【《高中数学教学中椭圆性质的补充研究》7000字】

高中数学教学中椭圆性质的补充研究摘要：本文针对于学生仅依靠教材上椭圆的相关知识进行学习后，但未取得理想效果这样普遍存在的问题提出了高中数学教材应补充的椭圆焦半径、焦点三角形、通径及到焦点距离最大值、最小值的点的位置几个重要性质，并且分析出了这些性质得以补充后对学生学习椭圆有哪些增益及优点，同时也折射出一些对教师新的要求，如何引导学生更有效地学习、理解知识及更加熟练地掌握、运用知识。关键词：椭圆；焦半径；焦点三角形；通径；到焦点距离的最值目录摘要…………………Ⅰ一、认识椭圆………………………11.椭圆的背景…………………12.椭圆的地位…………………13.椭圆的三大定义及标准方程………………23.1椭圆的第一定义………23.2椭圆的第二定义………23.3椭圆的第三定义………23.4椭圆三个定义间的关系………………33.5椭圆的标准方程………34.椭圆在中学课堂中的教学…………………4二、椭圆的几个重要几何性质……………………51.焦半径………………………51.1焦半径的概念及推导…………………51.2焦半径的应用…………52.焦点三角形…………………82.1焦点三角形的概念及面积公式推导…………………82.2焦点三角形的应用……………………93.通径…………103.1通径的概念及推导……………………103.2通径的应用……………104.到焦点距离最大、小值的点的位置………114.1概念及公式推导………114.2应用……………………12三、几个重要性质补充后的优点…………………13四、小结……………13参考文献……………14一、认识椭圆1.椭圆的背景我们在高中课程中学习过圆锥曲线，而椭圆作为圆锥曲线的一类，我们在真正认识它是什么之前有必要去了解圆锥曲线是什么时候以及怎样被人们发现的，以及圆锥曲线的在不同历史时期的发展历程。在古代，还没有机械钟表的问世之前。人类在日常生活中，计时往往是通过同一物体在太阳光线照射下所形成影子位置的改变来记录太阳的方位，从而粗略的获得时间刻度。在这一前提下，最早是在古巴比伦时期，人类生活中就出现了“日晷”。其实是在太阳光线的照射下，形状为圆形的日晷照射在地面上呈现出一个不太圆的阴影，这一奇妙的阴影引起了人们的注意和观察，便由此引发了思考，相关数学学者也自此对圆锥曲线展开了研究。资料显示还有另外一种可能的起源，便是“倍立体方”（构造一个立方体，其体积是已知立方体体积的两倍）问题的求解，这一问题与“画圆为方”、“三等分角”并称古希腊的三大几何问题。这一问题的求解吸引了诸多数学家的关注，其中希波克拉底指出：此问题可以转化为‘在一线段与另一双倍长的线段之间求两个比例中项的问题’。翻译成现代数学语言就是：对长为和的线段，求作线段使得，由此可推出REF_Ref29385\r\h[1]，对于这些解析式图像的好奇就可能是使得当时数学家开始关注此类曲线的原因。柏拉图学派的梅内克缪斯在研究“倍立方”问题时一并研究出了圆锥曲线的性质：他利用三种正圆锥——锐角的、直角的和钝角的圆锥，再用垂直于锥面一母线的平面来切割每个圆锥面，从而得到了椭圆、抛物线和双曲线的一支REF_Ref29385\r\h[1]。梅内克缪斯通过截圆锥的方式获得了三类圆锥曲线，后来这一起源也被带入课堂进行讲解剖析，他也被公认为最早提出圆锥曲线的学者。阿波罗尼斯所著《圆锥曲线论》涵盖了圆锥曲线几乎所有的性质，他也是发现双曲线有两支的第一人。后来其所有性质被现代语言改编，从而进入课堂教学、科学研究等相关领域。2.椭圆的地位椭圆的知识被编入高中教材，从而使得无数人参考学习。同时在高考中占有较大的分值，每年高考有关于圆锥曲线的题目约占全卷的13%，可以说是相当重要的考点。并且我们教材中首先接触到的椭圆作为本章的第一个具体的圆锥曲线，更是有着举足轻重的作用，为后面两种曲线的学习打下了理论基础。在学习椭圆前，学生对必修2所学的直线与圆的方程有一定的掌握，对曲线和方程的概念有了一定的了解。同时，椭圆也是运用坐标法去研究标准方程以及几何性质的第一个具体的圆锥曲线，为后面双曲线、抛物线的学习和研究提供了实践操作基础。从思想方面来考虑，此章节是把《曲线与方程》的思想加上数形结合解决二次曲线问题的一个特例。从内容方面来考虑，此章节是为解决几何问题所采用坐标法的实践，同时也是给探究椭圆的几何性质夯实了基础。另一方面，考虑到后续两类圆锥曲线的学习，此章节也为之搭建了基本模式及理论基础REF_Ref29806\r\h[2]。因此，这一部分的内容在中学数学学习中起到了至关重要的过渡作用，在高考中同样也占据相当大的分值比例及重要地位。由此看来，在高中数学学习中椭圆的学习是如此的重要，学好椭圆的知识也是如此的必要。除此之外，椭圆与人类的日常生活、生产活动以及科学研究科研都有着非常密切的联系，尤其体现在研究椭圆透镜、行星运行的轨道、旋转体轨道等方面REF_Ref29806\r\h[2]。无论从哪方面去衡量，椭圆都已经渗透进了人类生活，在人类生活中扮演着重要的角色。所以我们都应该去学习椭圆知识，了解并剖析椭圆，在此基础上将所学应用至实际。3.椭圆的三大定义及标准方程在中学教材中，只有对椭圆第一定义的阐述。第二定义都是通过例题引入，化简进行总结的。虽然两种定义方法不同，但轨迹方程是相同的，都是椭圆的标准方程。大家可能会有疑惑：为什么定义方法完全不同，但会出现相同的轨迹方程呢？它们之间的内在联系是什么？关于圆锥曲线的第三定义，教材中并没有明确提出，只是在习题中有所涉及，但是在平常练习和考试中还是会经常考察，所以了解和掌握第三定义还是很有必要的。第三定义也是完全不同的定义方法，为什么也会与第一定义、第二定义等价呢？3.1椭圆的第一定义把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆。这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距，用符号表示为：．注意：（１）当时，轨迹是以点为端点的线段,（２）当时，轨迹不存在。3.2椭圆的第二定义平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数(即椭圆的离心率)的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数），其中定点为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是〈焦点在轴上〉或者〈焦点在轴上〉)。3.3椭圆的第三定义平面内的动点到两定点的斜率乘积，等于常数的点的轨迹，叫做椭圆或双曲线，其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点；当常数大于-1小于0时为椭圆；当常数大于0时为双曲线REF_Ref30015\r\h[3]。3.4椭圆三个定义间的关系我们利用第一定义推导椭圆的标准方程过程是这样的：建立坐标系，根据几何关系写出等式：①移项后平方：②再次平方：③令可得椭圆标准方程：④对等式②进行简单变形，可以发现椭圆的第二定义：也就是说，第二定义已经天然的蕴含在第一定义当中了，二者其实是一回事，只不过选择了不同的描述方式。同样，我们对等式③进行简单的变形，就可以发现椭圆的第三定义：继续变形可以得到：即平面内的动点到两个定点的斜率乘积为一个常数。3.5椭圆的标准方程当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；若给定了椭圆的方程为，我们要根据的大小关系来判断椭圆焦点在哪个坐标轴上。下面我们通过两个例题来了解一下：例1：若方程表示椭圆，则的取值范围是多少？解：由已知方程表示椭圆，得，解得。例2：已知，表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围。因为焦点在轴上，有，即。在做题时，我们应该注意满足椭圆的条件是什么，在具体题目中根据条件求出相关字母的取值范围。在第二个题中，我们在关注满足椭圆条件的同时，也不能忽视焦点到底在轴或轴，从而应用在具体轴上与的大小关系，准确得到所求字母的取值范围。4.椭圆在中学课堂的教学在高中数学教学中应注意深化加强学生对概念及数学思想的理解与掌握。至于椭圆的教学，教师应该把学生的学习情况进行全面的剖析。在学习椭圆之前应该使学生具备有区分圆与椭圆的能力，并不是简单形状上的区分，而是根据已经学习及掌握圆的方程、圆的定义、圆的性质等方面的实际区分。同时，也需要引导学生思考两者之间可能存在哪些相似之处。椭圆作为三类圆锥曲线中首要学习的一类，教师应该更加全面、系统化的去介绍，并联系生活，引导学生去发现生活中椭圆的例子，以此来引导学生认识椭圆，从而使学生对椭圆产生最直观的概念。学生通过将生活实际联系到课堂，有助于培养学生数形结合的能力，同时也激发了学生的学习兴趣，对生活的探索。学生自己在头脑中产生了粗略的椭圆知识概念后，教师可以借助多媒体手段演示椭圆的形成过程，在这个过程中，要注意引导学生思考演示的椭圆形成过程与学生自己最先理解的概念有哪些出入。这样做有两个好处，一方面是帮助学生形成正确的椭圆知识概念，另一方面是让学生掌握自己对椭圆知识概念形成的过程。只有让学生学会及时反思，那么学习的效果才能有质的飞跃。在学生已经掌握了椭圆知识概念后，教师需要帮助学生精炼椭圆概念，这便回到了最初该注意的问题，使学生将刚学习的概念与之前所学的概念进行区分、类比、加工。此时学生已经有对区分圆与椭圆的能力，教师应该引导学生构建自己的知识体系，对椭圆概念的精细加工有助于后续两类圆锥曲线的学习。教师可以让学生自己参与演示过程，通过自己切割圆锥从而获得椭圆曲线。除此之外，教师要通过布置相关习题使得学生深化理解椭圆。当学生完成对椭圆的初步学习之后，就应该引导学生将所学知识联系到实际生活，可以回归到起初所举的生活实例，从而让学生去寻找其它实例。这样一来可以促使学生学会思考、善于思考，锻炼学生的思维能力。二、椭圆的几个重要几何性质在这里我们就来探讨四个书上没有阐述但却在高考中应用广泛的几何性质。1.焦半径1.1焦半径的概念及推导连结椭圆曲线上一点与对应焦点的线段的长度，叫做椭圆曲线焦半径。设是椭圆的一点，和分别是点与点的距离，那么（左焦半径），（右焦半径),其中是离心率。图1推导：可得:。所以：1.2焦半径的应用例1:（2013年山东卷·理22）椭圆的左、右焦点分别是离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为1.(1)求椭圆的方程。(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接设∠的角平分线交椭圆的长轴于点,求的取值范围。解：（1）〈该题可参考3.通径的性质及应用〉由离心率可得⑤通径即⑥解⑤⑥，得.所以椭圆方程为（2）如图所示，由于是∠的角平分线，则.图2设点的坐标为，根据椭圆的焦半径公式，有：，解得.因为，所以.例2：点为椭圆的左、右焦点，且焦距为，是坐标原点，点为椭圆上任意一点，且，成等比数列，则求椭圆的方程REF_Ref30453\r\h[4]。解：如图所示，过点作⟂轴，垂足为;设，在∆中有;即.⑦图3由题意可得，，;又因为成等比数列；则有;由焦半径公式；可得.⑧又点在椭圆上，所以有；⑨由⑦⑧⑨得，，故椭圆的方程为.例3:椭圆上的三个不同的点、、与椭圆的焦点之间的距离成等差数列，试求的值。解：在椭圆中，；根据焦半径公式可得：；又因为成等差数列；所以有；则；故.例4：椭圆的焦点分别是，点在椭圆上。现已知三点是一个直角三角形的三个顶点，且有，求的值。解：由椭圆的方程可知，；则，；不妨设，则由题意可知为左焦半径、为右焦半径；由焦半径公式，；若∠为直角，则;即，得；故.（2）若∠为直角，略。2.焦点三角形2.1焦点三角形的概念及面积公式推导椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点与椭圆上任意一点为顶点组成的三角形。性质：（1）；（2）；（3）周长；（4）面积=（∠).推导：如图，图4在∆中，设∠;由余弦定理：;又因为.REF_Ref30639\r\h[5]2.2焦点三角形的应用例1：焦点为的椭圆上有一点，若有,求∆的面积。解：由题,则;又.例2：在椭圆中，、是它的左、右焦点，是椭圆短轴的上端点，是椭圆上异与顶点的点，试证明：∠>∠。解：如图，设点的纵坐标为；图5则∆∆;所以;即;又因为为锐角；所以得证。例3：如图所示，,是椭圆与双曲线的公共焦点，点分别是椭圆与双曲线在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，求的离心率REF_Ref30639\r\h[5]。解：由题可知：；;则∆；又∆；图6所以；则的离心率.3.通径3.1通径的概念及推导椭圆通径长指的是椭圆的通径就是过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段。椭圆中的通径是通过焦点最短的弦。推导:设椭圆，焦点,且;令；所以；所以或；即通径两端点为，或者所以通径长为。3.2通径的应用例1：已知椭圆的右顶点为,过的焦点且垂直轴的直线被椭圆所截得的弦长为1，求椭圆的方程REF_Ref30867\r\h[6]。解:根据题意可知，，通径长；则椭圆.例2：已知椭圆的左、右焦点为、,点在椭圆上。如果线段的中点在轴上，那么线段、的长度有什么数量关系REF_Ref30867\r\h[6]。解：由题目知：的中点在轴上，的中点是原点，则有；又；又因为;所以有.例3：椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆所截得得线段长为，求椭圆的方程。解：由题意，过点且与轴垂直的直线被椭圆所截得得线段长为；可得：；又离心率；由上式子得：；故椭圆的方程为：.4.椭圆上到焦点的距离最大和最小的点在椭圆长轴的两个端点上REF_Ref31031\r\h[7]。4.1概念及推导即椭圆上的动点到其中一个焦点的距离的最大值是,最小值是.推导：设椭圆为左右焦点分别为,，所以。设为椭圆上的动点；因为在∆中，.*由椭圆的第一定义可知.⑩将⑩代入*式中得到.4.2应用例：1.如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)为一个焦点的椭圆。已知它的近地点(离地面最近的点)距地面439km,远地点(离地面最远的点)距地面2384km,并且,在同一直线上，地球半径约为6371km.求:(1)卫星运行的轨道方程(精确到1km);(2)略。REF_Ref31031\r\h[7]解：(1)建立直角坐标系，使得点在轴上；为椭圆的右焦点，记为左焦点；图7因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，故有,解得所以有.所以卫星运行的轨道方程为：.例2:已知椭圆上的一点到焦点距离的最大值为4，最小值为2，求椭圆的方程REF_Ref31031\r\h[7]。解：根据上述性质可得;;故椭圆的方程为：.例3：已知椭圆，并关于坐标轴对称，且焦点的连线与短轴互相垂直，其焦点到椭圆长轴较近的端点的距离为，求椭圆的方程REF_Ref31031\r\h[7]。解：由题意可知，：解得；故椭圆的方程为或.三、几个重要性质补充后的优点在我们现行的教材中，对椭圆的几何性质阐述的不够全面，导致很多老师在教学过程中补充很多二级结论。老师往往会要求学生记住这些二级结论，以便于提高学生在做题时的速度。这样就导致学生只会死记硬背，根本不知道这些结论到底是怎么来的，就导致学生在遇到灵活一点的题目时无法下笔。焦半径、焦点三角形、通径等都是高考中不可或缺的角色。在我们遇到的有关圆锥曲线的题目中，通常会遇到考察这些性质的应用，虽然去硬解可以把题目做出来可这样无疑增加了做题的难度，也浪费了时间。同样，哪怕老师补充过这些结论，但是很多学生在遇到相关考察时无从下手。那是因为老师讲过之后，很多同学便忘记了这些结论，更不要说是怎么来的或者在具体题目中应该