三角形的内心

直线与圆的位置关系（四）

如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ABC三角形的内切圆的定义：ABC和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形叫圆的外切三角形定义问题１：作圆的关键是什么？问题２：怎样确定圆心的位置？问题３：圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？ABC（确定圆心和半径）（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置）（过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）例1作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知：△ABC（如图）求作：和△ABC的各边都相切的圆问题４:在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗?（不能）任何一个三角形都只有一个内切圆典型例题3、以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求的圆.例1作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知：△ABC（如图）求作：和△ABC的各边都相切的圆ABCMNID作法：1、作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.三角形内切圆的圆心叫三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等①三角形的内心是三角形角平分线的交点③三角形的内心一定在三角形的内部三角形内心的性质定义：和多边形各边都相切的圆叫做

，这个多边形叫做

。

多边形的内切圆圆的外切多边形内切外切如上图，四边形DEFG是⊙O的

四边形，⊙O是四边形DEFG的

圆，DEFG.O思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？(菱形，正方形一定有内切圆)定义例2如图，在△ABC中，点O是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BOC的度数ABCO（2）若∠A=80°,则∠BOC=

度。（3）若∠BOC=100°，则∠A=

度。∴∠BOC=180°-（∠ABC＋∠ACB）12

=180°－60°=120°同理∠OCB=∠OCA=12∠ACB=35°解（1）∵点O是△ABC的内心，∠ABC=25°∴∠OBC=

∠OBA=12试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？请说明理由．典型例题名称确定方法图形性质

内心（三角形内切圆的圆心）三角形三边中垂线的交点三角形三条角平分线的交点(1)OA=OB=OC(2)外心不一定在三角形的内部．（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）内心在三角形内部．

外心(三角形外接圆的圆心)直角三角形的内切圆已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,∠AC=3,BC=4.求⊙O的半径r.●ABC●┏O●┗┓ODEF┗典型例题这个结论可叙述为“直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和减去斜边”.直角三角形的内切圆已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,三边长分别是a,b,c.求⊙O的半径r.ABC●┗┏┓ODEF┗三角形的内切圆已知:如图,△ABC的面积S=4cm2,周长等于10cm.求内切圆⊙O的半径r.●ABC●O●┗┓ODEF┗老师提示:△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积.三角形的内切圆已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.求内切圆⊙O的半径r.●ABC●O●┗┓ODEF┗这个结论可叙述为:三角形的面积等于其周长与内切圆半径乘积的一半.三角形的内切圆已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,BC=5,r=2.求△ABC的周长.ABC●┗┏┓ODEF┗三角形的内切圆已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=2.求⊙O的半径r.ABC●┗┏ODFE三角形的内切圆已知:如图,在△ABC中,∠A=60°,AB=10,AC=8,

⊙O与△ABC的边AC,AB相切于点D,E.1.求⊙O的面积s与EA的长x之间的函数关系式;2.当⊙O与△ABC的三边都相切时,求⊙O的面积.ABC●┗OED如图,在△ABC中,∠A=60°,AB=10,AC=8,⊙O与AB,AC相切,设⊙O与AB的切点为E,且圆的半径为R,AE=x,若⊙O在变化过程中,都是落在△ABC内,(含相切),

则x的取值范围________.ABC●┗OED拓展ABC●┗OEDF0＜x≤9-

1、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法.

2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。

3、学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与“外心”的区别，

4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。归纳总结（A）梯形（B）菱形（C）矩形（D）平行四边形1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（）2、如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DE＝DB练习3、如图，菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，则内切圆的半径为（）（A）

（B）

（C）