【中考】统计与概率

统计与概率数学中考复习/sundae_meng1.1统计与概率是新课标初中数学四个学习领域之一，在人们的生活实践有着广泛的应用，在初中阶段，“学生将体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率……体会统计与概率对制定决策的重要作用；注重从事数据处理的全过程，根据统计结果作出合理的判断；注重在具体情景中体会概率的意义；加强统计与概率之间的联系……”（摘自《数学课和标准》）．1、关于统计与概率的理解/sundae_meng1．3回顾陕西省中考试题中关于统计的命题年份分值难度题型命题角度200810较易选择题填空题众数、中位数的确定统计图表信息，用样本特征估计整体200711较易选择题解答题平均数、众数的计算统计图表的转化，条形统计图与扇形统计图的绘制200610中等选择题解答题折线统计图中获得信息统计图获得信息与增长率的综合20058较易解答题平均数、中位数、众数的计算/sundae_meng例1（2005·陕西）为了了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班50名学生进行了调查，有关数据如下表：根据上表中的数据，回答下列问题：（1）该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？（2）这组数据的中位数、众数分别是多少?（3）请你根据（1）、（2）的结果，用一句话谈谈自己的感受。每周做家务的时间（小时）011.522.533.54人数（人）2268121343/sundae_meng例2、（07年陕西）2006年，全国30个省区市在我省有投资项目，投资金额如下表：省区市广东福建北京浙江其它金额（亿元）124676647119根据表格中的信息解答下列问题：（1）求2006年外省区市在陕投资总额；（2）补全图①中的条形统计图；（3）2006年，外省区投资中有81亿元用于西安高新技术产业开发区，54亿元用于西安经济技术开发区，剩余资金用于我省其它地区．请在图②中画出外省区市在我省投资金额使用情况的扇形统计图（扇形统计图中的圆心角精确到1°，百分比精确到1%）

/sundae_meng图①省区市图②2006年外省区市在陕投资金额使用情况统计图020406080100120140广东福建北京浙江其它金额/亿元12467661192006年外省区市在陕投资金额统计图/sundae_meng年份分值难度题型命题角度20088较难解答题生活游戏背景中，概率的树状图计算20078较易解答题概率的计算和平面直角坐标系的综合20068中等解答题通过列表或树状图计算概率，判断转盘游戏是否公平，20058中等解答题通过列表或树状图计算概率，判断转盘游戏是否公平，1．4回顾陕西省中考试题中关于概率的命题/sundae_meng例3.（2006·陕西）有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，规则如下：①分别转动转盘A、B②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）。（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和为5的倍数的概率；（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分。这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏双方公平。/sundae_meng例4（2008·陕西）如图，桌面上放置了红、黄、蓝三个不同颜色的杯子，杯子口朝上，我们做蒙眼睛翻杯子（杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的翻为杯口朝上）的游戏。（1）随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率；（2）随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状图求出此时恰好有一个杯口朝上的概率。/sundae_meng2.1、进一步理清“统计与概率”领域知识之间的内在联系，形成知识结构网络。即通常所说的书要由厚变薄，考前对所学知识有一个整体把握，头脑清清爽爽上考场。形成知识结构网络，有利于学生对知识的存储和记忆，有利于学生在考试时对所学知识的提取和运用。2、复习建议/sundae_meng统计收集数据

媒体查询

亲自调查

普查

抽样调查

抽样的基本要求

总体个体样本整理数据

频数分布表

频数频率

频数分布直方图频数折线图扇形统计图

分析数据

统计图表

阅读图表提取信息

统计量

集中程度

离散程度

加权平均数

平均数中位数众数

极差方差标准差

作出决策

用样本估计总体

作出判断和决测

回顾反思

样本选取数据处理及表示所得结论/sundae_meng概率

事件

确定事件

不确定事件

不可能事件

必然事件

机会的大小比较

游戏的公平与否

概率

实验估计概率

分析预测概率模拟等效实验

列举法

画树状图

列表

借助统计活动研究概率从概率角度分析统计数据特征

统计

概率

/sundae_meng知识结构网络由教师提出大的思路，先让学生自主尝试构建，然后再对照教科书补充完善，最后师生之间进行比较交流。知识结构网络在复习时可多回忆书写几次，以便加深印象。知识结构网络的再利用：对照知识结构让学生自己复习回忆知识点对照知识结构让学生自己尝试编题交流、猜测题型，加深对所学知识的理解。/sundae_meng2.2、针对“统计与概率”部分热点问题、薄弱环节进行专题强化训练

建议各位老师将近几年各地中考试卷中的统计概率试题收集分类，组织学生对薄弱环节进行专题强化训练，提高学生解答这类新题的能力，对我们陕西还没有出现过的题型更需要关注。热点1:统计图表及数据信息的提取热点2:统计量热点3:数据的收集热点4:概率及其应用热点5:统计观念/sundae_meng热点1:统计图表及数据信息的提取趋势:

对于数据的表示，固然要求学生会制作有关统计图表，但随着现代科技的发展，制作统计图表的工作将越来越多地为计算机所代替.因此，在有关技能考查中，图表的制作不再是考查的重点所在，而对于图表制作原理的理解以及图表信息的提取、图表的特点和选用等已成为近年来考查的重点。/sundae_meng对于数据信息的提取，在考查中可以以多种方式呈现，可以呈现一些杂乱无章的数据，要求学生通过适当的方法进行整理.可以呈现初步整理的结果或比较规范的图表，要求学生阅读图表提取信息.可以呈现不完整的图表，要求学生根据题干中其他信息补全相应的图表，这样既考查了学生对图表的理解以及图表绘制的技能，同时工作量又不是很大，这不失为考查学生制作统计图的技能的一种比较可行的办法.可以呈现多个图表，要求学生从不同的图表中提取不同的信息解决问题，关注对统计图表特点以及选择使用技能的考查.也可以以选择、填空题的形式，在实际问题情境中考查各种统计图表的特点和选用./sundae_meng

例5．在市政府举办的“迎奥运登山活动”中，参加崂山景区登山活动的市民约有12000人，为统计参加活动人员的年龄情况，我们从中随机抽取了100人的年龄作为样本，进行数据处理，制成扇形统计图和条形统计图（部分）如下：（1）根据图①提供的信息补全图②；（2）参加登山活动的12000余名市民中，哪个年龄段的人数最多？（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想．（不超过30字）/sundae_meng评析：

本题呈现不完整的图表，要求学生根据题干中其他信息补全相应的图表，这样既考查了学生对图表的理解以及图表绘制的技能，同时工作量又不是很大，这不失为考查学生制作统计图的技能的一种比较可行的办法./sundae_meng【复习启示】统计问题的表现有两种形式，一是单纯的统计问题本身，一是与其他有关领域知识发生一定的联系.本题就是这样，将统计问题与方程问题有机地结合起来，考查学生数形结合思想、方程思想等核心的数学内容，以统计图为基础，从统计图中获取信息，并以所获得的信息来分析问题，用数字说话，而不停留在单纯的观察上，这对于培养学生的科学的态度，沟通不同领域内容的联系，都是有好处的，既使统计问题丰富多彩，也使学生对数学获得更深刻的认识，因此，适当地选取类似这样的题目让学生练习是有价值的./sundae_meng热点2:统计量刻画数据集中水平的统计量

----平均数、中位数、众数刻画数据波动情况的统计量

-----极差、标准差、方差趋势:

对于这些统计量的考查，固然需要学生进行有关统计量的计算，但考查重点不应是概念的记忆与运算，而应更多的考查学生基于统计量计算基础上对统计量现实意义的理解或者统计量的选择使用等。/sundae_meng设计一定的问题情境，让学生在具体问题情境中自主选择适当的统计量从而解决具体问题。以统计图表呈现数据，从统计图表中提取数据信息计算各种统计量，并选择合适的统计量反映这组数据的真实状况。单纯的统计量计算工作将越来越多地为计算机所代替.因此，各种统计量概念的记忆与运算不应是考查的重点所在，而对统计量概念及现实意义的理解应成为考查的重点。/sundae_meng例6．小明和小华去练习射箭，第一局12支箭射完时，两人的成绩如下图所示。通常新手的成绩不太稳定，请根据上述图中的信息来估计小明和小华谁是新手?请说明你的理由．/sundae_meng评析：本题通过具体现实问题和图形呈现了两个同学的射箭成绩，要求学生评判谁是新手，也就是说谁的射箭成绩不够稳定，因而就自然要求学生根据实际问题的意义对稳定性进行数学表示。通篇没有一处说明需要用什么数学知识，但基于实际背景的分析，学生不难想到刻画数据波动水平的几个统计量，因而是考查极差、标准差、方差这几个概念的很好的范例。同时，以统计图呈现数据，也有助于从图形直观上理解相关数学概念。本题虽然有统计量的计算，但计算不繁杂，而且算得有意义（有一定的任务背景）。/sundae_meng热点3:数据的收集趋势:

以填空、选择的形式，考查具体的问题情境下调查方式的选择、样本抽取的方式是否合适、可行.例7、下列调查方式合适的是()A．为了了解炮弹的杀伤力，采用普查的方式

B．为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式

C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式

D．对载人航天器“神舟六号”零部件的检查，采用抽样调查的方式/sundae_meng例8.下列抽样调查：①某环保网站就“是否支持使用可回收塑料购物袋”进行网上调查;②某电脑生产商到当地一私立学校向学生调查学生电脑的定价接受程度;③为检查过往车辆的超载情况，交警在公路上每隔十辆车检查一辆;④为了解《中考指要》在学生复习用书中受欢迎的程度，随机抽取几个学校的初三年级中的几个班级作调查.其中选取样本的方法合适的有：（）

A、1个B、2个C、3个D、4个例9.列举一个需要普查的例子：____________________,

列举一个需要抽样调查的例子：____________________./sundae_meng热点4:概率及其应用

实验估计概率概率分析预测概率趋势:

能够借助概率模型或通过设计具体活动解释、估计、预测一些事件发生的概率.

联系生活实际，注意它的应用性和趣味性./sundae_meng能够预测分析一些简单事件发生的概率，这些事件可以来自生活实际，也可以与学生已经学过的数学学科其他领域的知识有关.应用大量重复实验中的频率与事件发生的概率之间的关系设计一些应用性和趣味性较强的问题，并设计等效的模拟实验方案.灵活运用列举法计算简单事件发生的概率，解决一些实际问题.比较事件发生概率的大小，判断游戏公平与否，若不公平，修改游戏规则使游戏公平./sundae_meng例10、四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为()A．1/4B．1/2C．3/4D．1例11．一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．右图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（）

A、1/6

B、1/3

C、1/2

D、2/3/sundae_meng【07江西】在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB=CD；②∠ABE＝∠CDE；③AE=DE；④∠A＝∠D.

小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定是等腰三角形吗？说说你的理由；（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使不同构成等腰三角形的概率．/sundae_meng例12.如图，某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：(1)计算并完成表格；(2)请估计当n很大时，频率将会接近多少？(3)假如你去转动该转盘一次，你获得可乐的概率是多少？在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？(4)如果转盘被一位小朋友不小心损坏,请你设计一个等效的模拟实验方案(要求交代清楚替代工具和游戏规则).转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”的次数m68111136345564701落在“铅笔”的频率m/n/sundae_meng评析：本题意在考查学生频率与概率之间的关系,以及应用概率知识解决实际问题的能力.只要平时重视动手操作实验,那么对频率与概率之间的关系就会有深刻的认识和体会,解决⑴⑵小题就不会有太大困难.这就要求我们在平时的统计概率教学中,不能忽略学生的动手操作实验,概率的意义、统计观念只有在学生的动手操作实验中才能形成./sundae_meng例13.两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序，两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则总是先观察后上车，当第一辆车开过来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试解决下列问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有几种不同的可能？（2）你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大？为什么？/sundae_meng【求解策略】在仔细读题的基础上，发现问题中所隐含的数学模型，并用这一模型来解决问题．学生在解决一些应用性问题时往往会有这样一种感觉，尽管与解题相联系的数学概念和原理相差无几，但问题所处的情境和背景越是具有现实意义的、越是自己平时见过但从没有想过的、越是新颖和不熟悉的，解决这样的问题通常就越难．这个“难”不是难在某个特定的解题技巧，而是难在对现实情境的思考和表征：把问题的现实情境符号化，或者建立一个与之等价的数学模型．本题的最大难点即在于此．我们容易想到用A、B、C分别表示三辆车的舒适程度上、中、下三等，接着用树状图得到车辆出现的先后顺序的所有情况,于是原题中所有可能的情形即能被符号化为：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共计6种可能，其中能使甲乘坐上等车的所有情形是ABC、ACB；能使乙乘坐上等车的所有情形是BAC、BCA、CAB．因为6种情形出现的可能性相等，所以甲坐上等车的概率是2/6=1/3，乙坐上等车的概率是3/6=1/2．/sundae_meng【试题立意】本题创设甲、乙两人两种选车方案的生动情景，意在考查学生用概率的观点来分析问题、做出决策的思维水平，重在考查学生灵活地运用“画树状图法”或列表法求得事件的概率．【复习启示】概率是日常生活中的常见现象，学会用概率的观点、随机观念来观察、分析问题，常能走出凭主观臆想做出决策的误区，因此，学习概率对科学决策、提升数学素养的意义是很大的．同时，概率是一个与确定数学有明显差异的、较难理解的数学概念，本题的设计回避了对问题解决的思路作出任何暗示，需要学生根据实际问题的分析来发现其中所隐含的数学模型，这是一种做数学的要求.因此，复习中多让学生思考、讨论是有效的、必需的．概率问题中，有许多有用的基本模型――类似代数中的公式与几何中的基本图形，模型理解透了，就自然提高了运用水平与解决问题的能力．/sundae_meng热点6:统计观念趋势:

统计观念是统计意识、统计技能以及评判质疑能力的一个统一体，因而统计观念的发展与考查过程中都离不开统计技能，在前面我们已经阐述了统计相关技能的考查，这里主要关注对统计意识和评判质疑能力等方面的考察。具体包括：能意识到做一个合理的决策需要借助统计活动去收集信息；面对数据时能对它的来源、处理方法和由此而得到的推测性结论做合理的质疑等。/sundae_meng(1)对于统计意识的考查，一般可以设计一个任务，要求学生自主解决，从学生的解答中观察学生是否能主动地从统计的角度思考问题，是否掌握用样本估计总体的思想.例13、一只不透明的口袋内装有红、黄、白三种颜色的球共10只，不允许打开口袋观看，你能设计一个实验估计口袋内各种颜色的球的数目吗？说说你的实验方案。/sundae_meng例14、某市电信局对计算机拨号上网提供三种付费方式供用户选择（每个用户只能选择其中一种付费方式）：甲种方式是按实际用时付费，每小时付信息费4元，另加付电话费每小时1元2角；乙种方式是包月制，每用付信息费100元，同样加付电话费每小时1元2角；丙种方式也是包月制，每月付信息费150元，但不必另付电话费，某用户为选择适合的付费方式，连续记录了7天中每天上网所花的时间如下（单位:分钟）：

62,40,35,74,27,60,80

根据上述情况，该用户选择哪种付费方式比较合算？请你帮助选择，并说明理由（每月按30天计算）./sundae_meng例15、某学校招聘教师时要在张、王两位老师中选择一位，现从面试、理论考试、上课三个方面对他们进行考核，考核结果如下表所示：⑴统计两人的总分，谁的总分高就招聘谁，你认为这样挑选合适吗？为什么？⑵对上述考核成绩，请你提出一个统计计算的方案。按照你的方案这个学校应该招聘哪位老师？评析:本例告诉我们应意识到不同的指标重要程度不同，应为各个指标设定一个占分比例（即权重意识）。

面试理论考试上课满分100100100张老师908580王老师758590/sundae_meng(2)对于评判质疑能力的考查，一般可以呈现一些具体的统计活动或者活动的有关结论、甚至一些争议等，要求学生进行适当的评析，这样做既可以考查学生利用统计知识解决实际问题的能力，也具有一定的现实意义。

例16、A、B两布袋中装有除颜色外其他都相同的红、白两种玻璃球，A袋中装有2只红球和6只白球，B袋中装有10只红球和30只白球，有甲、乙二人分别从A、B两袋中去摸球，每次摸1只看一下放回袋中搅匀，继续摸，两人摸的次数相同，乙摸到红球的机会一定比甲摸到红球的机会大吗？谈谈你的看法。/sundae_meng例17、某校初三(1)班、(2)班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下表：(1)请你对下面的一段话给予简要分析：初三(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里可算上游了!”(2)请你根据表中的数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议。班级平均分众数中位数标准差初三(1)班79708719.8初三(2)班7970795.2/sundae_meng例18．某公司2001年的利润是2100万元，2002年的利润是2400万元，在2002年底召开的股东大会上，该公司提供给广大股民的财务报表中选用了图1.1的一幅条形图来说明盈利情况。(1)公司绘制的条形图希望说明什么？它的画法是否合理？为什么？（2）画一幅你认为合理的条形图。（3）比较两幅不同的条形图产生的视觉效果，如果你是股民更希望看到哪一幅条形图？为什么？/sundae_meng(3)关注学生解决问题策略与反思能力的考查，引导学生对解决问题的过程和问题的最终结果进行反思。例如，反思结果的正确性与合理性，反思自己的思维过程，反思在问题解决中所遇到的困难以及解决的方法，反思这些问题与日常生活或者以前所解决其他问题的联系，反思解决问题各个方案的优缺点和相互关系，反思该问题解决中的方法并迁移使用，反思问题本身并进行引申拓广等。/sundae_meng例19、小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2ｍ和3ｍ的同心圆（如左图），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判。⑴你认为游戏公平吗？为什么？⑵游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算某一不规则图形（如右图）的面积呢？”。请你设计方案，解决这一问题。（要求补充完整图形，说明设计步骤、原理，写出估算公式）/sundae_meng2.3引导学生做好解题后的反思和总结.

易错分析