【《伴随矩阵的性质及应用研究》6100字】

伴随矩阵的性质及应用研究目录摘要 1第1章伴随矩阵的定义与性质 31.1伴随矩阵的定义 31.2伴随矩阵的基本性质及证明 31.3伴随矩阵的运算性质及证明 41.4伴随矩阵的继承性 81.5伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 111.6自伴随矩阵的性质 12第2章伴随矩阵的求法 142.1定义法求伴随矩阵 142.2初等变换法求伴随矩阵 15第3章伴随矩阵的应用 19第4章结论与展望 24参考文献 25PAGE\*Arabic2摘要伴随矩阵是学习矩阵时不可或缺的一环，同时对于数学分支研究来说这一块也是非常重要的．伴随矩阵作为矩阵中很特别的一种矩阵，在性质和应用两方面都有其自身的特点．本文先从伴随矩阵的定义和基本性质的基础出发，比较全面的总结归纳了伴随矩阵的运算性质、继承性、特征值与特征向量的性质以及自伴随矩阵的相关性质．并对以上所有的性质给出了详细的证明，使伴随矩阵的性质更具有科学性和系统性．随后探讨了两种求解伴随矩阵的方法，即定义法和初等变换法，使用这两种方法可以解决大部分求解伴随矩阵所遇到的困难．最后给出了伴随矩阵的性质在线性代数解题中的具体应用．本文不仅拓宽了我们在解决线性代数问题时的思路，也有助于伴随矩阵成为各学科以及各领域研究的工具．关键词：伴随矩阵；继承性；初等变换法第1章伴随矩阵的定义与性质矩阵在大学高等代数的学习中非常重要，其应用也相当的广泛．伴随矩阵具有较为独特的特点，在计算矩阵时经常会使用伴随矩阵，因此系统的讨论伴随矩阵的性质是非常有必要的．伴随矩阵的定义定义1在行列式里，把元素中的第行和第列去掉之后，那么其余的阶行列式，就叫做元素的余子式，记作．令，就称为元素的代数余子式．定义2[1]设是矩阵，中元素的代数余子式，则矩阵．叫做的伴随矩阵．定义３设，若存在满足，则称为的逆矩阵，记为．前面给出了余子式、代数余子式、伴随矩阵以及逆矩阵的定义，这对我们接下来研究它们的性质和应用有非常重要的意义．伴随矩阵的基本性质及证明性质1设是阶矩阵，则，当可逆时，即，有，即．证明由行列式按一行或一列展开的公式得到，其中．可得．固有，我们得到伴随矩阵与逆矩阵的关系，该性质经常用来求矩阵的逆和伴随矩阵，也是最直接最一般的方法．我们会在下面的应用中具体的使用这条性质，使解题变得简单．性质２若阶矩阵可逆，则也可逆，且，．证明因为可逆，，则，故．又，即．这个性质说明了与的联系，这个知识点也经常出现在我们的考试中，有效的掌握这个性质对于解题很有帮助．在后面也会有这个性质的具体应用．伴随矩阵的运算性质及证明性质３设为阶矩阵，则．证明当时，，由性质２可知，而，所以．性质４设为阶可逆矩阵，．证明因为，所以，由性质１得 ，由性质３得，所以，结论成立．性质5[2]设是阶矩阵，则．证明（１）当时，，由．得．（２）当时，由定义知中至少有一个的阶子式不等于，所以，所以，另一方面，因为，所以中所有的阶子式（只有一个，即）都等于，从而．所以，故，即，则有．（３）当时，由矩阵的定义可知：中所有的阶子式全为，即中所有元素为零，则，所以．这是伴随矩阵的秩的性质，在伴随矩阵的性质中，是综合性非常强的问题．这个性质可以用来求，可以直接求出，同时通过也可以求出．关于求伴随矩阵的秩的问题我们将在下面的应用中有所体现．性质6[3]设是阶矩阵，．证明可逆时，由性质1可知，不可逆时，，当时，由性质5知，若，此时，自然有，若，此时，综上所述，性质6成立．性质7[3]设为常数，为可逆矩阵，则．证明由可逆矩阵的性质可以得到，由性质2得，所以．数乘矩阵的伴随矩阵可以用该性质很好的提出．性质８一切都有．证明首先，当时，，可逆，又因，则左乘有，所以．（２）当，由性质5知，从而，则，可以得出性质8成立．该性质讨论了和的关系，我们在解决很多问题时，都会用到这个性质．例如在下面的性质19的证明过程中就直接运用了此性质，应加以重视．下面应用中有一道化简题也运用到了这条性质．性质9[4]设是阶矩阵，那么就有．证明（１）当时，得到．（２）当时，令，只要能充分大，且与都可逆，所以就得到，上面的多项式跟是相关联的，如果变的无限大时，那么其中相对应的元素也会变得相等，所以说上面的多项式就是对应元素相等的多项式，即上面的多项式对任意的都是成立的．当取时，可以得到．该性质也是我们考试中常考的知识点，在计算一些题目时，把求的问题转化为求和求的问题，可以很有效的解决我们在解题时遇到的难题．性质10设和为阶可逆矩阵，，则．证明因为为阶可逆矩阵，所以矩阵可逆且，又知，由于．故有．此性质为分块矩阵的伴随矩阵的运算性质．伴随矩阵的继承性首先令为阶矩阵，我们就可以得到以下性质：性质11若为对称矩阵则也为对称矩阵．证明因为为对称矩阵，所以，即中每个元素，继而有，所以，即也为对称矩阵．例１设为对称矩阵，证明也为对称矩阵．证明因为，根据伴随矩阵的定义计算得，所以也为对称矩阵．性质12若为正交矩阵则也为正交矩阵．证明因为为正交矩阵，所以，又根据性质２和性质９有．所以也为正交矩阵．性质13若矩阵，则矩阵也成立．证明因为矩阵，所以一定有可逆矩阵，使，左右一起取伴随矩阵就能得到，也就是，又因为矩阵和矩阵是可逆的，所以和也是可逆的，那么由矩阵等价的定义可以得到．性质14若矩阵，则矩阵也成立．证明因为矩阵，所以存在矩阵与，使，左右两边都取伴随矩阵就能得到．令，就有，所以．性质15若矩阵，则矩阵也成立．证明因为矩阵，所以存在可逆矩阵，使，又因为矩阵与矩阵都可逆，所以将两边同时取逆得，即．令，则，故，再将两边同时取行列式得，所以，即．令，则有，所以．性质16若为可逆矩阵，则也为可逆矩阵；若为不可逆矩阵，则也为不可逆矩阵．证明若可逆，即，由性质６知，所以也可逆．若不可逆，即，同样由性质６知，所以也不可逆．性质17若为正定矩阵则也为正定矩阵．证明因为为正定矩阵，，故存在可逆矩阵，使得，那么就有，根据性质9可以得出，所以也为正定矩阵．性质18[5]若为正规矩阵，则也为正规矩阵．证明设为正规矩阵，则成立，那么就得到，即也为正规矩阵．性质19若为半正定矩阵，则也为半正定矩阵．性质20[5]若为上（下）三角矩阵，则也为上（下）三角矩阵．由以上十个性质，可以看出，矩阵的许多性质都是可以遗传给它的伴随矩阵的，所以我们便能够根据原矩阵的性质来判断它相应的伴随矩阵的性质，就不必去求它的伴随矩阵了．伴随矩阵的特征值与特征向量的性质性质21如果是可逆矩阵，是矩阵的特征值，是矩阵的属于特征值的特征向量，那么的特征值就是，的属于特征值的特征向量为．证明因为，设则，所以．所以说是的特征值，就可以叫做的属于特征值的特征向量．性质22如果是不可逆矩阵，并且是的非零特征值，是的属于的特征向量，那么是的属于特征值的特征向量．证明设，左右两边同时乘以就可以得到即．由于，所以，即是的属于特征值的特征向量．性质23[6]若的特征值为，则的特征值为，的特征值为．证明在两边同乘以得即，又因，所以，即．所以的特征值为．在两边同乘以，得，即，又因，所以，所以的特征值为．自伴随矩阵的性质前文我们论述了一些伴随矩阵所拥有的＂共性＂，下面将探究自伴随矩阵这一特殊的伴随矩阵，并证明它的性质．定义5[7]若矩阵满足条件，则称矩阵为自伴随矩阵．下面说明自伴随矩阵的几条性质：性质24两个自伴随矩阵相乘之后仍然是自伴随矩阵两个矩阵可交换．证明设为自伴随矩阵，即，所以，故为自伴随矩阵成立．反过来，若矩阵和矩阵为自伴随矩阵，则和也为自伴随矩阵．因为且，所以，即可交换．性质25若为自伴随矩阵，则或者．证明如果矩阵是阶矩阵，由性质４可知．又因为是自伴随矩阵，则，所以或者．推论1行列式为的矩阵为自伴随矩阵的充要条件是为自逆矩阵．证明必要性若，且，则，即为自逆矩阵．充分性若，并且，那么，因此，即．性质26若矩阵的同时是自伴随矩阵，那么也为自伴随矩阵．证明因为矩阵，所以存在可逆矩阵使．因为，所以，，因此，是自伴随矩阵．推论2已知为自伴随矩阵，，即存在使得，若为正交矩阵，则也为自伴随矩阵．证明因为为正交矩阵，所以，即可得．所以可得为自伴随矩阵．

第2章伴随矩阵的求法在矩阵理论中，求解伴随矩阵是一个非常重要的问题，我们在探究用定义法求解伴随矩阵时，通常只能用于二阶、三阶矩阵，但是当矩阵的级数很大时，我们用定义法求解就会显得很复杂．因此，在这里，我们除了给出定义法以外，还给出了一种求解伴随矩阵的新方法，即初等变换法．因为在线性代数理论中，矩阵的初等变换应用非常广泛，所以这一种方法使用简便而且易于掌握．2.1定义法求伴随矩阵不管是不是可逆的，运用行列式的代数余子式，那么伴随矩阵．一般用于二阶、三阶方阵．对于四阶方阵即四阶以上方阵，由于计算量特别大，定义法不太实用，所以下面阐述了使用初等变换求解伴随矩阵的方法．例2设矩阵，求．解先求矩阵中每个元素的代数余子式如下，，，，，，，，，．所以由定义法可得．2.2初等变换法求伴随矩阵利用矩阵的初等变换求伴随矩阵，当矩阵阶数很大时，其简便性比利用伴随矩阵的定义的求法更为突出．定理1[8]设是一个级矩阵，，，且，则，其中都为阶可逆方阵，由下面可以得到．证明因为，两边取伴随矩阵得，，故有，从而有．定义4[9]阶梯形矩阵具有以下几个特点（１）元素全部都是的行在下面；（２）元素不是的行，从左往右数第一个不是的元素叫做主元，各个非零行的主元的列指标随着行指标的递增而严格增大．定义5[9]简化行阶梯形矩阵是具有以下特点的阶梯形矩阵（１）非零行即元素不为零的行的主元是；（２）每个主元所在列的其余元素都是．定理2[9]任意一个矩阵都能通过初等行变换化为简化行阶梯形矩阵．定理3[9]设是一个阶矩阵，则是可逆的充要条件是经过初等行变换化成的简化行阶梯形矩阵是单位矩阵．结论当阶矩阵是满秩时，矩阵就是可逆的，并且，从而．并且由定理3可以得到，对于矩阵只需要进行初等行变换就能将其化为标准形．当阶矩阵小于时，由定理1可以得到．因此设是一个阶矩阵．构造矩阵，并进行初等行变换，将简化为行阶梯形矩阵，就化为矩阵，即．若，则是可逆的，并且，因此．若，那么构造矩阵，并进行初等列变换，将化为标准形，就化为矩阵，即，运用式子，就可以得到矩阵伴随矩阵．若，则，故．例3设，求．解构造矩阵，并进行初等行变换得．所以．由于QUOTE，则继续构造矩阵QUOTE，并对其进行初等列变换，，这样，所以计算出，因为，由定理1可得，即，所以．

第3章伴随矩阵的应用下面通过例题说明伴随矩阵的性质在解题中的应用．例4已知，求．分析此题是求的逆矩阵问题，可直接用性质1的公式求出．解因为，所以由伴随矩阵的定义法可以得到，同时，由伴随矩阵的基本性质得．例5已知，是的伴随矩阵，求．分析此题是求，若用伴随矩阵的定义法来求解就很复杂，所以可以用性质1简便的求出．解由伴随矩阵的基本性质得，即，又因为，即，所以．例6已知，求．分析此题是求的问题，可直接运用性质2的公式求出来解计算可得，所以．例7已知三阶矩阵的逆矩阵为，求的逆矩阵．分析此题是把求的问题转化为求的问题，可直接运用性质2的公式求出来．解因为，所以，由性质2得，所以．例8设阶矩阵，当，则为多少？分析这道题是求的秩的问题，可直接用性质5得出结果．解因为，由性质3可知，，所以．例9已知和为三阶可逆矩阵，且，求．分析这道题为一道综合题，需综合性质9和性质2来解答，将求转化为求和求的问题，可以有效的解决这道题．解经计算可得，所以．例10已知和都是阶矩阵，，求．分析此题需要先化简然后运用性质6来解决问题．解．例11已知是一个3阶矩阵，且已知，求．分析这道题是求数乘矩阵的伴随矩阵的问题，可以用性质7求解．解因为，所以．例12已知是阶可逆矩阵，且，化简．分析此题是一道化简题，在解题时就要用到性质8，整体是关于和的关系来展开的．解因为，又因，所以．例13设有四阶矩阵满足，其中为四阶单位矩阵，求伴随矩阵的一个特征值．解由题意得，所以为的一个特征值．因为，所以，即，所以的一个特征根为．例14设矩阵，其行列式，有的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为，求和的值．解由题意得，两边同乘以得，又因，所以，即．由此可得，由于，即，由上述四个方程式可求得．例15试求出满足的一切阶矩阵．分析此题主要运用性质5进行分类讨论．证明若时，，自然有．若时，则，即，此时．若，则．当时，显然．当时，设，则，不可能有，因此假设，则有，且，于是，这与矛盾．所以．若，则，于是由性质1可得，当且仅当．综上可得，满足的方阵为零方阵以及适合的可逆方阵．

第4章结论与展望伴随矩阵在我们大学高等代数的学习中是以求解逆矩阵的工具的身份出现的，因此对它的研究还是比较浅薄的，并没有很深入．但从伴随矩阵的重要性这方面来看，对它的性质和应用的探究是十分重要的．伴随矩阵的出现可以有效的帮助我们解决线性代数中的问题．本文先是从伴随矩阵的基本性质和运算性质出发，随后展开讨论，给出了伴随矩阵的继承性、伴随矩阵的特征值和特征向量方面的性质以及自伴随矩阵的一些性质，并对以上的性质给出了详细的证明过程．其次针对伴随矩阵，给出两种求解伴随矩阵的方法：一是定义法，二是初等变换法；两种方法各有各的优缺点，在具体计算时要针对不同问题选择不同的方法．比如在计算时遇到求三阶矩阵的伴随矩阵时，就可以选择定义法更简便快捷；在遇到四阶及四阶以上的矩阵求其伴随矩阵时，那么初等变换法就是最好的选择．最后我针对以上伴随矩阵的部分性质，给出具体的应用，能更好的熟练和应用伴随矩阵来求解线性代数中的问题．这次通过写伴随矩阵的性质及应用，让我更加熟练的掌握了伴随矩阵，课堂上学习到的理论知识在论文的写作过程中得到了充分的应用．但是学习的脚步是没有尽头的，永远也不能自满，在写这篇论文的过程中我也清晰的了解到自己还有很多不足之处，比如没有对重伴随矩阵进行延伸和推广．由于本人学识有限，对此也非常的遗憾．所以非常希望得到各位老师的批评与指正．参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数（第四版）[M].北京:高等教育出版社，2013:162～180.[2]张忠.伴随矩阵的若干性质及其应用[J].湖北工程学院新技术学院学报，2019，28:244~245.[3]韩成茂.伴随矩阵性质研究[D].山东大学，2008.[4]王莲花，田立平.伴随矩阵的性质及其应用[J].河南教育学院学报，2006，15(03):3~6.[5]殷华敏.霍锦霞，齐渊.矩阵的若干性质对其伴随矩阵的传递性[J].信仰农业高