【《一元多项式整除性的判定问题研究》8300字（论文）】

一元多项式整除性的判定问题研究目录TOC\o"1-3"\h\u13355一元多项式整除性的判定问题研究 113310摘要 1291341前言 1270602预备知识 2292963一元多项式整除性的判定方法 3147563.1利用一元多项式整除的定义及判定定理判定整除性 3265573.2利用一元多项式整除的性质判定整除性 567903.3利用互素多项式的性质判定整除性 7128973.4利用不可约多项式的性质判定整除性 10255653.5利用因式分解定理判定整除性 1118443.6利用综合除法判定整除性 13197083.7利用单位根判定整除性 1999033.8利用待定系数法判定整除性 23105304结束语 25摘要一元多项式的整除性是研究多项式理论的基础并贯穿其整个研究过程,然而,对于这一部分内容,不仅题型多,方法多,而且往往蕴含着一定的技巧性,想要有条有理地掌握还存在着一定的难度.本文介绍关于一元多项式整除性的八种常用判定方法,其中包括利用一元多项式整除的性质判定整除性、利用综合除法判定整除性、利用单位根判定整除性、利用待定系数法判定整除性等等.同时,对每一种判定方法都通过一些典型的例子加以阐明,使得判定方法更加具体化、形象化,最后指出每一种判定方法的优势和关键点,以便更好地掌握一元多项式整除性问题的方法与要领.关键词：一元多项式；整除；互素多项式；单位根1前言多项式理论的研究内容很多,其中整除性理论的基础性决定了其自身在多项式理论中的特殊地位.一元多项式在多项式理论中出现的频率很高,它由系数和一个唯一的且最高次数为任意次的未知数经过运算所得到,其中未知数是一个非负的整数.在多项式理论的学习中,一元多项式整除性的判定值得我们进行认真仔细地钻研,一元多项式的整除性不仅可以为后续更深入的多项式理论学习奠定坚实牢固的基础,而且也是其它相关的数学知识建立起前后联系的重要桥梁.一元多项式整除性的判定方法很多,许多优秀的学者都对一元多项式整除性的判定方法进行过归纳总结,比如,在文献REF_Ref25077\n\h[1]中,孙永平归纳了利用乘法公式判定整除性、利用整除的传递性判定整除性、利用奇偶分析法判定整除性等几种方法,在文献REF_Ref25472\n\h[2]中,杨峻和吴忠林介绍了利用待定系数法判定整除性、利用熟知的乘法公式判定整除性等几种常见的方法,在文献REF_Ref25518\n\h[3]中,刘惠棠总结了利用单位根和单位原根判定整除性等几种常用的方法,在文献REF_Ref29175\n\h[4]中,谢庆兰以是否包含单位根作为依据，把一元多项式分为两类，再对其整除性进行分类讨论，在文献REF_Ref29234\n\h[5]中,唐鹏程探究了如何利用数学归纳法、反证法等方法来判定一元多项式整除性.不仅如此,有很多优秀作者的著作中也对一元多项式整除性的判定方法进行了深入的研究,比如,在文献REF_Ref29619\n\h[6]、REF_Ref29342\n\h[7]中,王利广、李本星、钱吉林精心整理了与一元多项式整除性相关的定义、定理、性质等基础知识,同时也整理了相应的习题.这一系列优秀的文献,无不为研究一元多项式整除性的判定提供了科学有效的方法和强有力的指导.在一元多项式的加减乘除这四种运算中,并非全部都能够满足封闭性，其中一元多项式的除法运算是不封闭的,而另外三种运算则满足封闭性,这就显示出一元多项式的整除性在一元多项式的运算中是重要且特殊的.再者,一元多项式的整除性与-矩阵的标准型等其它的数学内容休戚相关,因此对一元多项式的整除性进行深入研究就具有了重大意义.本文介绍八种关于一元多项式整除性判定的常用方法,其中包括利用一元多项式整除的定义及判定定理判定整除性、利用一元多项式整除的性质判定整除性、利用互素多项式的性质判定整除性、利用不可约多项式的性质判定整除性、利用因式分解定理判定整除性、利用综合除法判定整除性、利用单位根判定整除性、利用待定系数法判定整除性,每一种判定方法都有相关的例题以加深理解,并指出使用每一种方法的优势和关键点所在.只有对一元多项式的整除性的基础知识和判定方法都了如指掌,后续的多项式学习才会变得游刃有余.2预备知识定义REF_Ref23098\n\h[8]设,,,则在中存在唯一的多项式与使,（2.1）其中或.称为除的商式,为除的余式.定义REF_Ref23098\n\h[8]设,,如果存在使,（2.2）则称多项式能整除多项式,这时我们说是的一个因式,是的一个倍式.习惯上我们用符号表示整除.3一元多项式整除性的判定方法3.1利用一元多项式整除的定义及判定定理判定整除性定理REF_Ref23098\n\h[8]若,则除所得的余式为.例设,证明:当且仅当,其中是一个实数.分析证明过程分为两步.首先证明必要性,被整除,又被整除,则根据一元多项式整除的定义即可证明.其次证明充分性,首先假设,再利用一元多项式的带余除法和一元多项式整除的判定定理推导出矛盾即可推翻假设.证明首先证明必要性.因为,则根据一元多项式整除的定义可知,存在一个一元多项式,使,于是,从而有.下面证明充分性.假设,根据一元多项式的带余除法,则可知存在唯一的一元多项式、,使,,于是.因为,则根据一元多项式整除性的判定定理可知,即.这与产生矛盾,从而推翻假设,所以.综上,当且仅当,其中是一个实数.例设、,其中,,,,均为实数,且,证明:当整除时,实数,,满足关系式.分析已知一元多项式、的含有未知数的表达式,便可对、进行除法计算,从而得到商式和余式.已知,则根据一元多项式整除的判定定理,利用解方程即可得知实数,,之间的关系.证明设除所得到的商式为,余式为.根据一元多项式的带余除法可知,存在唯一的一元多项式、,使.因为,则根据一元多项式整除的判定定理可知,必然有.对、进行除法计算如下,由此得知,=0.从而有,解之得.综上,当整除时,实数,,满足关系式.利用一元多项式整除的定义及判定定理判定整除性的优势及关键点:对定义的理解和应用是解题的根本所在,且判定定理作为判断两个一元多项式是否符合整除定义的定理,两者在解题的过程中往往是不可分割的.把这两者运用在解决一元多项式整除性问题上,干脆利落,直接了当,无需进行过多的考虑,重视并利用好定义和判定定理,才能使一元多项式整除性问题的解决更加合理、更加高效.利用本方法解题的关键点在于熟悉定义并能够把定义与判定定理中余式为0相结合,以此作为解题的突破口.3.2利用一元多项式整除的性质判定整除性性质REF_Ref23098\n\h[8]如果,,那么.性质REF_Ref23098\n\h[8]如果,,那么,其中,,为任意多项式.例设、,其中,是一个正整数,,,,,,证明:.分析经过整理,可得.令,则有.要证,只需证,即要证明,,,,,借助性质以及公式即可证明.证明由公式,可知.因为,,,,,所以,从而有,,,,.由于,,则根据性质可得,,,,.经过整理,可得.令,由于,,,,,所以.又因为,所以根据性质,令,,则有,即.例设,,,且三者满足如下的两个关系式:,,证明:且.分析要证分别整除、,只需找到一元多项式、,使,.现已知,,满足如下的两个关系式:,,根据性质,只需要确定、,就可找到、.证明令,,则有,.由性质,令,,则有,而,即,所以.同理,由性质,令,,则有,而,即,所以.利用一元多项式整除的性质判定整除性的优势和关键点:性质是定义的延伸,一元多项式整除的性质可以由其定义直接推理得到,性质在解题中的作用也不容小觑.从一元多项式整除的性质入手,充分挖掘题目的内在,理清解题思路,就可以让问题更为简单化,从而大大地提高解题速度,同时对于提高思考能力和锻炼数学思维也有积极的作用.利用本方法的关键点在于熟悉一元多项式整除的性质,充分理解这些性质的本质,根据题干所给的已知条件灵活地运用.3.3利用互素多项式的性质判定整除性性质REF_Ref23098\n\h[8]如果,并且,那么.性质REF_Ref23098\n\h[8]如果,,且,那么.例设一元多项式、、、满足如下的两个关系式:,,证明:且.分析比较上述的两个关系式,发现与的前面是一个相同的一元多项式,而、前面的一元多项式的形式均形如,只有常数及其前面的正负号不相同,把上述两个关系式进行加减运算,便可进一步得知四个一元多项式、、、之间的关系,再利用互素多项式的性质即可得证.证明令第一个关系式为①式,第二个关系式为②式.①+②得,即,从而可知.易知,则根据性质可知.①-②得,即,从而可知.由于,则.因为,所以,从而.由于、,所以.综上,当一元多项式、、、满足题干中的两个关系式时,、均可被整除.例设、,其中,,证明:.分析经过整理,可得.要证,只需证明,即.证明当时,有,从而.当时,有,从而.由于、,且,则根据性质可得,,即.利用互素多项式的性质判定整除性的优势及关键点：互素多项式与一元多项式的整除性密不可分,两者有机地结合起来,就可推导出互素多项式的重要性质.互素多项式的性质是解决一元多项式整除性问题的有效工具,把互素多项式的性质灵活地运用到一元多项式整除的问题中去,往往可以激发做题的灵感,解题效果也会因此变得更好.利用本方法解题的关键点在于熟悉互素多项式的性质,根据题干所给的已知条件,找出互素多项式的性质与一元多项式整除性问题之间的内在联系.3.4利用不可约多项式的性质判定整除性性质REF_Ref23098\n\h[8]不可约多项式与任意的多项式的关系只有或.例设、、,其中、均为不可约多项式且互不相等,、、存在整除关系,证明：.分析已知,要证,根据性质只需证.根据题意,由性质即可证明.证明因为、均为不可约多项式且互不相等,则,由性质可知,.又因为,所以.例设、,且是不可约多项式,证明:.分析证明过程分为两步.首先证明必要性,由于、,根据性质即可证明必要性.其次证明充分性,先假设,再利用性质推导出矛盾即可推翻假设.证明首先证明必要性.由于,则.又因为,则根据一元多项式整除的传递性可知.下面证明充分性.假设,由题意知,为不可约多项式,则由性质可知,一元多项式与互素,从而由多项式互素的性质知与互素,这与产生矛盾,从而推翻假设,所以.利用不可约多项式的性质判定整除性的优势和关键点:从不可约多项式延伸出来的性质在解决一元多项式的整除性问题上优势突出,运用不可约多项式的性质进行解题,巧妙性极强,不仅可以快速找到解题的突破口,而且解题思路也会变得一清二楚,这样花费在解题上的时间也可以在很大程度上得到节约.利用本方法的关键点在于要对不可约多项式的性质了如指掌,根据题干所给的已知条件,找出利用不可约多项式的性质的条件即可.3.5利用因式分解定理判定整除性定理REF_Ref23098\n\h[8]的一个次数大于零的多项式可分解成不可约多项式的乘积.若不计算零次多项式的差异及因式的顺序,分解成不可约因式的乘积的分解式是唯一的.推论REF_Ref23098\n\h[8]设，,,,而的标准分解式为,则的充分必要条件是,其中,,,.例判断一元多项式能否被整除,若能整除,求出其商式.分析除式是一个在实数域上的最高次数为次的不可约多项式.因为一元多项式的最高次数为次,所以可进行因式分解.若除式为其中的因式之一,则可知.解对一元多项式进行因式分解,可得.由在实数域上的标准分解式可知,商式.例设、,且两者的最高次数均大于或者等于,证明:.分析证明过程分为两步.首先证明必要性,由于,根据一元多项式整除的定义即可证明.其次证明充分性,由于,的最高次数大于或者等于,则利用因式分解唯一性定理即可证明充分性成立.证明首先证明必要性.因为,则根据一元多项式整除的定义可知,存在一个一元多项式,使,从而有,所以.下面证明充分性.由于一元多项式,的最高次数大于或者等于,则,均可以进行因式分解.设,的标准分解式分别为,,则,的标准分解式可分别表示为,.由题意知,则根据推论,有,,,,,即,再由推论可知.利用因式分解定理判定整除性的优势和关键点:对于一元多项式整除性的判定问题,若除式是一个不可约多项式的时候,则可利用因式分解定理对被除式进行分解,便可一眼看出是否整除,同时还可看出其商式.对一元多项式进行标准分解,不仅可以快速对整除关系进行判定,而且效果甚佳,因此对其牢固掌握并熟练运用很有必要.利用本方法解题的关键点在于充分地理解一元多项式的标准分解式,同时也要明确一点,即当两个一元多项式之间具有整除关系的时候,它们两个的标准分解式中除了常数、以及因式的次数之外,其它都是一样的.3.6利用综合除法判定整除性定义REF_Ref23098\n\h[8]设,除所得的商式和余式分别为和,则,其中.上面求商式和余数的过程可以用以下表格的形式表示:例试判断能否整除,并求出其商式以及余式:;，;;，.分析由于,提取公因式后,符合的除式形式,而且的表达式也是已知的,从而可以利用综合除法判定两者是否存在整除关系,并求除出商式以及余式.解设除的商式为,余式为,则有.利用综合除法,可得根据综合除法列表可知,除的商式,余式,即能整除.设除的商式为,余式为,则有,其中.利用综合除法,可得根据综合除法列表可知,除的商式,余式,即能整除.由上可知,即找到一个一元多项式,使,所以能整除.例若、均为实数,一元多项式能够被整除,求实数、的值.分析由于能够被整除,则根据一元多项式整除的定义可知,存在一元多项式,使,即表明也能够被整除.令,则也能够被整除.利用两次综合除法进行计算,再结合两个一元多项式整除余式为,即可得到一个关于、的方程组,通过解方程即可求出实数、的值.解由于能够被整除,所以也能够被整除.设整除的商式为,则有.利用综合除法,可得根据综合除法列表可知,除的商式,余式.由题意可知,也能够被整除.设整除的商式为,则有.利用综合除法,可得由综合除法列表知,除的商式,余式.通过两次综合除法得到关于、的二元一次线性方程组,解之得.综上,若能够被整除,则实数,.定义中的综合除法只适用于形如的除式,下面介绍综合除法的两种推广形式,使得综合除法不再局限于形如的除式,而是适用于二次甚至更高次的除式.推广一:除式为一元二次多项式.定义设多项式,,由带余除法定理得,,其中,为余数.记,除式为二次多项式的综合除法可表示为如下的计算形式REF_Ref1724\n\h[9]例设有一元多项式、,试判断是否存在整除关系,,;,.分析除式为一元二次多项式,利用推广一的综合除法求出商式和余式即可进行判断.解设除的商式为,余式为,则有.利用推广一的综合除法,可得根据综合除法列表可知,商式,余式,即能整除.设除的商式为,余式为,则有,其中,.利用推广一的综合除法,可得根据综合除法列表知,除的商式,余式,即,从而,则除的商式,余式.推广二:除式为一元次多项式,其中.定义设多项式,,,下面给出给出利用综合除法求除的商和余式的计算形式REF_Ref1724\n\h[9].例试判断一元多项式、是否存在整除关系,,;,.分析除式的最高次数大于,利用推广二的综合除法求出商式和余式即可进行判断.解设除的商式为,余式为,则有,其中,.利用推广二的综合除法可得,根据综合除法列表可知,除的商式,,即.因为,,所以.由上可知，除的商式,余式.设除的商式为,余式为,则有,利用推广二的综合除法,可得根据综合除法列表可知,除的商式,余式,即能整除.利用综合除法判定整除性的优势和关键点:综合除法作为判定一元多项式整除的有力工具,不仅容易掌握,而且应用起来也极其方便.综合除法列表简洁美观,只需要书写一元多项式的系数即可,简便计算的同时提高运算效率,节约时间,准确性也得以提高.通过综合除法列表,可以简便地看出余式,从而判断两个多项式的整除关系,同时也得到两个一元多项式相除的商式.利用该方法解题的关键点在于真正掌握综合除法列表的计算,找准除式的最高次,以此选定所使用综合除法的类型.3.7利用单位根判定整除性定义REF_Ref2053\n\h[10]多项式在复数域上的每一个根称为次单位根.性质REF_Ref2053\n\h[10]设是次单位根,则;当时,.性质REF_Ref2053\n\h[10]设,,,是所有次单位根,则.下面介绍两种利用单位根的定义和性质解决一元多项式整除性问题的常见题型.题型一:证明两个一元多项式具有整除关系,即,其中为一个包括了全部不等于的单位根的特殊多项式,证明的根也是的根.例设有一元多项式,,证明:.分析由公式,则可得知的所有不等于的根,,,也是的根.要证,只需证的根也是根,由单位根的性质和性质即可证明,,,,.证明由公式,可设,,,,为的次单位根,同时,,,也是根,即,,,,.根据性质和性质可知,,,,,,,,,,.把,,,,代入,可得,即,,,,也是的根,所以.推论类似于例的证明可得,若有一元多项式,,其中、、均为正整数,则.例设一元多项式,,其中是正整数,,,,,证明:.分析由公式,则可得知的所有不等于的根,,,也是的根.要证,只需证的根也是根,由单位根的性质和性质即可证明,,,,.证明由公式,可设,,,,为的次单位根,同时,,,也是根,即,,,,.根据性质和性质知,,,,,,,,,,,把,,,,代入,可得,即,,,,也是的根,所以.推论类似于例的证明可得,若有一元多项式,,其中、、均为正整数,则有.题型二:根据单位根的性质得到一个齐次线性方程组,进而证明系数行列式不为零,即可证明两个一元多项式的整除关系.例若有一元多项式,其中,,,,且有整除关系,证明:.分析令,.由公式,则可得知的所有不等于的根,,,也是的根.由于整除,从而,,,也是的根,代入即可得到一个齐次线性方程组.要证,只需证,,,,.证明令,.由公式,可设,,,,为的次单位根,同时,,,也是的根.由性质和性质知,,,,,,,,,,.由于,所以,,,也是的根,故有（3.1）即（3.2）其中,齐次线性方程组（3.2）以,,,为未知数.系数行列式,即表明方程组唯一的解就是零解,即,从而有,,,,,所以有整除关系成立.推论类似于例的证明可得,若有一元多项式,其中,,,,且有整除关系,则.利用单位根判定整除性的优势和关键点:有些一元多项式的整除问题看上去比较复杂,不知从何下手,这时候单位根就可派上用场.单位根的性质比较特殊,只要抓住单位根解题的窍门,把复杂的问题简单化,一元多项式整除的问题便可迎刃而解.利用本方法的关键点在于找到与题干相关的乘法公式,以此作为解题的突破口,把乘法公式灵活地与单位根的性质进行结合,即可对两个一元多项式之间的整除关系进行证明.3.8利用待定系数法判定整除性定义REF_Ref23098\n\h[8]若两个多项式和的同次项的系数都相等,则称和相等,记为.例设一元多项式,,其中、均为整数,若与存在二次的公因式,试求整数与的值.分析已知一元多项式与的表达式,且它们有二次的公因式,不妨设其二次公因式为,便可利用二次公因式得到与的与题干中不同的表达式,这时,与均有两个不同表达式,从而可以利用待定系数法进行解题.解设与的二次公因式为.由于与的最高次数为次,则有一元一次多项式与,使,.由待定系数法得到有关于未知数、、、、、的线性方程如下解