2026年数学建模与数据分析技术试题

2026年数学建模与数据分析技术试题一、单项选择题（每题2分，共10题，合计20分）1.在处理北京市交通拥堵问题时，最适合使用的空间数据分析方法是（）。A.时间序列分析B.地理加权回归C.聚类分析D.主成分分析2.以下哪种算法不属于监督学习范畴？（）A.决策树B.K近邻C.K-means聚类D.支持向量机3.在进行上海市房价预测时，如果数据存在明显的异方差性，应优先采用的方法是（）。A.线性回归B.广义最小二乘法C.稳健回归D.粒子滤波4.以下哪种指标最适合评价分类模型的性能？（）A.均方误差（MSE）B.决策树偏差C.准确率（Accuracy）D.相关系数5.在处理广东省工业能耗数据时，如果需要发现不同行业之间的关联性，最适合使用的方法是（）。A.线性回归B.关联规则挖掘C.时序分析D.神经网络二、填空题（每题2分，共5题，合计10分）1.在进行大数据分析时，常用的分布式计算框架是__________。2.评价回归模型拟合优度时，常用的指标是__________。3.在处理文本数据时，常用的特征提取方法包括__________和__________。4.评价聚类算法性能时，常用的指标是__________和__________。5.在进行时间序列预测时，ARIMA模型的核心思想是__________。三、简答题（每题5分，共4题，合计20分）1.简述交叉验证在模型评估中的作用及其优缺点。2.解释什么是过拟合和欠拟合，并说明如何避免这两种问题。3.描述决策树算法的基本原理及其主要优缺点。4.解释地理加权回归的基本思想及其在空间数据分析中的应用场景。四、计算题（每题10分，共2题，合计20分）1.某研究团队收集了北京市2020-2025年空气质量数据，部分数据如下表所示。请计算PM2.5的均值、方差，并绘制其时间序列图。假设使用ARIMA模型进行预测，请写出模型的选择步骤（包括定阶、参数估计等）。|年份|PM2.5均值（μg/m³）|||-||2020|52||2021|48||2022|45||2023|50||2024|47||2025|44|2.某电商平台收集了广东省2020-2025年用户消费数据，部分数据如下表所示。请使用K-means聚类算法对用户进行分群，并解释聚类结果的业务含义。|年份|用户ID|消费金额（元）|年龄|||--|-|||2020|1|5000|25||2021|2|3000|30||2022|3|8000|35||2023|4|2000|28||2024|5|6000|32||2025|6|9000|40|五、综合应用题（每题15分，共2题，合计30分）1.某研究团队希望分析上海市居民消费结构变化，收集了2015-2025年的消费数据，包括食品、服装、娱乐等分类的消费金额。请设计一个数据分析方案，包括数据预处理、模型选择、结果解释等步骤，并说明如何利用分析结果为政府制定消费政策提供参考。2.某制造企业希望优化广东省工厂的能源管理，收集了2020-2025年的能耗数据，包括电力、天然气等能源消耗量。请设计一个数据分析方案，包括数据预处理、模型选择、结果解释等步骤，并说明如何利用分析结果为企业降低能耗成本提供参考。答案与解析一、单项选择题1.B地理加权回归（GWR）适用于分析空间数据中的局部关系，适合处理北京市交通拥堵问题。时间序列分析、聚类分析和主成分分析均不直接适用于空间数据分析。2.CK-means聚类属于无监督学习算法，其余选项（决策树、K近邻、支持向量机）均属于监督学习算法。3.B广义最小二乘法（GLS）适用于处理异方差性数据，而线性回归假设方差齐性。稳健回归和粒子滤波均不直接针对异方差性问题。4.C准确率（Accuracy）是评价分类模型性能的常用指标，其余选项（均方误差、决策树偏差、相关系数）均不适用于分类问题。5.B关联规则挖掘（如Apriori算法）适用于发现不同行业之间的关联性，其余选项（线性回归、时序分析、神经网络）均不直接适用于关联性分析。二、填空题1.HadoopHadoop是常用的分布式计算框架，支持大数据处理。2.R²（决定系数）R²用于评价回归模型的拟合优度，取值范围在0到1之间，越接近1表示拟合效果越好。3.TF-IDF、Word2VecTF-IDF（词频-逆文档频率）和Word2Vec是常用的文本特征提取方法。4.轮廓系数、Davies-Bouldin指数轮廓系数和Davies-Bouldin指数是评价聚类算法性能的常用指标。5.自回归和移动平均ARIMA模型的核心思想是自回归（AR）和移动平均（MA）。三、简答题1.交叉验证的作用及优缺点作用：通过将数据集划分为训练集和测试集，多次重复训练和测试，以评估模型的泛化能力。优点：充分利用数据，减少过拟合风险。缺点：计算量较大，可能存在随机性导致结果不稳定。2.过拟合与欠拟合过拟合：模型对训练数据拟合过度，导致泛化能力差。欠拟合：模型过于简单，未能捕捉数据中的规律。避免：过拟合可通过增加数据量、正则化等方法解决；欠拟合可通过增加模型复杂度解决。3.决策树算法原理及优缺点原理：通过递归划分数据集，构建树状决策模型。优点：易于理解和解释，可处理混合类型数据。缺点：容易过拟合，对数据敏感。4.地理加权回归思想及应用场景思想：通过权重函数，根据距离远近调整局部回归系数。应用场景：空间数据分析，如房价预测、环境污染分析等。四、计算题1.PM2.5均值、方差及ARIMA模型选择-均值：47.67μg/m³-方差：21.78μg/m³-时间序列图（略）-ARIMA模型选择：1.定阶：通过ACF和PACF图确定ARIMA(1,1,1)模型。2.参数估计：使用最小二乘法估计参数。2.K-means聚类分析-聚类结果：可分为三类（高消费、中等消费、低消费）。-业务含义：高消费用户年龄较大，中等消费用户年龄适中，低消费用户年龄较轻。五、综合应用题1.上海市居民消费结构分析-数据预处理：清洗缺失值，标准化数据。-模型选择：使用时间序列分析（如ARIMA）和聚类分