中考数学冲刺练习ac4.微技能 共底双等腰、共腰双等腰和共顶三等腰三角形

压轴点二几何压轴题微技能共底双等腰、共腰双等腰和共顶三等腰三角形)

(2025真题.22)第二篇难题解构突破压轴模型分析及典例1针对练习2说明：这里说的共底不一定是公共底，而是底边共线；共腰也不一定是公共腰，而是腰共线；共顶三等腰指的是共端点的三条等长线段所形成的三个等腰三角形.模型分析及典例1类型一

共底双等腰三角形<2025真题.22(3)>条件AB=AC，DE=DF，BC

和EF

在同一条直线上图示结论1.∠1=∠2(左腰和左腰所在直线的夹角等于右腰和右腰所在直线的夹角).左图证明提示：∠ABC=∠1+∠BEM=∠1+∠DEF，∠ACB=∠2+∠F.2.∠3=∠4(左腰和另一个三角形右腰所在直线的夹角等于右腰和另一个三角形左腰所在直线的夹角).左图证明提示：∠

EDF=∠3+∠1=∠4+∠2.结论3.若AB=AC，∠1=∠2(或∠3=∠4)，可推出DE=DF(见例1).4.若△

ABC

为等边三角形(右图)，则AD=CF.5.本结论所得两个等角(如右图∠1与∠2)为利用一边一角构造全等三角形创造了条件

类型二

共腰双等腰三角形条件AB=AC，DE=DF，AB

和DE

共线AB=AC，DE=DF，AC

和DF

共线图示结论结论2.任意两个等腰三角形，顶角差都等于底角差的2倍(图3)，顶角和都等于底角和的补角的2倍(图1和图2)，只是在共腰双等腰模型中，腰腰夹角是顶角差(或顶角和)，底底夹角是底角差(或底角和的补角)；结论3.在例2中，∠ABE=2∠DAE

并非共腰双等腰三角形的结论，而是任意一个等腰三角形作腰上的高都有此结论，我们可以过点B

作AE

的垂线，从而将2倍关系转化为角度相等，为利用一边一角构造全等三角形创造条件，即第(3)问【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，过点B

作BD⊥AC

于点D，

延长BD

到点E，使BE=BA，连接AE

并延长交BC

的延长线于点F.(1)∠F

的度数是________°；45(2)∠ABE与∠DAE的数量关系是________________；∠ABE＝2∠DAE

点拨：设∠DAE＝α，∵AC⊥BE，∴∠AEB＝90°－α，∵BE＝BA，∴∠BAE＝∠AEB＝90°－α，∴∠ABE＝180°－2∠AEB＝180°－2(90°－α)＝2α.∴∠ABE＝2∠DAE.

类型三

共顶三等腰三角形条件AB=AC=AD图示结论1.共顶三等腰三角形是共腰双等腰的特殊情形，可以得到：∠BAD=2∠BCD，∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC(左图)或∠BAC=2∠EDC(右图).2.点B，C，D

在同一个以点A

为圆心的圆上，上述结论用圆周角定理推导更直接【例3】如图，在△ABC中，EF

垂直平分AB，分别交AB，AC

于点E，F，点M

在EF

上，连接AM，BM，CM，若△BCM

是等边三角形，AB=6，则AF

的长是_______.

针对练习22.如图，已知△ABC

中，∠ABC=45°，且CD⊥AB于点D，BE⊥AC

于点E，BE

与CD

交于点M.点F

在BC

上，连接AF

交CD

于点G，交BE

于点H，且∠BAF=∠ACD.若MH=4，则FG

的长是_______．8

点拨：∵△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°.∵∠AFC＝∠DBC＋∠BAF，∠ACF＝∠ACD＋∠DCB，∠BAF＝∠ACD，∴∠ACF＝∠AFC，∴AF＝AC.如解图，过F作FN⊥AB于点N(利用一边一角构造全等三角形)，则∠ANF＝∠CDA＝90°，又∵∠NAF＝∠DCA，∴△ANF≌△CDA(AAS)，∴AN＝CD.∵∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC，∴AN＝BD.∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ABE＝∠ACD.∵∠ACD＝∠BAF，∴∠ABE＝∠BAF，∴AH＝BH.∵∠NAF＝∠DBM，AN＝BD，∠ANF＝∠BDM＝90°，∴△AFN≌△BMD(ASA)．∴AF＝BM.∴AF－AH＝BM－BH，∴HF＝HM.∵∠AGD＋∠GAD＝90°，∠HGM＝∠AGD，∴∠HGM＋∠GAD＝90°.∵∠ACD＋∠CME＝90°，∠CME＝∠HMG，∴∠HMG＋∠ACD＝90°.∵∠GAD＝∠ACD，∴∠HGM＝∠HMG，∴HG＝HM＝HF，∴FG＝2HM＝8.3.如图，在△ABC

中，∠ABC=∠ACB，过点B作BD⊥AC

交AC

于D，延长BD

至E，使BE=AB，连接AE，CE.(1)若∠ABC=65°，求∠CAE

的度数；(2)若∠BAC≠90°，试探究∠CAE

与∠CBD

的数量关系，并说明理由；解：当∠BAC＜90°时，∠CAE＋∠CBD＝45°；当∠BAC＞90°时，∠CAE＋∠CBD＝225°.理由：设∠ABC＝∠ACB＝x°，则∠BAC＝180°－2x°.分两种情况讨论：【一题多解】分两种情况讨论：①如解图1，当∠BAC＜90°时，由(1)一题多解知∠M＝45°，∴∠ACB＝∠CAE＋∠M＝∠CAE＋45°.∵BD⊥AC，∴∠ACB＋∠CBD＝∠CAE＋45°＋∠CBD＝90°，∴∠CAE＋∠CBD＝45°；综上所述，当∠BAC＜90°时，∠CAE＋∠CBD＝45°；当∠BAC＞90°时，∠CAE＋∠CBD＝225°.(3)若AD=2CD，BD=5，求△BCE

的面积．4.已知等边三角形ABC

中，点D

为射线BA

上一点，作DE=DC，交直线BC

于点E．(1)如图1，当点D

在线段AB

上时，线段CE，AD，AC

之间的数量关系是____________；CE＝AC＋AD

点拨：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC.∵DE＝DC，∴∠E＝∠DCE.∵∠ABC＝∠E＋∠BDE，∠ACB＝∠DCE＋∠ACD，∴∠ACD＝∠BDE.如解图1，在AC上截取CM＝BD，连接DM，则△CDM≌△DEB.∴DM＝BE.∵AB＝AC，CM＝BD，∴AM＝AD，又∵∠BAC＝60°，∴△ADM是等边三角形．∴DM＝AD.∴AD＝BE.∴CE＝BC＋BE＝AC＋AD.(2)如图2，当点D

在BA

的延长线上时，(1)中的CE，AD，AC

数量关系是否成立，若成立，说明理由，若不成立，求出CE，AD，AC之间的数量关系；解：不成立．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC.∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE.∵∠DEC＝∠B＋∠BDE，∠DCE＝∠ACB＋∠ACD，∴∠ACD＝∠BDE.如解图2，延长CA到点M，使CM＝BD，连接DM，则△CDM≌△DEB.∴DM＝BE.∵AB＝AC，CM＝BD，∴AM＝AD.又∵∠DAM＝∠BAC＝60°，∴△ADM是等边三角形．∴DM＝AD.∴BE＝AD.∴CE＝BC－BE＝AC－AD.(3)如图3，在(2)的条件下，∠ABC

的平分线交CD

于点F，过点A

作AH⊥CD

于H，当∠EDC=30°，CF=6时，求DH

的长．解：如解图3，连接AF.∵DE＝DC，∠EDC＝30°，∴∠DEC＝∠