湖南铁道职业技术学院单招数学模拟试题

一、选择题：本大题共£小题，每小题5分，共40分..

1.若复数"的实部与虚部相等，则实数。=()A

2i

(A)-1(B)1(C)-2(D)2

2.已知/*+l)=2/(外j⑴=i(xeN»猜想/(x)的表达式为().

f(x)+2

4?12

A./(%)=--—3./(x)=——-C.f(x)=--D./(x)=-——-

2'+2x+1x+\2x+1

3.等比数列｛〃“｝中，q>0,则“q<〃3”是“生<4”的B

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

4.从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事4,B,C,。四项不同的工作，每人

承担一项.若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有B

(A)60种(B)72种(C)84种(D)96种

5.已知定义在R上的函数/(X)的对称轴为』=-3,且当xN—3时，/。)=数一3.若

函数/(x)在区间仅一1,A)(ZEZ)上有零点，则女的值为A

(A)2或-7(B)2或-8(C)1或一7(D)1或一8

6.已知函数/Cr)=log2X-21og2a+c),其中。>0.若对于任意的xw(0,+8),都有

/(x)<1,则c的取值范围是D

(A)(0,-](B)[-,4-oo)(C)(0,-J(D)[-,+oo)

4488

7.已知函数/*)=0¥3+纵2-2(。。0)有且仅有两个不同的零点修，x2,则B

A.当4<0时，X]+x2<0,X]X2>0B.当4<0时，X]+x2>0,X]X2<0

C.当。>0时，Xj+x2<0,X]X2>0D.当〃〉0时，X]+x2>0,x1x2<0

8.如图，正方体A8CO—4耳G。中，P为底面A8CQ

上的动点，「七工人《于后，且孙=庄1，则点尸的

轨迹是A

（A）线段（B）圆弧

（C）椭圆的一部分（D）抛物线的一部分

第n卷（非选择题共no分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.设等差数列{6}的公差不为0,其前〃项和是S..若$2=邑，S«=0,则

k=____.5

10.（f+*）6的展开式中、的系数是160

x

11.设•若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则.

12.在直角坐标系中，点B与点A（T,O）关于原点。对称.点P（x。,%）在抛物线

y2=4x±,且直线AP与成的斜率之积等于2,则须广.1+0

13.数列的通项公式，前项和为，则o3018

14.记实数X],42，，/中的最大数为max{X1,X2，，七J，最小数为ming,%，，七』•

设△ABC

的三边边长分别为〃，4c,^a<b<c,定义△ABC的倾斜度为

.abc\.,a

r=max{-,-,-}min{-,

bcab

ca

(i)若△A3C为等腰三角形，则，=；1

(ii)设4=1,则f的取值范围是

4

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤.

15.(本小题共14分)

已知函数/(x)=m\nx+(m-i)x(mGR).

(I)当m=2时，求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(II)讨论/(x)的单调性；

(III)若/(%)存在最大值M,且M>0,求用的取值范围.

(18)(共14分)

解：(I)当m=2时，/(x)=2lnx+x.

、2,x+2

f\x)=-+\=——.

XX

所以/'⑴=3.

又/⑴=1，

所以曲线)，=/(%)在点(1J⑴)处的切线方程是y一1二3。-1),

即3x-y-2=0.

(II)函数/(幻的定义域为(0,+8),

a,、m.(w-l)x+w

XX

当机<0时，由x>0知/'（x）=—+〃7-1<0恒成立,

X

此时/（X）在区间（0,+8）上单调递减.

当机24时，由x>0知/'0）=—一1>0恒成立,

X

此时/（A-）在区间（0,4-00）上单调递增.

当时，由/'(x)>0,得u<m，由/'(x)v0,得u>"

1-/7/I-m

此时/（X）在区间（0,—”一）内单调递增，在区间（一”一,+8）内单调递减.

\-m1-m

（111）由（II）知函数/（X）的定义域为（0,+8）,

当〃W0或〃221时，/（X）在区间（0,+oo）上单调，此时函数/⑺无最大值.

当0<〃7<1时，/（X）在区间（（）,一%一）内单调递增，在区间（“-,+8）内单调递

1—m1—m

减，

所以当0cm<1时函数/*）有最大值.

最大值A/==win———m.

\-in1-m

因为M>0,所以有〃?ln—"一一w>0,解之得机〉一J

\-m1+e

所以团的取值范围是（一J,I）.

1+e

16.（本小题满分13分）

已知函数/（x）=sinx-6/cosx的一个零点是:.

（I）求实数。的值;

(II)设g(x)=/(x)-/(-x)+2Gsinxcosx，求g(x)的单调递增区间.

(I)解：依题意，得

，(今二0，............1分

4

即

•••3分

解得

4=1........

...5分

(II)解：由(I)得

/(x)=sinx-cosx.............6分

g(x)=/(x)-/(-x)+2石sinxcosx

=(sinx-cosx)(-sinx-cosx)+Gsin2x..........

.....7分

=(cos2x-sin2x)+V3sin2x............8分

=cos2x+\/3sin2x.....

.....9分

=2sin(2x+-^)........

...10分

rh2kn--<2x+—<2kn+—,

262

得kit-—<x<kn+—,

36

keZ........................12分

所以g(x)的单调递增区间为［E—三,E+工］,

36

keZ........................13分

1

17.(本小题满分13分)己知数列h｝是等差数列，hl=l,hJ+h2+-+h,o=145.

(1)求数列｛bj的通项公式bn；

⑵设数歹必aj的通项aEog,(l+J)(其中a>()且a#l)记S”是数列｛a｝的前n项和，试

bn

比较Sn与，10g.b向的大小，并证明你的结论.

3

(1)解：设数列｛4｝的公差为&由题意得，・・・4=3〃-2

(2)证明：由儿二3〃-2知

S=log“(l+l)+log“(l+)+・-+log”(l+)

=loga[(1+1)(1+)•,•(1+)]

而log“如=log,“于是,比较S与log%的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.

取比1,有(1+1)=

取77=2,有(1+1)(1+

推测:(1+1)(1+)…(1+)>C)

①当小1时，己验证(*)式成立.

②假设行1)时(4)式成立，即(1+D(1+)…(1+)>

则当上4+1时，

，即当/尸奸1时，(*)式成立

由①©知，C)式对任意正整数〃都成立.

于是，当a>l时，S>log4i，当OVaVl时，*Vlog&i

18.(本小题满分13分)

已知函数/Cr)=o¥-lnx,g(x)=e"'+3x,其中QER.

(I)求/")的极值；

(H)若存在区间M,使/(幻和g(x)在区间例上具有相同的单调性，求〃的取

值范围.

18.(本小题满分13分)

(I)解：f(%)的定义域为

(0,+oc),1分

f,(x)=a--=—―...................2

xx

分

①当时，ru)<o,故在(0,+8)上单调递减.

从而/(幻没有极大值，也没有极小

值............3分

②当。>0时，令/'(x)=0,得x=L.

a

/(x)和/'(X)的情况如下：

故/(X)的单调减区间为(0,L)；单调增区间为d，+8).

aa

从而/(x)的极小值为/(-)=1+In«；没有极大

a

值.............5分

(II)解：g。)的定义域为R,且

g'(x)=i+3............6分

③当。>0时，显然g'(x)>0,从而以此在R上单调递增.

由(I)得，此时/*)在(L+8)上单调递增，符合题

a

意.8分

④当4=0时，g(x)在R上单调递增，/(幻在(0,+8)上单调递减，不合题

意....9分

13

⑤当〃<0H寸，令g'(x)=0,得厮=—ln(一一).

当一3«。＜0时，/KO,此时g(x)在(%,+8)上单调递增，由于/(幻在

(0,+8)上单调递减，不合题

意.............11分

当。＜一3时，%＞0,此时g0)在(70,%)上单调递减，由于/*)在(0,+8)

上单调递减，符合题意.

综上，。的取值范围是

—U(0,y)・13分

19.(本小题满分14分)

r22

如图，椭圆r+2VTMlS〉人〉。)的左焦点为尸，过点尸的直线交椭圆于A,B

a~b~

两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60".

(I)求该椭圆的离心率；

(H)设线段A3的中点为G,A3的中垂线与x轴和)，轴分别交于RE两点.记

△GFO的面积为5，/XOED(。为原点)的面积为S2,求业的取值范围.

19.(本小题满分14分)

(I)解：依题意，当直线A8经过椭圆的顶点(0/)时，其倾斜角为

60............1分

设厂(-c,0),

则

—=tan60=5/3............2

分

将b=>/3c代入a2=b2+c2

解得

a=2c............3分

所以椭圆的离心率为

e=-=~............4分

a2

(II)解：由(I),椭圆的方程可设为

-J............5分

4c-3厂

设A(x，y),B(x2,y2).

依题意，直线A5不能与其)，轴垂直，故设直线A3的方程为)，=《(x+c),将

其代入

3/+4/=]2ct整理得

(4k2+3)x2+8H2%+4&2一=0............7分

-Sck2,c、6ck

则.+/=4/+3,y+y2=k(zM+&+2c)=4,+3'

「(-4以23ck

54k2+3“2+3)*

.......8分

因为GDA.AB,

所以

-ck2

与一4尸+3..............9分

因为AGFDs^OED,

所以

22

/-4ck-ck、2/3ck.

(—I--------5-)+(——)2

S一|GO|2=4k-+34代+?4K+3..............11分

5~|OD|2-

2(~ck)2

(4r+3)

(342)2+(3或)2

9c2k4+9c2k29

=9+—>9.

(4)2k2

•••••••••]3

q

所以义•的取值范围是

邑

(9,+8).14分

(20)(本小题共13分)

设4是由几个有序实数构成的一个数组,记作：A=，可,…,〃”).其中4

(i=l,2,,〃)称为数组A的“元”，2・称为《•的下标.如果数组S中的每个“元”都

是来自数组A中不同下标的“元”，则称