九年级数学上学期练习kn拔尖专训 9 相似三角形中的变换探究问题

拔尖专训9相似三角形中的变换探究问题1．【问题情境】在数学活动课上，奋飞组的同学用两张矩形纸片进行探究活动．该小组同学准备了两张矩形纸片ABCD和EBGF(共顶点B)，其中AB＝8，BC＝6，将它们按如图①所示的方式放置，点E，G分别落在AB，BC边上时，点E，G恰好为边AB，BC的中点．然后将矩形纸片EBGF绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为α，连结AE，CG. 【观察发现】(1)如图②所示，当α＝90°时，小组成员发现AE与CG存在的数量关系为________，位置关系为________；

AE⊥CG【探索猜想】(2)如图③所示，当90°＜α＜180°时，(1)中发现的结论是否仍然成立？请说明理由；

【解】当90°＜α＜180°时，(1)中发现的结论仍然成立．理由：设AE与BC，CG分别交于点P，O.∵四边形ABCD和四边形EBGF都是矩形，∴∠ABC＝∠EBG＝90°.∴∠ABC＋∠CBE＝∠EBG＋∠CBE，即∠ABE＝∠CBG.【拓展延伸】(3)如图③所示，在矩形EBGF的旋转过程中，连结AG，CE，得AG2＋CE2为定值，请直接写出此定值. AG2＋CE2的定值为125.2．【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．【问题探究】(1)如图①，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：__________．AD⊥BE(2)如图②，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．3．【问题情境】在课外小组活动中，创新小组以“菱形纸片中的图形变换”为主题开展数学活动．如图①，边长为

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cm的菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)，对角线AC＝8cm.【实践探究】(1)成员甲：将图①中的△ABC折叠，使点B落在线段BC的延长线上的点G处，得到折痕AH，如图②，求折痕AH的长；

【点拨】(2)成员乙：将图①中菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.再将△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AEF，点C，D的对应点分别为点E，F，连结FB，EC，得到四边形BCEF，请判断四边形BCEF的形状，并证明；【拓展提高】(3)小组组长根据图③，在成员乙发现结论的基础上，提出一个平移问题：将△AEF沿着射线FB方向平移acm，得到△A′E′F′，连结BF′，CE′，使四边形BCE′F′恰好为正方形，请求出a的值.【点拨】4．【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了矩形纸张，即如图①所示的矩形ABCD.他先通过对折找到AB边的中点E，再将△AED沿着直线DE翻折得到△A′ED，连结A′B，小亮猜想A′B∥DE. 【问题解决】小亮对上面A′B∥DE的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：∵E为AB边的中点，∴AE＝EB.∵将△AED沿着直线DE翻折得到△A′ED，∴AE＝A′E，∠DEA＝∠DEA′，∴A′E＝BE，∴∠EA′B＝∠EBA′. 请你补全余下的证明过程. 【解】由翻折的性质知，∠DEA＝∠DEA′，∴2∠DEA＝∠AEA′＝∠EA′B＋∠EBA′＝2∠EBA′.∴∠DEA＝∠EBA′.∴A′B∥DE.【结论应用】(1)如图①，在【探索发现】的基础上，若A′B：DE＝3：5，△A′EB的面积为6，求矩形ABCD的面积；

【解】40【点拨】【点拨】5．[2025成都青羊区模拟]在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，点A，D关于直线BE的对称点分别为点A′，D′，连接A′D′，BA′，ED′.【初步感知】(1)如图，当点D′落在BC的延长线上时，则DE的长为________；【点拨】【深入探究】(2)当点E运动到AD的中点时，连接A′D，则A′D的长为________；【点拨】【拓展运用】(3)当直线A′D′恰好经过点C时，求DE的长．6．【解】成立．理由：如图，延长CE交BA的延长线于点N，取NP的中点M，连接AM.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠N＝∠ECD，∠EDC