2026春季新人教版数学八年级下册全册导学案

第十九章二次根式单元整体教学设计及规划表本章是初中阶段“数与式”内容的最后一章.实际上，二次根式并不是一个全新的概念，它是一个非负数，是非负数的算术平方根概念的一般表示.因此，本章内容的核心是以二次根式这一特殊的“式”为载运算在代数中的核心地位，学习用运算法则进行运算，体会运算法则的逻辑相容性，体会运算律在代数中的基础地位.通过本章的学习为后面勾股定理、一元二次方程等内容的学习打下基础.本章我们类比整式、分式，在算术平方根的基础上，学习了二次根式的概念、根.由算术平方根的意义可以得出二次根式的性质，进在二次根式的运算中，每个二次根式就像一个指数幂一样的运算法则对于二次根式也适用.通过二次根式的学习，学生的运算能力和推理能力得到进一步提升.至此，我们已经学习了整式、分式、二次根式等代数式的概念、性质和运算，代数式中的字母表示数，代数式的运算也就是含有字母的就是用有理数的运算法则和运算律对这些符号进行运算.本章的重点是二次根式的运算和运算法则.本章的难点是在理解二次根式的性质和运算法则的基础上，养成良好的运算习惯.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算.会用二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系，体验用数学符号表达数量关系的过程，会选择适当的方法求代数式的值.二次根式的乘除二次根式的乘除二次根式二次根式的性质二次根式二次根式的加减的概念的运算19.1二次根式及其性质2课时19.2二次根式的乘法与除法19.3二次根式的加法与减法2课时阅读与思考1课时第1课时二次根式的概念2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件，会求二次根式被开方数中字母的取值范围.教学重点教学重点二次根式的概念.求二次根式被开方数中字母的取值范围.中央广播电视塔，北京的标志性建筑之一，主要用于广播电视信号发射等功能，兼具旅游观光等作用，塔高约405米.广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广.广r=√2Rh(其中R是地球半径，R≈6400km)整式和分式都可以表示一些问题中的数量和数量关系.在学习了算术平方根的概念后，我们还可以用含有根号的式子表示数量和数量关系.(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为_√65m.(2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s),与开始落下时离地面的高度h(单位：m)满足关系h=5t2,如果用含有h的式子表示t,那么t为提示：√4表示4的算术平方根，4有两个平方根，其中算术平方根是2. 数.2.思考：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义? (3)由得x≥2且x≠4.当x≥2且x≠4时，在实数范围内有意义.归纳：分母不等于0、二次根式的被开方数为非负数是代数式在实数范围内有意义的必要条件.(2)∵正数的立方是正数，0的立方是0,负数的立方是负数，解答教材P3练习1、2、3完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?二次根式在实数范围内二次根式在实数范围内二次根式的概念教材P5习题19.1,第1、3、5、6、7题.本课时通过“中央广播电视塔”引出“含有根号的式子”,继而把算术平方根一般化，得到二次根式的概念，丰富了代数式的内涵.整个初中阶段的难点之一，所以配备的例题、练习和习题难度应适当，这点在教学中要注意.第2课时二次根式的性质2.能根据二次根式的性质对相关二次根式进行计算和化简.二次根式的性质.1.探究：根据算术平方根的意义填空，你有什么发现?提示：如√3是3的算术平方根.根据平方根的概念，如果x2=3,则x=±√3, 提示：先计算被开方数，再求算术平方根，如√22=√4=2.归纳：二次根式的性质3:√a2=a(a≥0).2.思考：化简下列各式.提示：根据二次根式的性质3:√a2=a(a≥0).任务五：尝试练习，巩固内化解答教材P4练习1、2.完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?(Ja²=a(a≥0)教材P5习题19.1,第2、4、8、9、10题.新版教材七年级上册第三章已经给出“代数式”的概念，所以本课时从代数式的角度类比分式、整式的性质引出二次根式的性质.老版教材回避a<0时√a2的化简，新版教材专门设置“思考”讨论此问题，本课时明确提出“√a2=a(a≥0)第1课时二次根式的乘法1.探索二次根式的乘法法则，会根据它进行二次根式的乘法运算；2.理解积的算术平方根的性质，会运用它和二次根式的性质进行二次根式的化简和计算.二次根式的乘法法则，积的算术平方根的性质.任务一：创设情境，导入新课宽宽3米这幅画的面积=√3×√10,这是二次根式的乘法，怎么计算呢?类比整式、分式，我们学习了二次根式的概念，接下来也要学习二次根式的运算.根据算术平方根的意义，当a取某个非负实数时，√a也是一个实数，我们从这类实数的运算出发学习二次根式的运算.先来研究二次根式的乘法.任务二：探究二次根式的乘法法则1.探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律?提示：√4×√9=2×3=6,√4×9=√36=6.(1)二次根式的乘法法则√a√b=√ab(2)两个二次根式相乘，等于两个被开方数相乘，它们的积作为新的被开方数.任务三：探究化简二次根式的方法示什么意义?归纳：√ab=√a-√b(a≥0,b≥0)也是二次根式的重要性质，也称为“积的算术平方根的性质”:两个非负数的积的算术平方根等于这两个数的算术平方根的积.2.化简，并指出每个步骤的依据：=√4×√a2×√b3√ab=√a-√b(a=2×a×√b2×b√a2=a(a≥0)如：√16×81=4×9=36;思考：计算，并指出每一步的依据.解答教材P7练习1、2、3.任务六：课堂小结，形成体系完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?(a)²=a(a≥0)Jab=√a·Jb(a≥0,b≥0)教材P11习题19.2,第1、5、6、12题.“言之有据”是数学学习的重要目标，它指每一个数学结论、推理或运算步骤，都必须基于已知的定义、公理、定理、公式或已被证明的结论，不能凭空猜想、主观臆断或省略关键逻辑依据.在“图形与几何”中我们强调严谨的逻辑关系，实际上“数与代数”中严密的逻辑同样存在，本课时多次设计“指出每一步的依据”,引导学生严格运用相关的法则、性质得出可信的、科学的结论，同时培养学生“言之有据”的意识和能力.第2课时二次根式的除法1.探究二次根式的除法法则，会运用法则进2.运用商的算术平方根性质探究化简二次根式的方法.二次根式的除法法则，商的算术平方根性质.运用二次根式的除法法则、商的算术平方根性质进行化简和计算.任务二：探究二次根式的除法法则1.探究：计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律?②③提示：运用二次根式的性质√a2=a(a≥0).(1)二次根式的除法法则：(a≥0,b>0),即：两个二次根式相除，等于把被开方数相除，相除的商作为商的被开方数；(2)法则中，b=0时，除数(分母)为0,无意义.2.思考：计算下列各式，并指出每一步的依据.解军:(1)=√4×2(找被开方数中开得尽方的因数)=2√2.[把被开方数中开得尽平方的因数和因式，被开方后移到根号外.√ab=√a√b(a≥0,b≥0),√a2=二次根式相除的商要化简，根据√ab=√a·√b(a≥0,b≥0任务三：探究二次根式的化简方法1.思考：托b>0)反过来，就得到,b>0),请用文字描述它表示的意义?它有什么作用呢?(1)商的算术平方根的性质：,b>0),即：两个数的商的算术平方根等于这两个数的算术平方(2)商的算术平方根的性质和积的算术平方根的性质一样，可以用来化简二次根式.2.思考：化简下列二次根式，并指出每一步的依据.解：(商的算术平方根)根据,b>0)、√ab=√a√b(a≥0,b≥0)和√a2=a(a≥0)化简二次根式的方法：被开方数的分子中开得尽方的因数或因式，开方后移到根号外的分子上；被开方数的分母中开得尽方的因数或因式，开方后移到根号外的分母上.如：动画展示任务四：探究化去二次根式被开方数分母的方法1.思考：设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=√10,b=√3,求a2.探究：二次根式计算和化简的结果中被开方数不含分母，怎样化去中的分母3呢?提示：怎样让中的分母3变成开得尽方的数，如9呢?(2)化去二次根式被开方数分母的方法：根据分数的基本性质，被开方数的分子、分母都乘以一个适当的数，使分母变成开得尽方的数.3.试一试：化简任务五：尝试练习，巩固内化解答教材P9练习1、2、3.任务六：课堂小结，形成体系完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?二次根式的除法的运算二次根式二次根式二次根式教材P11-12习题19.2,第2、4、8、9题.新版教材将“最简二次根式”从本课时中剥离出来单独作为第3课时，但把例题6和例题7交换了位置，所以本课时化简形如·的问题时，应先根据二次根式除法法则变成被开方数含有分母的二次根式，再根据分数的基本性质把分母变成开得尽方的数，根据√a2=a(a≥0)化去二次根式被开方数的分母，根据(√a)2=a(a≥0)化简的方法安排在第3课时.第3课时最简二次根式1.理解最简二次根式的概念，会判断最简二次根式；2.能熟练化简二次根式；3.理解并掌握“化去分母中的二次根式”的方法.最简二次根式的概念.熟练化简二次根式，“化去分母中的二次根式”任务一：创设情境，导入新课任务二：归纳最简二次根式的概念.思考：这些二次根式还能化简吗?若能，请把它们化简；什么样的二次根式不用化简呢?归纳：满足下面两个条件的二次根式叫最简二次根式：(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.任务三：化简二次根式将下列二次根式化成最简二次根式，并指出每一步的依据.提示：最简二次根式的概念指明了化简二次根式的途径：(1)把被开方数中开得尽方的因数或因式，开方后移到根号外面；(2)化去被开方数中的分母.解：(1)√6×12=√6×6×2=6√2.任务四：化去分母中的二次根式1.探究：计算你有几种方法?解答教材P10练习1、2、3.完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?教材P11-12习题19.2,第3、7、10、13题.新版教材把最简二次根式单独作为一课时，意在强调最简二次根式概念的重要性和熟练化简二次根式的能力.新版教材还把例6和例7交换位置，所以“分母有理化”——化去分母中的二次根式，是本课时的重要内容之一.最简二次根式的概念中依然没有将“分母中不含二次根式”列进去，教学时可以补充.第1课时二次根式的加法和减法1.探索二次根式加减运算的方法和步骤；2.会进行二次根式的加减运算，感受二次根式与整式和数的运3.会用二次根式加减运算解决简单实际问题.二次根式加减运算的方法.感受二次根式与整式和数的运算性质和运算律的联系.探究：解答下面的问题，你有什么发现?2.思考：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得到什么结论?归纳：二次根式的加减与整式的加减是一致的，整式加减的实质是合并同类项，二次根式加减的实质是合并被开方数相同的最简二次根式，它们的依据都是数的乘法分配律.这说明，数与式是统一的，数的运算性质和运算律在整式和二次根式中仍适用.归纳：二次根式的加减法运算的主要依据是二次根式的性质，乘法分配律，加法的交换律、结合律.思考：现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8提示：如图，大正方形的边长不超过5dm,解：大正方形木板的边长为√18dm,因为√18<5,所以这块木板够宽.因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板.任务五：尝试练习，巩固内化解答教材P14练习1、2、3.任务六：课堂小结，形成体系1.反思与交流：完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?的性质二次根式二次根式教材P16习题19.3,第1、2、4、7题.本课时类比整式加减的合并同类项研究二次根式的加减运算.二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的，实数的运算律对二次根式的运算仍然适用.二次根式加减法运算的主要依据是二次根式的性质，乘法分配律，加法的交换律、结合律.本课时的难点是通过二次根式的加减运算，感受二次根式与整式和数的运算性质和运算律的联系，体会数式的一致性和通性.第2课时二次根式的混合运算1.类比有理数的混合运算，归纳二次根式的混合运算方法，认识到二次根式的混合运算的实质是无理数的混2.类比整式的乘除法法则，进一步感受二次根式与整式运算的统一性；3.能进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.教学重点教学重点二次根式的混合运算方法.感受二次根式与有理数运算、整式运算的统一性.教学过程教学过程任务一：创设情境，导入新课已知一块长方形菜地的长为(√8+√3)米，宽为√6米.求长方形菜地的面积.这是二次根式的加法与乘法的混合运算，怎么计算呢?任务二：探索二次根式混合运算的依据=√8×6+√3×6(二次根式的运算法则)=4√3+3√2;(二次根式的性质)方法2:(√8+√3)×√6(类比多项式乘单项式)=4√3+3√2;(二次根式的性质)归纳：(1)二次根式的混合运算可以看作无理数的运算，按有理数的混合运算进行；提示：二次根式的混合运算有两种方法，一是看作无理数的运算，二是类比整式的运算.有理数没有除法分配律，所以看作多项式除以单项式运算比较简单.次根式的运算法则、性质)归纳：多项式、单项式间的乘、除法法则的依据也是有理数的乘法分配律，所以，二次根式的混合运算一般看作多项式、单项式间的乘、除法运算就比较简单、方便.提示：(2)多项式×多项式运算怎样简化呢?可运用乘法公式!=(√5)2-(√3)2(等于这两个数的平方差)=2.归纳：和有理数、整式的混合运算一样，二次根式混合运算的简化方法：运用运算律、乘法公式.解答教材P15练习1、2.完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?二次根式二次根式二次根式二次根式二次根式的性质二次根式混合运算教材P16习题19.3,第3、5、6、8题.本课时的目标是让学生把二次根式的计算做得和有理数的运算、整式的运算一样熟练.二次根式运算的本质就是实数的运算，有理数的运算性质和运算律都适用于无理数运算和二次根式的运算.由于有理数除法没有分配律，而整式的乘、除法法则的依据是有理数的乘法分配律，所以把二次根式的混合运算看作整式的混合运算更方便、简单，还能运用整式的乘法公式简化运算.单元内容及内容分析直角三角形是一种极常见且特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所非常重要的性质，有极其广泛的应用.直角是最常见的特殊角，勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，对现代数学的发展产生了重要而深远的影响.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.因此，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.本章我们通过对以直角三角形三边为边长的正方形面现并证明勾股定理，它反映了直角三角形三边之间的数量关系，在解决与直角三角形相关的问题或一些其他数学问题时都起着重要作用.在我国古代数学研究中，经常借助于图形的面积研究相关的数量关系，充分利用了几何直观，体现了古人的卓越智慧.得到一个数学结论后，经常要研究其逆命题是否成立.经证明勾股定理的逆命题成立，它是一个定理，勾股定理揭示了直角三角形的的逆定理提供了直角三角形的一种判定方法.本章的重点是勾股定理和它的逆定理及应用.本章的难点是通过多种方法理解勾股定理及其逆定理.熟练进行二次根式的化简和计算也是本章的重要目标和难点之一.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程，知道这两个定理的联系和区别，能用这两个定理解决一些简单的实际问题；2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问3.通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养民族自豪感；通过对勾股定理的探索和交流，培养数学学习的自信心.知道直角三角形三边的数量关系及其逆定理，能用它们解决几何问题和一些实际问题.在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力.的数量关系形的判定形的判定20.1勾股定理及其应用3课时20.2勾股定理的逆定理及第1课时勾股定理及证明素养目标1.经历勾股定理的发现、猜想、证明等探索过程，感受知识形成的内部逻辑和数学的本质；4.了解我国古代研究勾股定理的成就，培养学生的文化自信和民族自豪感.勾股定理.理解“赵爽弦图”证明勾股定理的方法.任务一：创设情境，导入新课《周髀算经》是中国现存最早的数学典籍，同时也是一部重要的天文学著作，成书于西汉时期(约公元前1世纪).在《周髀算经》的开篇，商高(约公元前11世纪)构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”.商高所指的面积关系可以用图形表示.如右图，直角三角形的三边长分别为3,4,5,分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9,16,25,且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系?任务二：发现勾股定理探究：教材P23“探究”.提示：如图，正方形C的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.发现：以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.任务三：证明勾股定理1.探究：阅读教材P24-P25的文字.根据“赵爽弦图”,你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗?(1)动画展示“赵爽弦图”的形成过程：(3)在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦，有“勾3、股4、弦5”之说.所以我国把这个定理称为“勾股定理”,西方称它为“毕达哥拉斯定理”.勾股定理：直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.2.探究：试着画一个“赵爽弦图”.利用它有其他证明勾股定理的方法，你发现了吗?赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.3.思考：如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.(1)勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，能根据已知直角三角形的两边长求第三边长；(3)在运用勾股定理的过程中，要熟练计算二次根式.任务四：尝试练习，巩固内化解答教材P25-P26练习1、2、3.任务五：课堂小结，形成体系完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?2.知识结构：勾股定理教材P30-P32习题20.1,第1、7、8、13题.新版教材淡化了“毕达哥拉斯”,整课时从头到尾在谈《周髀算经》、“赵爽弦图”、“出入相补法”、2002年在北京召开的国际数学家大会的会标等，让学生了解我国古代的数学成就，增加学生的文化自信和民族自豪感，也激发学生学习数学的兴趣和热情.第2课时勾股定理在生活中的应用1.能运用勾股定理解决实际生活中的“直角三角形类”问题；2.能熟练运用勾股定理求直角三角形的第三边长，认识到“求线段长，找它所在的直角三角形，运用勾股定理求解；找不到时，就构造直角三角形”的重要思路；3.通过解决实际问题，了解数学的价值，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力.运用勾股定理解决实际问题.将一些实际问题转化成求直角三角形边长的数学问题.任务一：创设情境，导入新课任务二：探究“木板进门”问题探究：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?(4)连接AC,怎样求AC的长呢?(5)门框中∠B是直角.解：连接AC.∴AC2=AB2+BC2=12+22=5.(根据勾股定理)∵AC大于木板的宽2.2m,∴木板能从门框内通过.(2)直角三角形是重要的数学模型，运用勾股定理能求出直角三角形的边长从而求出相关线段长，发现或构造直角三角形是关键.任务三：探究“梯子滑动”问题探究：如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在一竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m.如果将梯子的底端沿OB向外移动0.8m,那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8m吗?(1)怎样求AC的长呢?(5)AO是某个直角三角形的边吗?CO呢?因此，当梯子底端向外移动0.8m时，梯子顶端并不是下滑0.8m,而是下滑0.4m.求线段长的重要思路：找线段所在的直角三角形，运用勾股定理求解.没有直角三角形，就构造直角三角形.任务四：尝试练习，巩固内化解答教材P27练习1、2、3.任务五：课堂小结，形成体系1.反思与交流：完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?勾股定理教材P30一P31习题20.1,第2、3、4、5、9题.“木板进门”和“梯子滑动”问题难度较大，关键在于要通过生活经验用数学的眼光把实际问题转化为数学的图形问题，所以本课时在探究时给出了不少提示.本课时“求线段长，找它所在的直角三角形，运用勾股定理求解；找不到时，就构造直角三角形”,是几何与图形中计算的重要方法，和锐角三角函数、相似三角形一起几乎解决了图形中所有的计算问题.如果学习效果较好，可以继续探究习题中的典型问题，如10题、13题等.第3课时勾股定理在数学中的应用1.会用勾股定理证明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”;3.认识到勾股定理搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，它是“数形结合”的典范.运用勾股定理证明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”,在数轴上画出表示无理数的点.合理构造以某无理数为边长的直角三角形.任务一：创设情境，导入新课任务二：运用勾股定理证明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”思考：在八年级上册中，我们曾经通过复杂的探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.你能用勾股定理证明这一结论吗?(1)命题证明，先画出图形，再写出已知、求证，最后推理证明；(3)运用勾股定理，能得到什么呢?已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C中，证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，BC=√AB2-AC2,B'C¹=√A'B'2-A'C'2.提示：还可以用SAS证明.通过计算证明线段相等!勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，是数形结合的典范.∴√13是两条直角边的长分别为2,3的直角三角形的斜边长.2.思考：在数轴上画出表示下列各数的点.(1)√2;(2)√20;(3)12;(4)N27.提示：如果不能把被开方数化成两个正整数的平方和，那么化成两个正整数的平方差呢?3.思考：所有的无理数都可以用数轴上的点表示吗?994(3)勾股定理解决了一个基本的数学问题，无理数确实是数，它能表示线段长，也能用数轴上的点表示.任务四：尝试练习，巩固内化解答教材P29练习1、2、3.任务五：课堂小结，形成体系2.知识结构：直角三角形三边的数量关系教材P30-P32习题20.1,第6、10、12、14题.教学反思勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，对现代数学的发展产生了重要而深远的影响.勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.本课时运用勾股定理解决了一个“难题”——证明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”,又解决了一个基本的数学问题——无理数是数吗?能让学生充分感受到勾股定理在数学中的作用，和数学内部知识间的联系和相互作用，增加了学习数学的成就感和兴趣.20.2勾股定理的逆定理及其应用素养目标素养目标1.经历“观察—测量—猜想—证明”的探究过程，理解勾股定理的逆定理；2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3.通过数量关系判定图形的性质，感受“数形结合”思想.教学重点教学重点勾股定理的逆定理及运用.证明勾股定理的逆定理.任务一：创设情境，导入新课如图，古人有一种确定直角的方法：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角.上述方法意味着，如果围成三角形的三边长分别为3,4,5,它们满足关系“32+42=52”,那么围成的三角形是直角三角形.这是与勾股定理相反的结论.任务二：探究勾股定理的逆定理1.观察：画一画，如果三角形的三边长分别为3cm,4cm,5cm,它们满足关系“32+42=52”,画出的三角形是直角三角形吗?换成三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm,“2.52+62=6.52”,再试一试.提示：用圆规“尺规作图”.由上面的尝试，我们猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.这个猜想与勾股定理的题设和结论相反，它是勾股定理的逆命题.2.探究：阅读教材P35的证明方法，你会证明“勾股定理的逆命题”了吗?已知：如图，△ABC的三边长a,b,c,满足a2+b2=c2.求证：△ABC是直角三角形.思路：作一个直角三角形，再证明它与△ABC全等，从而证明△ABC是直角三角形.证明：作Rt△A'B'C',使∠C∵在△ABC和△A'B'C中∴∠C=∠C′=90°,即△ABC是直角三角形.(1)勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形；注意：第三边所对的角是直角；∴∠C=90°.(勾股定理的逆定理)任务三：运用勾股定理的逆定理判断直角三角形1.思考：判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：(3)a=13,b=12,c=5.(1)以前根据角的度数和关系判断直角，现在有了新方法：勾股定理的逆定理；(2)先比较三条线段长的大小，计算两条短线段长的平方和是否等于最长线段长的平方.解：(1)因为82+152=64+225=289,172=289,所以a2+b2=c2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.(2)因为142+132=196+169=365,152=225,所以a2+b2≠c2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形.∴这个三角形是直角三角形，∠A=90°.(勾股定理的逆定理)(1)运用勾股定理的逆定理时，先比较三条线段的大小，再比较两条短线段长的平方和是否等于最长线段长的(2)勾股定理和它的逆定理在图形和数量之间架起了桥梁，实现了数与形的相互转化，是“数形结合”的典范.2.思考：像8、15、17和5、12、13这样能够成为直角三角形三边长的三个正整数称为“勾股数”,你能写出其它“勾股数”吗?任务四：尝试练习，巩固内化解答教材P36练习1、2.完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?2.知识结构：教材P38习题20.2,第1、2、6题.新版教材中的“结绳记数”法去除了“古埃及人”,教学中要注意.证明勾股定理的逆定理的“奇葩”方法比较少见，此处不宜纠结，让学生理解它的思路即可.例题中补充了“(3)a=13,b=12,c=5.”,借此说明勾股定理的逆定理的正确用法：先比较三条线段的大小.第2课时勾股定理的逆定理的应用1.通过解决相关的实际问题和数学问题，了解勾股定理的逆定理的作用和价值；2.熟练运用勾股定理及其逆定理分析、解决问题，并在应用中感受数与形的联系和转化.运用勾股定理的逆定理解决实际问题和数学问题.在直角三角形与a2+b2=c2之间熟练实现双向转化.勾股定理的逆定理和勾股定理一起在图形的性质和数量关系之间架起了桥梁，实现了用图形的性质研究数量关系、用数量关系研究图形的性质，它们都是我们分析、解决问题的重要工具.勾股定理的逆定理和勾股定理一样在实际生活和数学中有着广泛的应用.任务二：运用勾股定理的逆定理解决实际问题思考：如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile,“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口1.5小时后分别位于点Q,R处，且相距30nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?(1)△RPQ的三边长都知道，它是直角三角形吗?∴∠SPR=45°,即“海天”号沿西北方向航行.归纳：勾股定理的逆定理在实际生活、生产中应用广泛，当从实际背景中抽象出的三角形三边已知时，可用勾股定理的逆定理判定直角三角形，从而解决问题.任务三：综合运用勾股定理及其逆定理解决问题如果AC⊥BC,判断AC与AD是否也垂直，并说明理由.(1)由AC⊥BC得△ABC是直角三角形，可利用勾股定理求出AC;(2)判断AC与AD是否垂直，根据勾股定理的逆定理，需判断△ADC中，AC2+AD2是否等于CD2.解：∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°.∴△ACD中，∠DAC=90°.(勾股定理的逆定理)(1)勾股定理及其逆定理实现了“数”与“形”的相互转化，由直角三角形要想到三边长的关系，已知三边要考虑直角三角形；(2)勾股定理及其逆定理的应用推理格式要规范.2.思考：(变式)如图，在四边形ABCD中，AB=5,BC=3,如果AC⊥BC,BC与AD的位置关系是什么?请说明理由.3.思考：1中的问题，还可以怎样改变呢?任务四：尝试练习，巩固内化解答教材P37练习1、2、3.任务五：课堂小结，形成体系1.反思与交流：完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?勾股定理教材P38习题20.2,第3、4、5题.“任务三”中，完成“例3”的思考后，进行了一次变式思考，接着提问“1中的问题，还可以怎样改变呢?”,通过这一组思考训练，学生应能熟练实现直角三角形与a2+b2=c2之间的双向转化，突破本课时的难点.同时，对“数”与“形”的奇妙转化有深刻的体验，对勾股定理和它的逆定理也会有新的认识.第二十一章四边形单元整体教学设计及规划表四边形及平行四边形是常见的几何图形，既有丰富的性质，又在现实生活中具有广泛的应用，尤其是矩形、菱形、正方形等特殊平富、应用更加广泛.平行四边形的性质定理，是证明两条线段相等、两角相等以及两条直线平行或垂直的重要依据.在本章中，我们从一般到特殊地学习四边形.学习了四边形的内角和与外角和，并把它们推广到多边形.特殊的四边形，首先学习了平行四边形的性质和判定，探索并证明了三角形的中位线定理，理解了平行而通过平行四边形的角、边的特殊化，得到了矩形、菱形和正方形等，并根据它们的角、边的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质和判定.本章重点是平行四边形的概念、性质定理和判定定理.本章难点是平行四边形与矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形之间的联系与区别.1.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式.2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.3.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四分的四边形是平行四边形.4.理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离.5.探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直.探索并证明矩形个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.正方形形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.6.探索并证明三角形的中位线定理.掌握平行四边形、多边形的概念.知道图形的特征、共性与区别.在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力. 只有一组一个角是直角四边形21.1.1四边形及其内角和1课时21.1.2多边形及其内角21.2.1平行四边形及其性质2课时21.2.2平行四边形的判定2课时21.2.3三角形的中位线1课时2121.3.2菱形2课时21.3.3正方形2课时21.1四边形及多边形21.1.1四边形及其内角和1.类比三角形，了解四边形及有关概念；2.理解四边形的内角和、外角和定理和四边形的不稳定性；3.认识连接对角线把四边形转化成三角形是研究四边形的重要途径和方法，体会其中的转化思想.四边形的有关概念和性质.区别凸四边形和凹四边形.任务一：创设情境，导入新课现实世界的很多物体中都有四边形的形象.与三角形一样，四边形也是一种基本的几何图形，本节我们类比三角形，学习四边形的一些概念和性质.阅读教材P46-P47上面的文字(至“四边形的外角”),解答下列问题：(2)下图中有几个四边形?它们各记作什么?(2)中，表示四边形时，要按顶点的顺序.如：四边形AEDC,四边形ADCB.(3)中，如上左图，整个四边形不都在某一条边所在直线的同一侧，这样的四边形是凹四边形.今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.(4)中，连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.四边形的一条对角线把四边形分成两个三角形.1.思考：我们知道，三角形的内角和是180°,长方形的内角和是360°.那么,任意一个四边形的内角和是多少度?你能证明你的结论吗?由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形，所以四边形的有关问题就可以利用三角形的相关知识加以解决.分析：在四边形ABCD中，连接对角线BD,同理∠2+∠4+∠C=180°.2.思考：如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少?提示：我们已经证明了四边形的内角和是360°,它们与四边形的外角有什么关系呢?解：如图，∵∠DAB与∠1是邻补角，同理∠ABC+∠2=180°,∠BCD+∠3=180°,∠CDA+∠4而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°,(四边形的内角和等于360°)这样，我们就证明了：四边形的外角和等于360°.在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和；四边形的外角和等于360°.注意：三角形的外角和也是360°.3.探究：如图1,在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗?如图2,在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗?为什么?图1可以发现，图1中四边形木架的形状会改变.因为四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性；而再钉一根木条后，图2中四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性，这时四边形木架的形状不会改变.四边形不具有稳定性.在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图中的伸缩门、升降机等；有时又需要克服四边形的不稳定性，如图中在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等.任务四：尝试练习，巩固内化解答教材P49练习1、2、3.任务五：课堂小结，形成体系完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?教材P52-P53习题21.1,第1、5、8、9题.旧版教材直接从三角形进入到多边形，没有专门研究“普通四边形”.新版教材新增普通四边形和多边形、平行四边形一起归为二十一章“四边形”.三角形的研究方法是学习四边形的经验，“对角线”是一个新概念，正是对角线实现了四边形向三角形的转化，让三角形的有关知识成为学习四边形的基础.2.通过把多边形转化为三角形的方式理解多边形的内角和公式，进而理解多边形的外角和等于360°,体会转3.会用多边形的内角和、外角和性质求多边形的角度和边数.多边形的有关概念，多边形内角和、外角和性质.多种方法推导多边形的内角和公式.任务一：创设情境，导入新课.多边形在生活中也很常见，观察上图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗?(1)如上左图，与三角形、四边形类似，在平面内，由n(n≥3)条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.多边形有几条边就叫作几边形.多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似.(3)各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形，任务三：探究多边形的内角和公式1.探究：如图，类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗?由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗?A.(1)如图，从n边形的一个顶点出发，可以作_条对角线，它们将n边形分为个三角形，这 个三角形的内角和就是n边形的内角和，所以，n边形的内角和等于_·2.探究：把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗?由新的分法，能证明多边形的内角和公式(n-=(n-2)×180°=(n-2)×180°3.探究：与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度?请你说明理由.我们也可以这样理解多边形外角和等于360°.如上右图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A,然后转向出发的方向.在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角和.由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.(1)在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于360°;(2)多边形的外角和与多边形的边数n无关；而多边形的内角和等于(n-2)×180°,由多边形的边数n决定.4.思考：一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形?多边形的外角和与多边形的边数n无关，总等于360°.多边形的内角和由多边形的边数n决定，等于(n-2)×180°.解：设这个多边形的边数为n.因为它的内角和等于(n-2)×180°,外角和等于360°,解得n=6.因此这个多边形是六边形.任务四：尝试练习，巩固内化解答教材P52练习1、2.任务五：课堂小结，形成体系1.反思与交流：完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?教材P52—P53习题21.1,第2、3、4、6、7题.类比是重要的数学方法，它的核心作用是搭建已知与未知的桥梁，通过两类事物的相似性，将熟悉问题的解法迁移到陌生问题中，快速找到解题方向或发现新规律.它的具体价值体现在两个关键场景：辅助解题、启发创新.本课时类比四边形得到多边形的定义、表示方法、有关概念、推导内角和和外角和的方法等，让学生轻松获取多边形的相关知识.21.2.3三角形的中位线1.了解三角形的中位线概念，知道它与三角形的中线的区别和联系；2.能通过构造平行四边形的方法证明三角形的中位线定理，感受知识之间的密切联系；3.能运用三角形的中位线定理解决有关“中点”的问题.三角形的中位线概念，三角形的中位线定理.构造平行四边形证明三角形的中位线定理.前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等研究平行四边形的有关问题.今天我们将利用平行四边形研究三角形的有关问题.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.思考：一个三角形有几条中位线?三角形的中位线和中线一样吗?三角形的中线：连接三角形一个顶点和它所对边的中点的线段.任务三：探究三角形的中位线性质1.画△ABC,取边AB,AC的中点D,E,连接DE.观察，△ABC的中位线DE与边BC的位置关系是什么?再画一个三角形试试.2.探究：如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，连接DE.求证：DE//BC,(1)我们不擅长证明,我们擅长证明两条线段相等.把DE延长一倍至点F,则(3)观察AC与DF的关系，“互相平分”.连接AF、DC,四边形ADCF是平行四边形；(1)把DE延长一倍至F,即转化成证明线段DF=BC的方法，称为“补短”;取BC的中点称为“截长”.“截长补短”是解决线段和差倍分关系和角度问题的常用方法；(2)用三角形研究四边形，用四边形研究三角形，数学知识间都是相互联系，正是这种联系为我们提供了丰富三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.思考：如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.(1)EF、FG、GH、HE都是连接两个中点的线段，它们是三角形的中位线吗?(2)连接AC,BD,得三角形.(3)判定平行四边形有5种方法，你选择哪种?方法1证明：连接AC,∵在△ABC中，E,F分别是边AB,BC的中点，∴四边形EFGH是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)方法2证明：连接AC,BD.∵在△ABC中，E,F分别是边AB,BC的中点，∴EF//AC.(三角形的中位线平行于第三边)同理：HG//AC.同理：EH//FG.∴四边形EFGH是平行四边形.(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)方法3证明：连接AC,BD.∴2EF=AC.(三角形的中位线等于第三边的一半)同理：2HG=AC.同理：EH=FG.∴四边形EFGH是平行四边形.(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)(1)当遇到“中点”尤其是多个“中点”时，考虑运用三角形的中位线定理；(2)三角形的中位线定理有两个结论，一个位置关系，一个数量关系.这两个结论可分开单独使用，也可一起使用，要根据具体问题判断选择.任务五：尝试练习，巩固内化解答教材P65练习1、2、3.任务六：课堂小结，形成体系完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?平行四边形平行四边形布教材P65—P67习题21.2,第6、16、17题.本课是在学习完平行四边形的性质和判定后，运用这些知识探索和证明三角形中位线定理.在前面研究平行四边形中，采用了化四边形问题为三角形问题的思想；本节课，则是化三角形问题为平行四边形问题.这说明，知识之间是相互联系的，要让学生明白，正是这些知识间的联系为我们提供了丰富的解题思路和方法.21.2.1平行四边形及其性质第1课时平行四边形及其性质1.了解平行四边形的概念，会表示平行四边形；2.通过观察、度量、猜想、证明等探究活动，3.会运用平行四边形的性质证明线段相等、角相等、两条线段互相平分，认识平行四边形性质的重要作用.平行四边形的概念，平行四边形的性质.认识到平行四边形的性质是证明线段相等、角相等的重要依据.你还能说出一些生活中的平行四边形形象的例子吗?与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，为什么现实世界中平行四边形形状的物体到处可见呢?这与平行四边形的性质有关.(2)“在一般图形的基础上研究特殊图形”是研究几何图形的常用思路，那么学习完平行四边形后我们将研究什么图形呢?(3)平行四边形中平行的两条边叫“对边”,不相邻的两个角叫“对角”.任务三：探究平行四边形的性质1.探究：根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”,它的边之间还有什么关系?它的角之间呢?度量一下，和你的猜想一致吗?你能证明你的猜想吗?把你的结论和同学比较一下.通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等.连对角线就可以得到三角形.证明：连接AC.∴AB//CD,AD//BC,(平行四又AC是△ABC和△CDA的公共边，追问：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等呢?∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC,∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AB对角∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C,(2)连对角线，把四边形分成两个三角形，也是研究平行四边形的重要方法.2.探究：如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O.点O把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系?利用信息技术工具，改变□ABCD的形状，你发现的结论还成立吗?证明你发现的结论.归纳：平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.由“AC⊥BC”得Rt△ABC;运用勾股定理求AC.归纳：平行四边形的性质较多，可以转化为对边平行、对边相等、对角线互相平分；平行四边形的性质是证明线段相等、角相等、平行的重要依据.解答教材P57练习1、2、3.完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?平行四边形教材P65—P67习题21.2,第1、2、3题.新版教材把探究平行四边形的对角线的性质移到本课时，把“平行线间的距离”移到下一课时，意图本课时专门探究平行四边形的全部性质，下一课时专门运用平行四边形的性质分析解决问题，平行线间的距离也是平行四边形性质的应用.这样，本课时不宜安排过多的性质应用问题.第2课时平行四边形性质的应用1.会灵活运用平行四边形的性质分析、解决问题，认识到运用平行四边形的性质是证明线段(角)相等、直线平行、两条线段互相平分的重要方法；3.通过探究，了解把梯形转化为平行四边形和三角形的方法.灵活运用平行四边形的性质分析、解决问题.选择合适的平行四边形性质解决相应的问题.运用平行四边形的性质可以解决许多基本的几何问题，如：证明两条直线平行、证明线段相等、证明角相等、证明两条线段互相平分.思考：如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O.EF过点0且与AB,CD分别交于点E,F.求证：OE=OF.1.思考：阅读教材P58例2、例3之间的内容，解答下列问题：(1)两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这(2)根据“平行四边形的定义”,可证明四边形AGHD是平行四边形.根据“平行四边形的对边相等”得到AD=GH.AD、GH、BC是夹在两条平行线间的最短线段，这个最短线段的长就是两条平行线之间的距离.(3)点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，点到直线的距离、两条平行线之间的距离本质上都是点与点之间的距离.CC证明两个角相等，我们已有的经验：证平行四边形的对角相等，证两个角所在的三角形全等，证等腰三角形的底角相等.方法1运用两条平行线之间的距离定义.证明：在梯形ABCD中，AD//BC,过点A,D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F.方法2运用“等边对等角”.①过点D作DE//AB,交BC于E;任务四：尝试练习，巩固内化解答教材P59练习1、2、3.完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?教材P65—P67习题21.2,第4、9、10、12题.新版教材把“两条平行线之间的距离”移到“平行四边形的对角线互相平分”之后，归为平行四边形性质的应用，它由平行四边形的性质导出，又和平行四边形的性质一样可以证明两条垂线段相等.新版教材重新关注“梯形”,这是一个比较大的变化，需要引起重视.本课时的“例3”实际上探究了把梯形转化为平行四边形和三角形的方法，教学时还可引导学生探索其他的转化方法.第1课时平行四边形的判定(一)1.从平行四边形性质的逆定理的角度理解平行四边形的三个判定定理：两组对边分别相等、两组对角分别相3.会用尺规作平行四边形.平行四边形的三个判定定理.根据四边形的具体条件选择适当的判定方法.你会画平行四边形吗.你画的平行四边形标准吗?怎样简单地画出标准的、规范的平行四边形呢?这需要思考：什么样的四边形是平行四边形?即平行四边形的判定方法.1.图形的定义既是图形的性质，又是图形的判定.平行四边形的判定方法1:平行四边形的定义.∴AD//CB.2.思考：许多图形或关系的性质定理的逆定理就是判定定理，如勾股定理和它的逆定理.“平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.”反过来，两组对边相等，或两组对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗?提示：目前能判定四边形是平行四边形的只有平行四边形的定义.∴四边形ABCD是平行四边形.(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)平行四边形的判定方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(2)如上右图，在四边形ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D,求证：四边形ABCD是平行四边形.则2(∠A+∠B)=360°.∴AD//BC.∴四边形ABCD是平行四边形.(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)平行四边形的判定方法3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(3)如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点0,且OA=0C,OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.∴AB//CD.∴四边形ABCD是平行四边形.(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)平行四边形的判定方法4:对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形的判定方法1:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形的判定方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形的判定方法3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形的判定方法4:对角线互相平分的四边形是平行四边形._,∴四边形ABCD是平行四边形();_,∴四边形ABCD是平行四边形();∴四边形ABCD是平行四边形().平行四边形的判定方法较多，应选择问题的条件与判定定理的题设一致的方法.2.思考：如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点0,点E,F在AC上，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.提示：有对角线，首选“对角线互相平分的四边形是平行四边形”.又AE=CF,∴四边形BFDE是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形)追问：你能用其他三种方法证明吗?(3)以AB的长为半径，以点C为圆心作弧，交上弧于点D;四边形ABCD是平行四边形吗?为什么?这是平行四边形最常用的尺规作法.2.思考：我们根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,用尺规作图的方法作出标准的平行四边形.你能根据平行四边形的其他判定方法尺规作出平行四边形吗?解答教材P60-P61练习1、2、3.任务六：课堂小结，形成体系完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?四边形教材P65—P67习题21.2,第7、11、13、14题.新版教材把平行四边形的判定一分为二，将平行四边形性质的逆定理作为一课时，将“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”列为平行四边形的判定定理的应用，因为它可以用本课时的三种判定方法证明.在本课时之前，如何画一个标准的平行四边形是一个难题，所以本课增加了一个活动“尺规作平行四边形”,作图的依据正是平行四边形的判定定理.第2课时平行四边形的判定(二)1.理解“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”,能选择合适的方法熟练判定四边形是平行四边形；2.能直接运用平行四边形的性质和判定解决问题，逐渐回避三角形全等等知识.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，选择合适方法判定四边形是平行四边形.教学难点教学难点直接运用平行四边形的知识解决问题，回避三角形全等等知识.教学过程教学过程任务一：创设情境，导入新课平行四边形定方法吗?任务二：探索利用一组对边判定平行四边形的方法1.思考：对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论?类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定一个四边形是平行四边形的方法吗?它是真命题吗?2.思考：证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AB求证：四边形ABCD是平行四边形.(1)先画图，再写“已知，求证”,最后推理.(2)由“AB=CD“,证明另一组对边相等；由“AB//CD”,证明另一组对边平行；方法1证明：连接AC.∴四边形ABCD是平行四边形.(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)方法2证明：……∴AD//BC.∴四边形ABCD是平行四边形.(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)3.思考：证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，你还有其他方法吗?如图，运用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”“对角线互相平分的四边形是平行四边形”也能证(1)平行四边形的判定方法较多，应选择问题的条件与判定定理的题设一致的方法，这样的方法往往比较简单.(2)平行四边形的判定方法共5种，分别从对边、对角、对角线的角度判定平行四边形.“对角线”:对角线互相平分的四边形是平行四边形.说明：“DE純BF”表示DE//BF且DE=BF.综合法(顺推)分析：“口ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点”→“DF//EB,且DF=EB”→平行四边形DEBF→DE純BF;分析法(倒推)分析：要证DE練BF→需证明DE、BF所在的四边形是平行四边形→四边形DEBF中DF//EB,需证明DE//BF或DF=EB→E,F分别是AB,CD的中点.追问：通过证明△AED≌△CFB能证明DE侠BF吗?以前，在解决线段相等、角相等，包括直线平行、垂直等基本几何问题时，三角形全等发挥了重要作用，这样的许多问题运用平行四边形的定义、性质和判定也能解决，而且往往比较简单.平行四边形的知识和三角形全等一样重要，现在可以直接运用平行四边形知识解决的问题，不再用三角形全等，让我们把平行四边形的知识运用得和三角形全等一样熟练.解答教材P62练习1、2、3.完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?教材P65—P67习题21.2,第5、8、15题.新版教材把“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”单独列为一课时，一方面它不是平行四边形性质的逆定理，另一方面它可以用平行四边形的定义和前面三个判定定理证明，可以看作是平行四边形判定的应用.从本课时开始，应强调让学生直接运用平行四边形的定义、性质定理和判定定理解决问题.凡是可以直接运用平行四边形知识解决的问题，不再用三角形全等的知识，让学生运用平行四边形的知识和三角形全等一样熟练.21.3特殊的平行四边形21.3.1矩形第1课时矩形的性质1.了解矩形的概念；4.理解并能运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.矩形的概念，矩形的性质.根据问题的条件选择合适的矩形性质解决问题.当平行四边形的角、边满足某些特殊条件时，就得到特殊的平行四边形.特殊的平行四边形在生活中随处可见.我们先来研究角满足特殊条件的平行四边形.四边形不具有稳定性，当固定BC边，推动CD边，□ABCD的形状会发生改变.找一找我们身边的矩形.有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形.平行四边形思考：因为矩形是平行四边形，所以矩形具有平行四边形的所有性质.它有一个角为直角，它是否具有一般提示：与研究平行四边形的性质类似，对于矩形，我们仍然关注它的边、角、对角线.矩形的特征很明显：四个角都是直角，对角线相等.追问：你能完成下列证明吗?如上右图，已知：矩形ABCD.求证：AC=对角线：对角线互相平分，且相等.(3)矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴.任务四：运用矩形的性质分析解决问题1.思考：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,且∠AOB=60°,AB=4cm.求矩形对角线的长.提示：矩形的性质比平行四边形更丰富，用哪些性质呢?关注∠AOB所在的三角形，或找AC所在的三角形.解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB.(矩形的对角线互相平分且相等)∴△OAB是等边三角形.∴AC=BD=20A=8.(矩形的对角线互相平分且相等)追问：用Rt△ABC能解吗?(1)矩形具有平行四边形的所有性质，不要只关注它的特殊性质；(2)矩形的性质比较多，要根据问题的条件选择相关的性质.2.思考：如图，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系?你能证明你发现的结论吗?发现：提示：证明三角形的中位线定理，也是“一半”的问题.通过“补短”构造平行四边形.延长BO到点D,使OD=OB,连接AD,CD.∴四边形ABCD是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形)∴□ABCD是矩形.(有一个角是直角的平行四边形是矩形)∴BD=AC.(矩形的对角线相等)(1)通过“补短”构造平行四边形，再用四边形的知识研究三角形.(2)直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.任务五：尝试练习，巩固内化解答教材P70练习1、2.任务六：课堂小结，形成体系1.反思与交流：完成今天的学习后，你学到了什么呢?你能解决什么样的问题呢?你还有疑问吗?2.知识结构：教材P78—P80习题21.3,第3、8、9题.对于探究定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,新版教材改变了原教材从矩形的对角线性质直接得出定理的方式，延续探索三角形的中位线定理的方法，构造矩形，再用四边形的知识研究三角形.而且都是用“补短”的方法，通过对角线互相平分构造平行四边形.第2课时矩形的判定1.理解从平行四边形和四边形两个角度判定矩形的思路；2.理解矩形的两个判定定理，会运用它们和矩形定义判定矩形；3.通过类比平行四边形的判定学习矩形的判定，体会知识间的联系和研究数学的一般方法.矩形的判定定理.理解从平行四边形和四边形两个角度判定矩形的思路，根据问题的条件选择适当的方法判定矩形.任务一：创设情境，导入新课小华做了一个矩形相框准备送给妈妈做生日礼物.他应该怎样检测相框的外沿是矩形呢?你有什么好方法?这是矩形的判定问题.任务二：探索矩形的判定方法1.思考：如图，通过测量，AB=DC,AD=BC,这个相框外沿四边形ABCD是矩形吗?如果不是，需要补测什么条件?四边形(1)矩形的判定方法1:矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)矩形的判定有两条路径：平行四边形→矩形；四边形→矩形.2.思考：除了矩形的定义，还有没有其他判定方法呢?与研究平行四边形的判定类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立.我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗?c(1)目前，能判定平行四边形是矩形的只有矩形的定义.(2)证明一个角是直角.分析：关注对角线AC,BD所在的△ABC、△DCB.可以证明△ABC≌△DCB.所以□ABCD是矩形.(有一个角是直角的平行四边形是矩形)“相框”检测方法2,“通过测量，AB=DC,AD=BC,AC=BD”.(1)矩形的判定方法2:对角线相等的平行四边形是矩形；3.思考：我们知道，矩形是四个角都是直角