高考数学一轮复习8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业理湘教版

2016届高考数学一轮复习8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业理湘教版一、选择题1．已知圆的方程是x2＋y2＝1，则在y轴上截距为eq\r(2)的切线方程为()A．y＝x＋eq\r(2)B．y＝－x＋eq\r(2)C．y＝x＋eq\r(2)或y＝－x＋eq\r(2)D．x＝1或y＝x＋eq\r(2)【解析】在y轴上截距为eq\r(2)且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋eq\r(2)，则eq\f(|\r(2)|,\r(k2＋1))＝1，∴k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋eq\r(2)或y＝－x＋eq\r(2).选C.【答案】C2．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|OA＋OB|≥eq\f(\r(3),3)|AB|，那么k的取值范围是()A．(eq\r(3)，＋∞)B．[eq\r(2)，＋∞)C．[eq\r(2)，2eq\r(2))D．[eq\r(3)，2eq\r(2))【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－k＝0，,x2＋y2＝4，))消去y，得2x2－2kx＋k2－4＝0.∴x1＋x2＝k，x1·x2＝eq\f(k2－4,2)，Δ＝4k2－8(k2－4)>0，∴0<k<2eq\r(2).OA＋OB＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(x1＋x2，2k－x1－x2)＝(k，k)，AB＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，x1－x2)，由题意可得：eq\r(k2＋k2)≥eq\f(\r(3),3)·eq\r(2)eq\r(（x2－x1）2)，解得k≥eq\r(2).∴k∈[eq\r(2)，2eq\r(2))．【答案】C3．若直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1通过点M(cosα，sinα)，则()A．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1C.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≤1D.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≥1【解析】显然点M(cosα，sinα)在圆x2＋y2＝1上，直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1过点M，即直线与圆相交或相切．∴eq\f(|－1|,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))\s\up12(2)))≤1，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≥1，故选D.【答案】D4．(2013·银川一模)若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为()A．－3eq\r(2)B．－3C．3D．3eq\r(2)【解析】易知圆C1的圆心为C1(－a，0)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴|C1C2|＝r1＋r2，即a2＋b2∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2)，∴a＋b≤3eq\r(2)(当且仅当a＝b＝eq\f(3,\r(2))时取“＝”)，∴a＋b的最大值为3eq\r(2).【答案】D5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝eq\r(3)，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝()A．1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,2)【解析】因为直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝eq\r(3)，所以圆心距d＝eq\f(1,2)＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))，即c2＝eq\f(1,4)(a2＋b2)．不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＋c＝0，,x2＋y2＝1))⇒(a2＋b2)x2＋2acx＋c2－b2＝0，⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(2ac,a2＋b2)，,x1·x2＝\f(c2－b2,a2＋b2)，))而c2＝eq\f(1,4)(a2＋b2)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(ax1＋c,b)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(ax2＋c,b)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,b2)))x1x2＋eq\f(ac,b2)(x1＋x2)＋eq\f(c2,b2)＝－eq\f(1,2).【答案】B6．设集合A＝{(x，y)|y＝eq\r(4－x2)}，B＝{(x，y)|y＝k(x－b)＋1}，若对任意0≤k≤1都有A∩B≠∅，则实数b的取值范围是()A．[1－2eq\r(2)，1＋2eq\r(2)]B．[－eq\r(3)，1＋2eq\r(2)]C．[1－2eq\r(2)，3]D．[－eq\r(3)，3]【解析】集合A表示圆O：x2＋y2＝4的上半圆．如图所示，集合B是一条直线，过y＝1上的一点，利用斜率为k的临界条件k＝1.要想使A∩B≠∅，只需直线在与圆相切和过(2，0)之间，这时可求出b∈[1－2eq\r(2)，3]．【答案】C二、填空题7．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．【解析】由题意得OA⊥O1A设OA⊥O1A，设AB与OO1交点为H由垂径定理，|AB|＝2|AH|.∴在Rt△OO1A|AH|＝eq\f(|OA|·|AO1|,|OO1|)＝eq\f(\r(5)×2\r(5),\r(（\r(5)）2＋（2\r(5)）2))＝2.∴|AB|＝2|AH|＝4.【答案】48．如果点P在平面区域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么PQ的最小值为________．【解析】由点P在平面区域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))上，画出点P所在的平面区域．由点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，画出点Q所在的圆，如图所示．由题意，得PQ的最小值为圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径1.又圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离为eq\f(|0－2×（－2）＋1|,\r(12＋22))＝eq\r(5)，此时垂足(－1，0)在满足条件的平面区域内，故PQ的最小值为eq\r(5)－1.【答案】eq\r(5)－19．若曲线x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P、Q满足：①关于直线kx－y＋4＝0对称；②OP⊥OQ，则直线PQ的方程为____________．【解析】由①知直线kx－y＋4＝0过圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))，所以k＝2，故kPQ＝－eq\f(1,2).设直线PQ的方程为y＝－eq\f(1,2)x＋t，与圆的方程联立消去y，得eq\f(5,4)x2＋(4－t)x＋t2－6t＋3＝0.(*)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x1＋t))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋t))＝0，所以(x1＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)t))＋eq\f(5,4)x1x2＋t2＝0.由(*)知，x1＋x2＝eq\f(4（t－4）,5)，x1x2＝eq\f(4（t2－6t＋3）,5)，代入上式，解得t＝eq\f(3,2)或t＝eq\f(5,4).此时方程(*)的判别式Δ＞0.从而直线的方程为y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)或y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,4)，即x＋2y－3＝0或2x＋4y－5＝0为所求直线方程．【答案】x＋2y－3＝0或2x＋4y－5＝010．(2013·桂林模拟)直线eq\r(2)ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间的距离的最大值为________．【解析】由于△AOB为直角三角形，OA＝OB＝1，故应为等腰直角三角形，故圆心到直线AB的距离为eq\f(\r(2),2)，即eq\f(1,\r(（\r(2)a）2＋b2))＝eq\f(\r(2),2)，∴2a2＋b2＝2(－1≤a≤1，－eq\r(2)≤b≤eq\r(2))．P(a，b)与(0，1)的距离为d＝eq\r(a2＋（b－1）2)＝eq\r(\f(2－b2,2)＋b2－2b＋1)＝eq\r(\f(1,2)（b－2）2)＝eq\f(\r(2),2)|b－2|，∵b∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，∴b－2∈[－2－eq\r(2)，eq\r(2)－2]，∴|b－2|∈[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)]，故点P与点(0，1)之间的距离的最大值为eq\r(2)＋1.【答案】eq\r(2)＋1三、解答题11．已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l1过定点A(3，0)，且与圆C相切．(1)求直线l1的方程；(2)设圆C与x轴交于P、Q两点，M是圆C上异于P、Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C′总过定点，并求出定点坐标．【解析】(1)∵直线l1过点A(3，0)，且与圆C：x2＋y2＝1相切，设直线l1的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，则圆心O(0，0)到直线l1的距离为d＝eq\f(|3k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\f(\r(2),4)，∴直线l1的方程为y＝±eq\f(\r(2),4)(x－3)．(2)证明：对于圆C：x2＋y2＝1，令y＝0，则x＝±1，即P(－1，0)，Q(1，0)．又直线l2过点A且与x轴垂直，∴直线l2方程为x＝3.设M(s，t)，则直线PM的方程为y＝eq\f(t,s＋1)(x＋1)．解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝\f(t,s＋1)（x＋1），))得P′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(4t,s＋1))).同理可得Q′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2t,s－1))).∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为(x－3)(x－3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(4t,s＋1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(2t,s－1)))＝0，又s2＋t2＝1，∴整理得(x2＋y2－6x＋1)＋eq\f(6s－2,t)y＝0，若圆C′经过定点，只需令y＝0，从而有x2－6x＋1＝0，解得x＝3±2eq\r(2)，∴圆C′总经过定点，定点坐标为(3±2eq\r(2)，0)．12．已知圆M的方程为：x2＋y2－2x－2y－6＝0，以坐标原点为圆心的圆N与圆M内切．(1)求圆N的方程；(2)圆N与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，求eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))的取值范围；(3)过点M作两条直线分别与圆N相交于A、B两点，且直线MA和直线MB的倾斜角互补，试判断直线MN和AB是否平行？请说明理由．【解析】(1)圆M的圆心M(1，1)，半径R＝2eq\r(2)，圆N的圆心为N(0，0)，因为|MN|＝eq\r(2)<2eq\r(2)，所以点N在圆M内，故圆N只能内切于圆M.设其半径为r.因为圆N内切于圆M，所以有|MN|＝R－r，即eq\r(2)＝2eq\r(2)－r，解得r＝eq\r(2).所以圆N的方程为x2＋y2＝2.(2)由题意可知：E(－eq\r(2)，0)，F(eq\r(2)，0)．设D(x，y)，由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，得|DO|2＝|DE|·|DF|，即eq\r(（x＋\r(2)）2＋y2)×eq\r(（x－\r(2)）2＋y2)＝x2＋y2，整理得x2－y2＝1.而eq\o(DE,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)－x，－y)，eq\o(DF,\s\up6(→))＝(eq\r(2)－x，－y)，eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝x2＋y2－2＝2y2－1，由于点D在圆N内，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2<2，,x2－y2＝1，))由此得0≤y2<eq\f(1,2)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))∈[－1，0)．(3)因为直线MA和直线MB的倾斜角互补，故直线MA和直线MB的斜率存在，且互为相反数，设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为－k.故直线MA的方程为y－1＝k(x－1)，直线MB的方程为y－1＝－k(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－1＝k（x－1），,x2＋y2＝2，))得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0.因为点M在圆N上，故其横坐标x＝1一定是该方程的解，可得xA＝eq\f(k2－2k－1,1＋k2)，同理可得xB＝eq\f(k2＋2k－1,1＋k2)，所以kAB＝eq\f(yB－yA,xB－xA)＝eq\f(－k（xB－1）－k（xA－1）,xB－xA)＝eq\f(2k－k（xB＋xA）,xB－xA)＝1＝kMN.所以，直线AB和MN一定平行.13．(2013·徐州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得弦长为eq\r(6).(1)求圆O的方程；(2)若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D、E，当DE长最小时，求直线l的方程；(3)设M、P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交x轴于点(m，0)和(n，0)，问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】(1)因为O到直线x－y＋1＝0的距离为eq\f(1,\r(2))，所以圆O的半径r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，故圆O的方程为x2＋y2＝2.(2)设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，即bx＋ay－ab＝0.由直线l与圆O相切，得eq\f(|ab|,\r(a2＋b2))＝eq\r(2)，即eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\f(1,2).所以DE2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))＝