2026年教师资格证（数学学科知识 初级中学）自测试题及答案

2026年教师资格证（数学学科知识·初级中学）自测试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______一、选择题（总共10题，每题3分，每题的备选项中，只有一个最符合题意）1.函数y=3x+1的图像一定不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知三角形的三边分别为a、b、c，且满足(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0，则这个三角形是（）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形3.若分式方程\(\frac{x}{x-3}-2=\frac{m}{x-3}\)有增根，则m的值为（）A.3B.0C.-3D.无法确定4.一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（）A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形5.已知点A(-2,3)关于x轴的对称点A'的坐标是（）A.(-2,-3)B.(2,3)C.(2,-3)D.(-3,2)6.二次函数y=2(x-3)²+1的顶点坐标是（）A.(3,1)B.(-3,1)C.(3,-1)D.(-3,-1)7.若\(\sqrt{a-2}+\sqrt{3-b}=0\)，则\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}\)的值为（）A.\(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)B.\(\frac{5\sqrt{6}}{3}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)8.不等式组\(\begin{cases}2x+1>-1\\3-x\geq1\end{cases}\)的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.9.已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A.15πcm²B.30πcm²C.60πcm²D.120πcm²10.若关于x的一元二次方程kx²-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k>1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0二、填空题（总共5题，每题4分）1.分解因式：x³-4x=________。2.计算：\((\frac{1}{2})^{-1}-\sqrt{9}+(π-\sqrt{2026})^0\)=________。3.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形的半径为________。4.若一次函数y=kx+b的图像经过点(1,2)和(-1,4)，则k=________，b=________。5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，若OE=3cm，则AB=________cm。三、解答题（总共4题，每题10分）1.先化简，再求值：\((\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x²-1})\div\frac{x²+x}{x²+2x+1}\)，其中x=\(\sqrt{2}\)。2.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P。（1）求证：PC=PG；（2）若点C在劣弧AD上运动，其他条件不变，问：上述结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？4.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,4)，B(-2,0)，C(2,0)。（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线上一动点，且在直线AC的上方，求△MAC面积的最大值。四、材料分析题（总共1题，每题20分）阅读以下材料：材料一：在数学教学中，培养学生的逻辑推理能力是非常重要的。逻辑推理能力包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义定理、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。材料二：例如，在学习三角形全等的判定定理时，我们通过观察、实验等方法，得出了一些全等的条件，这就是合情推理。然后，我们根据这些条件，通过演绎推理来证明两个三角形全等。材料三：在教学过程中，教师要注重引导学生进行合情推理和演绎推理，让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，培养学生的逻辑思维能力。问题：（1）请结合材料，谈谈合情推理和演绎推理在数学教学中的作用。（10分）（2）请举例说明在初中数学教学中，如何引导学生进行合情推理和演绎推理。（10分）五、教学设计题（总共1题，每题20分）请设计一份关于“一次函数”的教学方案，包括教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程等。1.A2.B3.A4.D5.A6.A7.B8.A9.A10.Dx(x+2)(x-2)；-1；3；-1；3；61.解：原式=\([\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{1}{(x+1)(x-1)}]\div\frac{x(x+1)}{(x+1)²}\)=\(\frac{x²+x-1}{(x+1)(x-1)}\cdot\frac{x+1}{x}\)=\(\frac{x²+x-1}{x(x-1)}\)当x=\(\sqrt{2}\)时，原式=\(\frac{(\sqrt{2})²+\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}\)=\(\frac{2+\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{2}}\)=\(\frac{1+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\)=\(\frac{(1+\sqrt{2})²}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}\)=\(\frac{1+2\sqrt{2}+2}{4-2}\)=\(\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\)2.（1）证明：连接OC，因为PC是⊙O的切线，所以∠OCP=90°，即∠OCG+∠PCG=90°。因为ED⊥AB，所以∠B+∠BGF=90°。又因为OC=OB，所以∠B=∠OCG。所以∠PCG=∠BGF。因为∠BGF=∠PGC，所以∠PCG=∠PGC，所以PC=PG。（2）上述结论仍然成立。证明：连接OC，因为PC是⊙O的切线，所以∠OCP=90°，即∠OCG+∠PCG=90°。因为ED⊥AB，所以∠B+∠BGF=90°。又因为OC=OB，所以∠B=∠OCG。所以∠PCG=∠BGF。因为∠BGF=∠PGC，所以∠PCG=∠PGC，所以PC=PG。3.（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得：(40-x)(20+2x)=1200，整理得：x²-30x+200=0，解得：x₁=10，x₂=20。因为要尽快减少库存，所以x=20。答：每件衬衫应降价20元。（2）设商场平均每天盈利y元，则y=(40-x)(20+2x)=-2x²+60x+800=-2(x-15)²+1250。因为-2<0，所以当x=15时，y有最大值1250。答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多。4.（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将A(0,4)，B(-2,0)，C(2,0)代入得：\(\begin{cases}c=4\\4a-2b+c=0\\4a+2b+c=0\end{cases}\)，解得：\(\begin{cases}a=-1\\b=0\\c=4\end{cases}\)。所以抛物线的解析式为y=-x²+4。（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，将A(0,4)，C(2,0)代入得：\(\begin{cases}b=4\\2k+b=0\end{cases}\)，解得：\(\begin{cases}k=-2\\b=4\end{cases}\)。所以直线AC的解析式为y=-2x+4。设M(m,-m²+4)，则点M到直线AC的距离d=\(\frac{\vert-m²+4-(-2m+4)\vert}{\sqrt{(-2)²+1²}}\)=\(\frac{\vert-m²+2m\vert}{\sqrt{5}}\)。因为点M在直线AC的上方，所以d=\(\frac{-m²+2m}{\sqrt{5}}\)。又因为AC=\(\sqrt{(2-0)²+(0-4)²}\)=2\(\sqrt{5}\)。所以S△MAC=\(\frac{1}{2}\timesAC\timesd\)=\(\frac{1}{2}\times2\sqrt{5}\times\frac{-m²+2m}{\sqrt{5}}\)=-m²+2m=-(m-1)²+1。所以当m=1时，S△MAC有最大值1。四、（1）合情推理在数学教学中的作用：合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。它能帮助学生在学习过程中发现问题、提出猜想，激发学生的学习兴趣和探索欲望，培养学生的创新思维能力。例如，在学习三角形全等的判定定理时，通过观察、实验等方法得出全等条件，这就是合情推理的过程，它为后续的演绎推理提供了基础。演绎推理在数学教学中的作用：演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。它能让学生学会严谨地思考和表达，培养学生的逻辑思维能力和科学态度。在证明三角形全等时，根据已得出的判定定理进行演绎推理，从而得出结论，使学生对知识有更深入、更准确的理解。（2）在初中数学教学中引导学生进行合情推理的方法：例如在学习多边形内角和公式时，先让学生通过观察三角形、四边形、五边形等的内角和，尝试找出规律，进而猜想出多边形内角和公式，这就是引导学生进行归纳推理，属于合情推理。引导学生进行演绎推理的方法：比如在学习平行四边形的性质后，给出一道证明题：已知平行四边形ABCD，证明AB=CD，AD=BC。学生根据平行四边形的定义和性质，通过演绎推理得出结论，在这个过程中，学生要依据已有的知识和定理，按照逻辑规则进行推导。五、1.教学目标知识与技能目标：学生能理解一次函数的概念，掌握一次函数的表达式，会根据已知条件求一次函数的解析式，能画出一次函数的图像，并理解其性质。过程与方法目标：通过经历一次函数概念的形成过程，培养学生的归纳、概括能力；通过画一次函数图像，培养学生的动手操作能力和数形结合思想；通过探究一次函数的性质，培养学生的逻辑推理能力。情感态度与价值观目标：让学生在探究一次函数的过程中，体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。2.教学重难点教学重点：一次函数的概念、表达式、图像和性质。教学难点：对一次函数性质的理解和应用，以及如何引导学生通过自主探究得出一次函数的性质。3.教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合。讲授法用于讲解一次函数的基本概念和表达式；讨论法用于组织学生讨论一次函数与其他函数的区别等问题；探究法用于引导学生自主探究一次函数的图像和性质。4.教学过程导入新课：通过展示一些生活中与一次函数相关的实例，如匀速行驶的汽车行驶路程与时间的关系等，引出课题，激发学生的学习兴趣。讲授新课：讲解一次函数的概念，通过举例让学生判断哪些函数是一次函数；讲解一次函数的表达式