第二章连续时间系统的时域分析0

第二章

连续时间系统的时域分析

系统数学模型的时域表示

时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。本章中我们主要讨论输入、输出描述法。系统分析过程经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与

(t)有关的问题有待进一步解决——h(t)；卷积积分法:

任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法)§2.2微分方程式的

建立与求解主要内容物理系统的模型微分方程的列写n阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法一．物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。二．微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。

网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。例2-2-1电感电阻电容根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。

求并联电路的端电压与激励间的关系。

()tisRRiLLiCciab+-()tv三．n阶线性时不变系统的描述

一个线性系统，其激励信号与响应信号之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。四．求解系统微分方程的经典法求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。

齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解。固有频率：特征方程的根自由响应：由系统自身特性决定的响应。强迫响应：由激励信号决定的响应。例2-2-3

系统的特征方程为

特征根因而对应的齐次解为几种典型激励函数相应的特解激励函数e(t)响应函数r(t)的特解例2-2-4

如果已知：分别求两种情况下此方程的特解。

给定微分方程式为使等式两端平衡，试选特解函数式将此式代入方程得到

等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有联解得到所以，特解为

这里，B是待定系数。代入方程后有：(2)

我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为时的方程的解，初始条件

初始条件的确定是此课程要解决的问题。§2.3起始点的跳变---从0—到0+

状态的转换起始状态初始状态冲激函数匹配法确定初始条件当系统用微分方程表示时，系统从到状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数项。

一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：对于一个具体的电网络，系统的状态就是系统中储能元件的储能情况;但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，状态就会发生跳变。一．起始点的跳变例2-3-1

根据电路形式，列回路方程列结点电流方程(1)（1）列写电路的微分方程(2)求系统的完全响应系统的特征方程特征根齐次解代入式(1)方程右端自由项为要求系统的完全响应为特解(3)换路前因而有由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变,(4)求得要求的完全响应为配平的原理：t=0

时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）例：

二.冲激函数匹配法确定初始条件在中时刻有

中的表示到的相对跳变函数，所以，数学描述设则代入方程得出所以得即即例2-3-2（即例2-3-1）（1）将e(t)代入微分方程，t≥0得(2)方程右端的冲激函数项最高阶次是，因而有代入微分方程求得因而有解微分方程的流程图将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电系统列写微分方程将联立微分方程化为一元高阶微分方程齐次解Aeat(系数A待定）特解查表2-2完全解=齐次解+特解(A待定）给定系统0-状态求出对应0+状态已定系数A的完全解——系统的完全响应§2.4零输入响应和零状态响应零输入响应零状态响应对系统线性的进一步认识一．零输入响应与零状态响应先看一个实例例2-4-1已知电容两端起始电压vc(0-)激励源为e(t),求t>0时系统响应vc(t)e(t)vc(0-)-R++-+-vc(t)微分方程为系统的完全响应可以看作由外加激励源和起始状态共同作用的结果。系统的完全响应=

零状态响应

+零输入响应

线性系统具有叠加性一般情况，设系统是线性时不变的H[·]e(t){x(0-)}r(t)=H[e(t)]+H[{x(0-)}]零输入响应rzi(t)：

没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。

零状态响应rzs(t)：

不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。

也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。

形式取决于外加激励。对应于特解。

是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。

由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。

没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。

不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。

(1)自由响应：(2)暂态响应：稳态响应：强迫响应：(3)零输入响应：零状态响应：（各种系统响应定义）二．系统响应划分响应=暂态响应+稳态响应

(Transient+Steady-state)自由响应＋强迫响应

(Natural+forced)零输入响应＋零状态响应(Zero-input+Zero-state)

系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值决定的初始值求出待定系数。

系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值为零决定的初始值求出待定系数。

求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。求解系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即三．对系统的线性和时不变性的进一步认识H[·]e(t){x(0-)}r(t)=H[e(t)]+H[{x(0-)}]若{

xi(0-)}=0系统是线性和时不变的若{xi(0-)}≠0

系统是非线性和时变的，且非因果结论：常系数线性微分方程描述的系统只有在起始状态为零的条件下，系统才是线性时不变，且是因果的。对于常系数线性微分方程描述的系统：因此，常系数线性微分方程描述的系统的线性加以扩展：(1)响应可分解性：零输入响应＋零状态响应。(2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。(3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。

例2-4-1解（续）解得§2.5冲激响应和阶跃响应冲激响应阶跃响应系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。

一．冲激响应h(t)1．定义响应及其各阶导数(最高阶为n次)2.冲激响应求解(1)冲激响应的数学模型对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示

激励及其各阶导数(最高阶为m次)令e(t)=

(t)则r(t)=h(t) (2)h(t)解答的形式设特征根为简单根（无重根的单根）

由于及其导数在时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。

②与n,

m相对大小有关

①与特征根有关例2-5-1对例2-3-1所示电路，求电流i(t)对激励e(t)=δ(t)的冲激响应。解：冲激响应系统的微分方程将e(t)→

(t)， r(t)→h(t)利用冲激函数匹配法求h(0+)和代入方程代入h(t)考虑到a=1,即h(t)中有一项aδ(t),因而得出二．阶跃响应g(t)

系统的输入，其响应为。系统方程的右端将包含阶跃函数，所以除了齐次解外，还有特解项。我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。

系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。1．定义2．求解例2-5-2求电流i(t)对激励e(t)=u(t)的阶跃响应g(t)阶跃响应g(t)满足方程求特解B，对t≥0+代入方程10B=4B=2/5利用冲激函数匹配法求常数A1，A2代入方程代入g(t)说明：该题可以利用例2-5-1的结果和h(t)与g(t)的微、积分的关系求得。3．阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足微、积分特性总结冲激响应的定义零状态；单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。冲激响应的求解至关重要。冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励，看响应，不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。§2.６卷积卷积利用卷积积分求系统的零状态响应卷积图解说明卷积积分的几点认识一．卷积（Convolution）利用卷积可以求解系统的零状态响应。二．利用卷积求系统的零状态响应任意信号e(t)可表示为冲激序列之和这就是系统的零状态响应。三．卷积的计算由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。利用图解说明确定积分限借助于阶跃函数u(t)确定积分限卷积的图解步骤

用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，但比较繁琐。用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。

借助于阶跃函数u(t)确定积分限四．对卷积积