2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编 专题14三角函数与解三角形第一讲（含解析）

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编专题14三角函数与解三角形第一讲2.【2021年江西预赛】的值是3.【2021年吉林预赛】已知α,的值为4.【2021年福建预赛】若5π是函的一个周期，则正整数n的所有可能取值为5.【2021年浙江预赛】计算sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=√2,直线AD⊥BC于D。现将三角形△ABC沿着AD对折，当平面ADB与平面ADC的二面角为60°时，则线段PQ的长度为_7.【2021年浙江预赛】已知△ABC三个顶点的坐标为A(0,0),B(7,0),C(3,4),过点(6-2√2,3-√2)的直线8.【2021年广西预赛】,则tana+tanβ=9.【2021年新疆预赛】sin²100°-sin50°sin70°=10.【2021年全国高中数学联赛A卷一试】设函数f(x)=cosx+log₂x(x>0),若正实数a满足f(a)=f(2a),则f(2a)-f(4a)的值为———14.【2020高中数学联赛A卷(第01试)】在△ABC中，AB=6,BC=4,边AC上的中线长为√10,则的值为15.【2020高中数学联赛B卷(第01试)】在三角形ABC中一最小正周期大于2π,则φ=.19.【2020年新疆预赛】△ABC的三边分别为a,b,c,点0为△ABC的外心，已知b²-2b+c²=0,那么BC· A0的取值范园是点，则w=21.【2019年全国】对任意闭区间I,用M表示函数y=sinx在I上的最大值.若正数a满足M[o,a]=2M[a,2a]’则a的值为—23.【2019年江西预赛】△ABC的三个内角A,B,C满足A=3B=9C,则cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA=_ 24.【2019年内蒙古预赛】已知sin[2(a+β)]=nsin2γ,则 .25.【2019年新疆预赛】i,其中为最简分数，则 .26.【2019年浙江预赛】设(),则的最大值为27.【2019年重庆预赛】tan15°+2√2sin15°=_·28.【2019年福建预赛】在△ABC中，若AC=√2,且则BC=_——31.【2019高中数学联赛A卷(第01试)】对任意闭区间1,用M₁表示函数y=sinx在1上的最大值.若正数a满足M[o,aj=2Mra,2a],则a的值为32.【2019高中数学联赛B卷(第01试)】设α,β∈(0,π),cosa,cosβ是方程52015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编专题14三角函数与解三角形第一讲【答案】63因此B=180°-A-C=63°.2.【2021年江西预赛】的值是【答案】4【解析】的值为的值为—【答案】【解析】因为α.所因所4.【2021年福建预赛】若5π是函的一个周期，则正整数n的所有可能取值为【答案】2,10【解析】由5π是函的一个周期，得：所以，(k∈Z),n²|400.将n=1,2,4,5,10,20逐一代入验证可矢，n=2,10.所以，正整数n的所有可能取值为2,10.5.【2021年浙江预赛】计算sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=·【答案】√2,直线AD⊥BC于D。现将三角形△ABC沿着AD对折，当平面ADB与平面ADC的二面角为60°时，则线段PQ的长度为【解析】依题意可知∠BDC=60°,又BD=CD=√3,7.【2021年浙江预赛】已知△ABC三个顶点的坐标为A(0,0),B(7,0),C(3,4),过点(6-2√2,3-√2)的直线分别与线段AC,BC交于P,Q。,则[CPI+ICQI=.【答案】【解析】如下图所示，设D(6-2√2,3-√2),易知,BC:y=7-则,故得【解析】【答案】-3或-1 ,所即记△ABC的面积为S.注意到AB·12.【2021年全国高中数学联赛B卷一试】当时，y=sin²x+√3sinxcosx的取值范围是—【答案】所以y的取值范围是设BC=a>0.由余弦定理可得AC=√2(6²+42)-4·10=8.15.【2020高中数学联赛B卷(第01试)】在三 ①两式相减又f(x)的最小正周期大于2π,得→0<w<1.由m,k∈Z,得2m-k=1.代人式①得(m∈Z).17.【2020年广西预赛】设θ₁,θ₂为锐角，.则θ₁+θ₂=【答案】【解析】注意到，类似地，18.【2020年浙江预赛】设x∈R.!的最大值为【答案】19.【2020年新疆预赛】△ABC的三边分别为a,b,c,点0为△ABC的外心，已知b²-2b+c²=0,那么BC· A0的取值范园是【解析】延长A0交△ABC的外接圆于D,得到 因为c²=-b²+2b>0,所以b∈(0,2),故 20.【2020年新疆预赛】已知函(w>0),若,H)上有且仅有三个零点，则w=·十【解析】因),所艮十4k或w=2+4k,(k21.【2019年全国】对任意闭区间1,用M,表示函数y=sinx在1上的最大值.若正数a满足M[o,a]=2Ma,2a]’则a的值为【解析】由图像分析得 【解析】由正弦定理，得由32cos(A-B)=31,设AD=x,则BD=x,DC=10-x,由余弦定理23.【2019年江西预赛】△ABC的三个内角A,B,C满足A=3B=9C,则cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA=【答案】【解析】设C=θ,B=30,A=90,由θ+3θ+90=π,得注意括号中的诸角度构成公差的等差数列两边通乘4sin,得到：所以【答案】25.【2019年新疆预赛】且其中为最简分数，则m+n=【答案】44【解析】注意到从而m+n=29+15=44.26.【2019年浙江预赛】设θ,则的最大值为.【答案】6-4√2【解析】令t=sinθ+cosθ,27.【2019年重庆预赛】tan15°+2√2sin15°【解析】k∈Z.结合0<A<π,∴由余弦定理，得：—【解析】依题意有 . .【解析】将两边平方可得31.【2019高中数学联赛A卷(第01试)】对任意闭区间1,用M₁表示函数y=sinx在I上的最大值.若正数a满足M[o,a]=2Ma,2a],则a的值为【答案】【解析】假如则由正弦函数图象性质得0<Mo,aj=sina<Ma,2a’与条件不符.于是存在非负整数k,使得①当k≥1时，由于故不存在满足①的a.32.【2019高中数学联赛B卷(第01试)】设α,β∈(0,π),cosa,cosβ是方程5x²-3x-1=0的两根，则