随机变量的分布函数

§2.3随机变量的分布函数一概念二分布函数的性质三小结思考题/sundae_meng一随机变量的分布函数称为

X的分布函数．0xxX

设X

是一个随机变量，x是任意实数,函数几何定义：/sundae_meng(1)在分布函数的定义中,X是随机变量,x是参变量.

(2)F(x)

是r.vX取值不大于

x

的概率.(3)

对任意实数x1<x2，随机点落在区间(x1,x2]内的概率为：P{x1<Xx2}

因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)请注意

:/sundae_meng

分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量./sundae_meng二、分布函数的性质(1)/sundae_meng

如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX

的分布函数.也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.(3)F(x)

右连续，即

(2)/sundae_meng例2判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?(1)(2)(3)/sundae_meng解(1)由题设,在上单调不减,右连续,并有所以是某一随机变量的分布函数.(2)因在上单调下降,不可能是分布函数.(3)因为在上单调不减,右连续,且有所以所以是某一随机变量的分布函数.完/sundae_meng二离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量的概率分布为则的分布函数为即，当时，时，当当时，当时，/sundae_meng当时，如图，是一个阶它在有跳跃，反之，若一个随机变量和分布函则一定是一个离散型随机变量，其概率分布亦由分布亦由唯一确定.完梯函数，跳跃度恰为随机变量点处的概率在数，数为阶梯函/sundae_meng当

x<0时，{X

x}=，故

F(x)=0例1设随机变量X的分布律为当

0x<1时，

F(x)=P{X

x}=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解X求X的分布函数F(x)./sundae_meng当

1x<2时，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=当

x2时，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1/sundae_meng故注意右连续下面我们从图形上来看一下./sundae_meng的分布函数图/sundae_meng【练习】0２xX３-1xXpk

-123解/sundae_mengXpk

-123２xX３-1x/sundae_meng２xX３-1xXpk

-123/sundae_meng同理当-10123x1/sundae_meng-10123x1/sundae_meng-10123x1

分布函数F(x)

在x=xk

(k=1,2,…)处有跳跃,其跳跃值为

pk=P{X=xk}.Xpk

-123说明/sundae_meng练习具有离散均匀分布,即求的分布函数.解将所取的个值按从小到大的顺序排列为则时,时,时,时,时,/sundae_meng例4具有离散均匀分布,即求的分布函数.解将所取的个值按从小到大的顺序排列为故中恰有个不大于且完/sundae_meng例1等可能地在数轴上的有界区间上投点,记为落点的位置(数轴上的坐标),求随机变量的分布函数.解当时,是不可能事件,于是,当时,由于且由几何概率得知,当时,由于于是/sundae_meng例1等可能地在数轴上的有界区间上投点,记为落点的位置(数轴上的坐标),求随机变量的分布函数.解