课件：专题6 函数与导数 第4讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值

第4讲利用导数研究函数的单调性、极值与最值考点一利用导数研究函数的单调性考点二利用导数研究函数的极值目录索引考点三利用导数研究函数的最值考点一利用导数研究函数的单调性理知识1.f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f'(x)≥0.2.f'(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f'(x)=0时,则f(x)在此区间内为常函数,函数不具有单调性.3.导数法求函数单调区间的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f'(x)(通分、合并、因式分解);(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.[微提醒]利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域.链高考(2023新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为(

)A.e2

B.e

C.e-1

D.e-2C

A

(3)(2025江苏南京模拟)设函数f(x)=sinx+ex-e-x-x+3,则满足f(x)+f(3-2x)<6的x的取值范围是

.

(3,+∞)解析

f(x)=sin

x+ex-e-x-x+3,设g(x)=f(x)-3=sin

x+ex-e-x-x,因为g(-x)=-g(x),所以g(x)为R上的奇函数,因为g'(x)=cos

x+ex+e-x-1≥cos

x+2-1=1+cos

x≥0,且使g'(x)=0的点都构不成区间,所以g(x)在R上单调递增,又f(x)+f(3-2x)<6,所以[f(x)-3]+[f(3-2x)-3]<0,即g(x)+g(3-2x)<0,则g(x)<-g(3-2x),又g(x)为R上的奇函数,所以g(x)<g(2x-3),又g(x)在R上单调递增,所以x<2x-3,即x>3,故x的取值范围是(3,+∞).

(-∞,-1]

(-1,0)∪(0,+∞)

考点二利用导数研究函数的极值理知识1.若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.2.判断函数的极值点,主要有两点:(1)导函数f'(x)的变号零点,即为函数f(x)的极值点;(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点.[微提醒]函数的极大值不一定大于函数的极小值.链高考(2025新高考Ⅱ,13)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=

.

-4解析

f'(x)=[(x-2)(x-1)(x-a)]'=(x-1)(x-a)+(x-2)[(x-1)(x-a)]',又f'(2)=0,即2-a=0,所以a=2,所以f(0)=-4.例3

(2024新高考Ⅱ,16)已知函数f(x)=ex-ax-a3.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.

ABD解析

因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,A正确;当x<0时,-x>0,f(-x)=[(-x)2-3]e-x+2=(x2-3)e-x+2=-f(x),所以f(x)=-(x2-3)e-x-2,B正确;又f(-1)=2e-2=2(e-1)>2,所以C错误;当x>0时,f'(x)=ex(x+3)(x-1),当0<x<1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以x=1是f(x)的极小值点,所以由奇函数的性质可知,x=-1是f(x)的极大值点,D正确.故选ABD.

C解析

f'(x)=ex-ex+2x-2,则f'(1)=0,令f'(x)=0,则ex=(e-2)x+2,如图,作出函数y=ex,y=(e-2)x+2的图象,由图可知函数y=ex,y=(e-2)x+2的图象有两个交点,即函数y=f'(x)有两个零点1,x0,且x0<0.令f'(x)>0,则x>1或x<x0,令f'(x)<0,则x0<x<1,所以f(x)在(-∞,x0)和(1,+∞)内单调递增,在(x0,1)内单调递减,所以f(x)的极大值点为x0,极小值点为1.对于A,函数y=x2在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,所以函数有极小值点,无极大值点,故A不符合题意;对于B,函数y=-x2在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减,所以函数有极大值点,无极小值点,故B不符合题意;对于C,y'=3x2-3,当x<-1或x>1时,y'=3x2-3>0,当-1<x<1时,y'=3x2-3<0,所以函数y=x3-3x的极大值点为-1,极小值点为1,故C符合题意;对于D,y=-x3+3x=-(x3-3x),则函数y=-x3+3x的极小值点为-1,极大值点为1,故D不符合题意.考点三利用导数研究函数的最值理知识1.一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.2.一般地,求函数y=f(x)