小学《拓扑学》空间性质知识点试卷

小学《拓扑学》空间性质知识点试卷一、填空题（每题2分，共20分）拓扑学中，“甜甜圈”和“咖啡杯”在拓扑变换下是等价的，这种等价关系称为______。一个集合如果包含所有的极限点，则称为______集。在拓扑空间中，任意多个开集的并集仍然是开集，这是拓扑空间定义中的______公理。若拓扑空间中任意两个不同的点都有不相交的邻域，则该空间满足______分离公理。球面去掉一个点后，其拓扑结构与______空间等价。设X是拓扑空间，A⊆X，若A的闭包等于X，则称A是X的______子集。若拓扑空间X中任意开覆盖都有有限子覆盖，则X是______空间。实数集R上的标准拓扑是由所有______构成的拓扑。若拓扑空间X中任意两点都可以用一条连续曲线连接，则X是______的。设f:X→Y是拓扑空间之间的连续映射，若f是双射且逆映射也连续，则f称为______。二、选择题（每题3分，共30分）下列哪个不是拓扑不变量？（）A.连通性B.紧致性C.维数D.距离关于豪斯多夫空间，下列说法错误的是（）A.豪斯多夫空间中的单点集是闭集B.度量空间都是豪斯多夫空间C.豪斯多夫空间的子空间也是豪斯多夫空间D.所有拓扑空间都是豪斯多夫空间下列空间中不连通的是（）A.实数集RB.单位区间[0,1]C.两个不相交的开区间的并集D.球面S²设X是拓扑空间，A⊆X，则下列等式成立的是（）A.int(A)=A\∂AB.∂A=A\int(A)C.∂A=∂(X\A)D.以上都对下列关于紧致空间的说法正确的是（）A.紧致空间的闭子集是紧致的B.紧致豪斯多夫空间是正规空间C.实数集R在标准拓扑下是紧致的D.A和B都对若拓扑空间X中任意开覆盖都有可数子覆盖，则X是（）A.紧致空间B.可数紧致空间C.林德勒夫空间D.列紧空间设f:X→Y是连续映射，X是紧致空间，则f(X)是Y的（）A.开子集B.闭子集C.紧致子集D.连通子集下列空间中是可度量化的是（）A.离散拓扑空间B.平凡拓扑空间C.有限补拓扑空间D.以上都对若拓扑空间X中任意两个不相交的闭集都有不相交的邻域，则X是（）A.T₁空间B.T₂空间C.T₃空间D.T₄空间设X是拓扑空间，若X的每个连通分支都是单点集，则X是（）A.连通空间B.局部连通空间C.完全不连通空间D.道路连通空间三、判断题（每题2分，共10分）拓扑空间中的闭集一定是有界的。（）连续映射保持连通性。（）紧致空间的乘积空间也是紧致的。（）度量空间中的开球一定是开集。（）若拓扑空间X是连通的，则X的任意非空真子集的边界都非空。（）四、简答题（每题5分，共20分）简述拓扑空间的定义，并说明开集的三个基本性质。什么是连通空间？请举例说明连通空间和不连通空间的区别。解释紧致空间的定义，并说明紧致性在连续映射下的保持性。简述豪斯多夫空间的定义，并说明其在拓扑学中的重要性。五、证明题（每题10分，共20分）证明：度量空间都是豪斯多夫空间。证明：紧致豪斯多夫空间是正规空间。参考答案一、填空题同胚闭并豪斯多夫（T₂）平面（R²）稠密紧致开区间道路连通同胚映射二、选择题DDCDDCCADC三、判断题×（闭集不一定有界，如实数集R在标准拓扑下是闭集但无界）√（连续映射保持连通性）√（Tychonoff定理）√（度量空间中开球的定义即为开集）√（连通空间的非空真子集边界非空，否则可分解为两个不相交开集的并）四、简答题拓扑空间定义：设X是一个非空集合，T是X的子集族，若满足：X和∅都属于T；T中任意多个集合的并集属于T；T中有限多个集合的交集属于T；则称(X,T)为拓扑空间，T中的元素称为开集。连通空间：若拓扑空间X不能表示为两个非空不相交开集的并，则称X是连通的。例子：实数集R是连通空间；两个不相交开区间(0,1)∪(2,3)是不连通空间。紧致空间：若X的任意开覆盖都有有限子覆盖，则X是紧致的。保持性：连续映射将紧致空间映射为紧致空间（即紧致性是拓扑不变量）。豪斯多夫空间：若拓扑空间中任意两个不同点都有不相交的邻域，则称其为豪斯多夫空间。重要性：豪斯多夫空间中极限点唯一，单点集是闭集，且连续双射若定义域是紧致豪斯多夫空间，则逆映射连续（即同胚）。五、证明题证明：设(X,d)是度量空间，x,y∈X且x≠y，则d(x,y)=ε>0。取U=B(x,ε/2)，V=B(y,ε/2)，则U∩V=∅（否则存在z∈U∩V，有d(x,z)<ε/2且d(y,z)<ε/2，由三角不等式得d(x,y)<ε，矛盾）。故X是豪斯多夫空间。证明：设X是紧致豪斯多夫空间，A,B是X中不相交的闭集。对任意x∈A，存在x的邻域U_x和B的邻域V_x，使得U_x∩V_x=∅。{U_x|x∈A}是A的开覆盖，因A紧致，存在有限子覆盖{U₁,...,Uₙ}，对应的V₁,...,Vₙ。令U=∪U_i，V=∩V_i，则U∩V=∅，且U⊇A，V⊇B。故X是正规空间。试卷设计说明本试卷围绕拓扑空间的核心性质展开，