2026届高三数学二轮复习：板块二　数列　微专题8　数列的递推关系

微专题8数列的递推关系高考定位数列的递推关系是高考重点考查内容,作为两类特殊数列——等差数列、等比数列,可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列求解,体现了化归思想在数列中的应用.【真题体验】1.(2021·浙江卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an1+an(n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn,A.32<S100<3 B.3<S100C.4<S100<92 D.92<S答案A解析因为a1=1,an+1=an所以an>0,a2=12所以S100>a1+a2=32又1an+1=1+anan=1所以1an+1即有1an+1<1即1an+1-1由1a1=1,1a2-1a1<12,…由累加法可得1an≤1+n-1所以an≥2所以an+1=an1+an≤an即an+1an≤n+1n+3,可得ana由累乘法可得an≤6(n+2)(n+1)=61n+1所以S100<612-13+12.(2019·上海卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=.

答案31解析n=1时,S1+a1=2,∴a1=1.n≥2时,由Sn+an=2得Sn-1+an-1=2,两式相减得an=12an-1(n≥2)∴{an}是以1为首项,12为公比的等比数列∴S5=1×1-13.(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=.

答案7解析因为an+2+(-1)nan=3n-1,所以当n为偶数时,an+2+an=3n-1,所以a4+a2=5,a8+a6=17,a12+a10=29,a16+a14=41,所以a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=92.因为数列{an}的前16项和为540,所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=540-92=448.①因为当n为奇数时,an+2-an=3n-1,可得an-an-2=3(n-2)-1,…,a3-a1=3×1-1,累加可得an-a1=31+3+…+(n-2)-即an=(n-1)(3n-5)∴a1+a3+…+a15=8a1+14(0+8+40+96+176+280+408+560)=448即8a1=56,所以a1=7.4.(2022·北京卷)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足an·Sn=9(n=1,2,…).给出下列四个结论:①{an}的第2项小于3;②{an}为等比数列;③{an}为递减数列;④{an}中存在小于1100的项其中所有正确结论的序号是.

答案①③④解析由题意可知,∀n∈N*,an>0,当n=1时,a12=9,可得a当n≥2时,由Sn=9a可得Sn-1=9a两式作差可得an=9an-所以9an-1=9an-an,则9整理可得a22+3a2因为a2>0,所以解得a2=35-32<3,假设数列{an}为等比数列,设其公比为q,则a22=a1a即9S22=81S1S3,所以可得a12(1+q)2=a12(1+q+解得q=0,不合题意,故数列{an}不是等比数列,②错误;当n≥2时,an=9an-9an可得an<an-1,所以数列{an}为递减数列,③正确;对于④,假设{an}中每一项均大于或等于1100当n取值变大时,Sn也逐渐增大,当n>90000时,Sn>900,又an≥1100∴an·Sn>1100×900=9,与an·Sn=9矛盾,故④正确【热点突破】热点一形如an+1=pan+f(n)型考向1an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)例1在数列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,则数列{an}的通项公式为.

答案an=3n+2解析法一(构造法)由an+1=3an-4,设an+1-λ=3(an-λ),即an+1=3an-2λ,故2λ=4,λ=2,则an+1-2=3(an-2),又a1=5,所以{an-2}是以a1-2=3为首项,3为公比的等比数列,所以an-2=3n,即an=3n+2.法二(不动点法)令3x-4=x,解得不动点x=2,由an+1=3an-4,得an+1-2=3(an-2)所以数列{an-2}是以a1-2=3为首项,3为公比的等比数列,所以an-2=3n,即an=3n+2.考向2an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)例2已知数列{an}满足an+1=3an-4n-5,a1=5,求数列{an}的通项公式.解由an+1=3an-4n-5,设an+1+λ(n+1)=3(an+λn)+m,即an+1=3an+2λn-λ+m,故2所以an+1-2(n+1)=3(an-2n)-7.令bn=an-2n,则上式为bn+1=3bn-7.法一(构造法)设bn+1+k=3(bn+k),即bn+1=3bn+2k,故2k=-7,k=-72所以数列bn-72是首项为-12,公比为3的等比数列,则bn-72=-12·3n-1,bn=-12故an=-12·3n-1+2n+7法二(不动点法)令3x-7=x,得x=72由bn+1=3bn-7得bn+1-72=3b所以数列bn-72是首项为-12,公比为3的等比数列,则bn-72=-12·3n-1,bn=-12故an=-12·3n-1+2n+7考向3an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1)例3在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,则an=.

答案4·3n-1-5·2n-1解析法一原递推式可化为an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1).比较系数得λ=-4,故an+1-4·3n=2(an-4·3n-1),则数列{an-4·3n-1}是首项为a1-4·31-1=-5,公比为2的等比数列,∴an-4·3n-1=-5·2n-1,即an=4·3n-1-5·2n-1.法二将an+1=2an+4·3n-1的两边同除以3n+1,得an+13n+1=2令bn=an3n,则bn+1=23b设bn+1+k=23(bn+k),比较系数得k=-4则bn+1-∴bn-43是以-53∴bn-43=-53则bn=43-53·∴an=3n·bn=4·3n-1-5·2n-1.规律方法形如an+1=pan+f(n)的数列通项公式的求法(1)构造法:构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量,构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量,使之成为等差数列或等比数列.(2)不动点法:①形如an+1=pan+q的数列求通项公式的步骤:a.由x=px+q求出数列{an}的不动点,b.在递推公式an+1=pan+q两端同时减去x,化简使其左、右两侧结构一致,c.构造数列求通项.②an+1=pan+f(n)可转化为bn+1=pbn+k的形式求解.训练1(1)已知数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,则an=.

(2)(2025·温州调研)已知数列{an}中,a1=1,an+1=3an+3n,则an=.

答案(1)2×3n-1-1(2)n·3n-1解析(1)因为an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),因为1+a1=2,所以数列{1+an}是以2为首项,以3为公比的等比数列,所以1+an=2×3n-1,所以an=2×3n-1-1.(2)∵an+1=3an+3n,∴an+13n+1∴数列an3n是等差数列,又a13=13,∴an3n=13+(n∴an=n·3n-1.热点二形如an+1=pan+qan-1(a1=a,a2=b)型例4已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求这个数列的通项公式.解法一(构造法)∵an=2an-1+3an-2,∴an+an-1=3(an-1+an-2),又a1+a2=7,∴{an+an-1}是首项为7,公比为3的等比数列,则an+an-1=7×3n-2,①又an-3an-1=-(an-1-3an-2),a2-3a1=-13,∴{an-3an-1}是首项为-13,公比为-1的等比数列,则an-3an-1=(-13)·(-1)n-2①×3+②得4an=7×3n-1+13·(-1)n-1,∴an=74×3n-1+134(-1)n-法二(特征根法)数列{an}的特征方程为x2=2x+3,解得x1=-1,x2=3.令an=c1·(-1)n+c2·3n,由a故an=-134(-1)n+712·3n=74·3n-1+134(-1)规律方法形如a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an,其特征方程为x2=px+q,①若①有二异根α,β,则可令an=c1αn+c2βn(c1,c2是待定常数);若①有二重根α=β,则可令an=(c1+nc2)αn(c1,c2是待定常数).再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2,进而求得an.训练2(1)在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2=2an+1-an(n∈N*),则数列{an}的通项公式为.

(2)在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则an=.

答案(1)an=10-2n(2)2n-1解析(1)由题意知an+2-an+1=an+1-an,所以{an}为等差数列.设公差为d,由题意得2=8+3d,则d=-2,得an=8-2(n-1)=10-2n.(2)由题意知an+2-an+1=2(an+1-an),∵a2-a1=2,∴{an-an-1}是首项为2,公比为2的等比数列,an-an-1=2n-1(n≥2),当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=1-2n1-2=2显然n=1时满足上式,∴an=2n-1.热点三形如an+1=pa例5(1)(2025·许昌质检)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2anan+2,则a(2)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=anan+3(n∈N*),则an答案(1)2n+1解析(1)∵an+1=2anan+2∴an≠0,∴1an+1=1an+12,即又a1=1,则1a1∴1an是以1为首项,1∴1an=1+(n-1)×12=n∴an=2n(2)法一(构造法)∵1an+1=3·∴1an+1+12=31an∴1an+12是以1∴1an+12=3n-1,∴1an=3n∴an=22法二(不动点法)由方程xx+3=求出x1=0,x2=-2,于是an+1-0=anan+3an+1+2=anan两式相除得an+1an+1故数列anan+2是首项为故anan+2=12·13n规律方法求形如an+1=pan(1)当q=0时,可用构造法:两边同时取倒数转化为1an+1=sp·1an+rp的形式,化归为bn+1=pbn+q型,求出b(2)当q≠0时,可用不动点法.①若只有一个不动点x0,则1an②若有两个不动点x1,x2,则an-训练3(1)已知数列{an}的首项a1=23,an+1=2anan+1,则{a(2)在数列{an}中,若a1=1,an+1=an2an+1,则a答案(1)an=2n2n解析(1)因为an+1=2a所以1an+1=11an+1-1=12an所以1an-1是以1a1-1=12为首项,12为公比的等比数列,所以1(2)取倒数得1an+1=即1an+1-所以数列1an是首项为1,公差为2的等差数列,故1an=1+2(n-1)=2所以an=12热点四形如an+1=panq(p>0,an例6在正项数列{an}中,a1=1,an+1=2an2,求数列{an}解取以2为底的对数,得到log2an+1=log2(2an2即log2an+1=log22+2log2an,log2an+1=1+2log2an,设bn=log2an,则有bn+1=1+2bn,则bn+1+1=2(bn+1),所以{bn+1}是以b1+1=1为首项,2为公比的等比数列,所以bn+1=2n-1,所以bn=2n-1-1,log2an=2n-1-1,an=22规律方法若an+1=panq(p>0,q≠1,an>0),则构造lgan+1训练4已知数列{an}满足an=32an-12+3an-1+12,a1=2,则log2(答案31log23-15解析由an=32an-12+3an-1+12可得an+1=32(因为a1=2>0,根据递推公式可得出a2>0,a3>0,…,进而可知,对任意的n∈N*,an>0,在等式an+1=32(an-1+1)2两边取对数令bn=log2(an+1),则bn>0,可得bn=2bn-1+log232则bn+log232=2b所以,数列bn+lo且首项为b1+log232=log2(a1+1)+log232=log292,∴b5+log232=24log292=16(2log23=32log23-16,即log2(a5+1)=32log23-16-log232=31log23-【精准强化练】一、单选题1.数列{an}中,an+1=2an+1,a1=1,则a100=()A.2100+1 B.2101 C.2100-1 D.2100答案C解析数列{an}中,an+1=2an+1,故an+1+1=2(an+1),因为a1=1,所以a1+1=2≠0,所以{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2n,即an=2n-1,故a100=2100-1.2.已知数列{an}满足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),则a9+a10=()A.47 B.48 C.49 D.410答案C解析由题意a1+a2=4,由an=3an-1+4an-2(n≥3)得an+an-1=4(an-1+an-2),即an+an-1所以数列{an+an+1}是等比数列,公比为4,首项为4,所以a9+a10=49.3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an4an+1,则满足an>137A.7 B.8 C.9 D.10答案C解析因为an+1=an4an+1,所以1an+1-又1a1=1,数列1an是以1为首项,4为公差的等差数列,所以1an=1+4(n所以an=14由an>137,即14n即0<4n-3<37,解得34<n<10因为n为正整数,所以n的最大值为9.4.设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-2n+1,则S10=()A.211-23 B.210-19C.3×210-23 D.3×29-19答案C解析当n=1时,S1=a1=2a1-2+1,解得a1=1.当n≥2时,Sn-1=2an-1-2n+3,所以an=Sn-Sn-1=2an-2n+1-(2an-1-2n+3),即an=2an-1+2,所以an+2=2(an-1+2),即an+2所以数列{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列,则an+2=3×2n-1,从而Sn=3×2n-2n-3,故S10=3×210-23.5.(2025·武汉调研)在数列{an}中,a1=3,an=2an-1-n+2,若an>980,则n的最小值是()A.8 B.9 C.10 D.11答案C解析因为an=2an-1-n+2,所以an-n=2[an-1-(n-1)].因为a1=3,所以a1-1=2,所以数列{an-n}是首项和公比都是2的等比数列,则an-n=2n,即an=2n+n.因为an-an-1=2n-1+1>0,所以数列{an}是递增数列.因为a9=521<980,a10=1034>980,所以满足an>980的n的最小值是10.6.已知数列{an}中,a1=23,an+1=an+an·an+1,则数列{an}的通项公式an=(A.33nC.52-n D.答案D解析由题意,可得an+1=an+an·an+1,即1an+1-1又1a1=32,所以数列1an是以3所以1an=32-(n-1)=5所以an=25-27.已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2an+1+1,则a10=(A.80 B.100 C.120 D.143答案C解析因为an+1=an+2an+1所以an+1+1=(an+1)2+2a即an+1+1=(an+1+1)等式两边开方可得an+1+1=即an+1+1-所以数列{an+1}是首项为a公差为1的等差数列,所以an+1=2+(n-1)×1=n所以an=n2+2n,所以a10=102+20=120.故选C.8.(2025·六安模拟)某种生命体M在生长一天后会分裂成2个生命体M和1个生命体N,1个生命体N生长一天后可以分裂成2个生命体N和1个生命体M,每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M的生长开始计算,记an表示第n天生命体M的个数,bn表示第n天生命体N的个数,且a1=1,b1=0,则下列结论中正确的是()A.a4=13B.数列bnC.5∑n=1bD.若{an+λbn}为等比数列,则λ=1答案B解析依题意,an+1=2an+bn,bn+1=2bn+an,则an+1+bn+1=3(an+bn),而a1+b1=1,因此数列{an+bn}是首项为1,公比为3的等比数列,an+bn=3n-1.又an+1-bn+1=an-bn,因此an-bn=a1-b1=1,于是an=3n-1+12,b对于A,a4=33+12=14,对于B,bnan=3n显然数列-23因此bnan为递增数列,对于C,5∑n=1bn=0+1+4+13+40=58,C对于D,a1+λb1=1,a2+λb2=2+λ,a3+λb3=5+4λ,由{an+λbn}为等比数列,得(2+λ)2=5+4λ,解得λ=1或λ=-1,当λ=1时,an+λbn=3n-1,显然数列{an+λbn}是等比数列,当λ=-1时,an+λbn=1,显然数列{an+λbn}也是等比数列,因此当数列{an+λbn}是等比数列时,λ=1或λ=-1,D错误.二、多选题9.(2025·广州质检)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an2+3an(n∈N*),A.1aB.{an}的通项公式为an=1C.{an}为递增数列D.1an的前n项和Tn=2n+2-3n答案AD解析因为an+1=an2+3an,且a1可知an≠0,所以1an+1=2+3a所以1an+1又1a1+3=4,所以数列1an+3是以4为首项,2为公比的等比数列则1an+3=4·2n-1=2n所以an=12n+1-3,因为an+1-an=12n=(2n+1又n∈N*,所以2n+1>0,2n+2-3>0,2n+1-3>0,所以an+1-an=-2n所以{an}为递减数列,故C错误;由上述得1an=2n+1-所以Tn=22+23+…+2n+1-3n=22(1-2n)1-2-3n=2n+2-3n-10.已知数列{an}满足a1=1,an-3an+1=2an·an+1(n∈N*),则下列结论正确的是()A.1aB.{an}的通项公式为an=1C.{an}为递增数列D.1an的前n项和Tn=3n答案AB解析因为an-3an+1=2an·an+1,所以1an+1又1a1+1=2≠0,所以1an3为公比的等比数列,1an+1=2×3n-即an=12所以{an}为递减数列,1an的前Tn=(2×30-1)+(2×31-1)+…+(2×3n-1-1)=2(30+31+…+3n-1)-n=2×1-3n1-3-n=3n-11.(2025·济宁质检)设数列{an}的前n项和为Sn,满足(an-1)2=4(100-Sn),n∈N*且a1>0,an+an-1≠0(n≥2),则下列选项正确的是()A.an=2n-23B.数列SnC.当n=10时,Sn有最大值D.设bn=anan+1an+2,则当n=8或n=10时,数列{bn}的前n项和取最大值答案BCD解析对于A,当n=1时,(a1-1)2=4(100-a1),解得a1=19或a1=-21,因为a1>0,所以a1=19.由(an-1)2=4(100-Sn),n∈N*,得(an-1-1)2=4(100-Sn-1),n≥2,所以(an-1)2-(an-1-1)2=4(100-Sn)-4(100-Sn-1),整理得(an+an-1)(an-an-1+2)=0,因为an+an-1≠0,所以an-an-1+2=0,即an-an-1=-2,所以数列{an}是首项为19,公差为-2的等差数列,所以an=19+(n-1)×(-2)=-2n+21,故A错误;对于B,由A可知,Sn=19n+n(n-1)2×(-2)=-n所以Snn=-n2+20所以Sn+1n+1-Snn=-(n+1)+2