【《频变耦合滤波器耦合矩阵综合理论基础概述》2600字】

频变耦合滤波器耦合矩阵综合理论基础概述1.1具有频变耦合的交叉耦合滤波器综合S.Amari最早通过使用经典的逆变器理论近似设计，然后对其进行优化，设计符合要求的频率相关耦合部分，生成有限频率的衰减极点。2008年，S.Amari等人建立了不包含源和负载耦合的N阶滤波器的等效电路和N+2阶耦合矩阵。假设相邻谐振器间存在线性频变耦合，则两个相邻谐振器中原来不随频率变化的耦合系数M0ij转换为随频率变化的线性耦合系数Mij，表达式为：Mij=aijω+M0ij。 (2.6)其中ω是归一化频率变量，M0ij和aij为常数，Mii+ω为谐振器频率偏移，Mij代表谐振器间线性频率耦合系数。S.Amari等人给出了频变耦合的线性函数表达形式，但是却没有给出具体的综合方法。L.Szydlowski在传统的滤波器综合基础上，提出了通用的综合方法[43]，利用预先定义的拓扑结构，综合得到频变耦合矩阵。 (2.7) (2.8)公式(2.7)-(2.8)给出了耦合矩阵与散射参数S之间的关系。以上初始矩阵M、R和I均为N阶，其中M为耦合矩阵，矩阵R的R11=R1和RNN=RN其余部分为0，I是单位矩阵。M′是删除M最后一行和列的上对角子矩阵，I′为N-1阶的单位阵。M′′、R′′和I′′删除了M′、R′和I′的第一行和最后一列。考虑电路中频变耦合部分，则上述式子变成以下形式： (2.9) (2.10)其中，M1是对称的N阶矩阵，如式(2.6)在主对角线元素表示谐振器频率偏移，非对角线上的元素表示谐振器之间线性频变耦合分量。M1′和M1′′的变换与上面方法相同。 (2.11) (2.12)定义线性约束条件(2.11)-(2.12)提取优化所需广义特征值，散射参数的极点对应式(2.11)的特征值，传输零点的位置对应式(2.12)的特征值。L(λ)对应线性矩阵方程(A-λB)，其中A、B均为方阵，λ是det(A-λB)=0的广义特征值。用S11的零点来补充特征值集合，可以将公式(2.9)-(2.10)转换成： (2.13) (2.14)所以，耦合矩阵的综合就是求解带有预期传输零点的多项式F和G。得到频变耦合矩阵解析式后，可以通过特征值逼近优化(1.3.2节)得到特征向量，求解出满足指标的耦合矩阵。耦合矩阵也可以通过矩阵非零元素和旋转角度逼近优化，具体后续优化方法将在1.3小结给出。实例1：阶数N=5；实频率下的传输零点TZs=[-1.3,-1.6,1.4,1.9]；回波损耗RL=20。根据上述理论求得多项式如下，S参数响应曲线如图1.3：耦合矩阵为：(a) (b)图1.3三阶交叉耦合滤波器(a)拓扑结构(b)S参数响应曲线1.2具有频变耦合的直线型拓扑滤波器综合相比于交叉耦合和非谐振节点方法，具有频变耦合的直线型拓扑滤波器，只包含谐振单元之间的耦合，与相同阶数滤波器对比，直线型的耦合数量是最少的。同时引入的频率相关耦合变量具有独立可控性，由其产生的传输零点亦可独立控制。因此在实现滤波器小型化、后期调优、物理电路实现等方面具有很大优势。2018年，何鱼行提出了具有频变耦合的直线型拓扑滤波器综合，实现非相邻耦合单元间的频变，并在2019年将此过程推广到相邻耦合单元频变耦合。相邻与非相邻频变耦合综合步骤相似。其不同点在于：初始拓扑结构不同(从横向拓扑出发综合非相邻频变，从轮状拓扑出发综合相邻频变)；缩放前拓扑结构不同(级联三角形结构个数不同)。如图2.4所示，为非相邻频变耦合单元间的综合过程。本文作者对这两种综合步骤都进行了编程实现，相邻频变是在非相邻频变的综合基础上改进，故这里给出基础的直线型拓扑综合方法，对相邻频变不再赘述，可查阅文献[49]。对于N阶滤波原型内部低通频率ω下的导纳矩阵A，可以写成： (2.15)其中，矩阵M是耦合矩阵，M1,1=MN+2,N+2=0，其余元素一般为非零常数；C是频率变量矩阵，主对角线元素C1,1=CN+2,N+2=0，主对角线元素为1，对应位置为谐振器；主对角线元素为0表示非谐振；非对角线元素为非零常数，表示频变耦合；非对角线元素为零，表示常数耦合。G是终端导纳矩阵，负载归一化下，G1,1=GN+2,N+2=1，其余元素为零。综合具有频变耦合的直线型拓扑滤波器，首先根据2.1节得到N+2阶横向耦合矩阵，如图2.4(a)。接着利用相似变换依次得到图2.4(b)多个级联三角形(CT)元件的电路和图2.4(c)格型拓扑电路。当然也可以通过1.3节优化的方法直接优化得到缩放前图2.4(c)的格型拓扑耦合矩阵，极大简化综合过程。图2.4非相邻频变耦合直线型拓扑综合步骤对于相似变换，引入定义为图2.5的旋转矩阵R。初始导纳矩阵A0的相似变化就是在左右两端分别乘以R和RT，表示为(2.16)，显然耦合矩阵M发生了变化，而G和C没有改变。 (2.16)图2.5七阶旋转矩阵，支点[3,5]，旋转角度θr设定不同的旋转角度θr，通过特定的顺序便可以消除矩阵中不同的元素，多次旋转后可以得到特定的拓扑，以[i,j]为轴，旋转角度如下： ,消除Mik (2.17a) ,消除Mjk (2.17b) ,消除Mki (2.17c) ,消除Mkj (2.17d) ,消除Mii或Mjj (2.17e) ,消除Mij (2.17f)接下来对每个格型结构进行频率变量缩放。传统的谐振单元频率变量均为1，通过缩放，频率变量C和耦合矩阵M均会发生变化。这里定义缩放因子αk，缩放矩阵为U。对于第k个谐振单元，缩放因子为： (2.18) (2.19)缩放后得到的新的导纳矩阵A2，经过缩放的C1对应某些频率变量部分不再是1： (1.20)最后再次进行相似变换，通过一次变换消除掉两个格型交叉耦合，最终得到图1.3(e)的频变直线型拓扑，箭头部分表示频变耦合。此步的旋转变换以[i,j]为轴，旋转角度为θb。经过综合过程的频率变量矩阵C2不再是一个对角阵，主对角线外的非零元素对应频变耦合斜率参数。可以通过归一化使C2变成对角阵，相应的M3也要归一化。此时，便得到所求耦合矩阵。 (1.21) (1.22)实例2：阶数N=5；实频率下的传输零点TZs=[-1.5,2.1]；回波损耗RL=22。根据上述理论求得多项式与耦合矩阵结果如下，S参数响应曲线如图所示。特殊的，综合过程中初始CT拓扑不同，则会得到不同的耦合矩阵，但S参数响应一致。多项式如下： (a) (b)图2.6初始级联CT拓扑结构(a)拓扑结构1(b)拓扑结构2拓扑结构1对应耦合矩阵：拓扑结构2对应耦合矩阵：图2.7五阶直线型滤波器拓扑结构由拓扑结构1综合得到的直线型拓扑耦合矩阵：由拓扑结构2综合得到的直线型拓扑耦合矩阵：图2.8五阶直线型滤波器S参数响应1.1.3频变耦合系数提取通过以上两小节的综合过程，得到归一化低通滤波原型对应的耦合矩阵。在进行等效电路综合设计之前，需要对其进行反归一化(将耦合系数对应到实际的电路耦合)，提取出电路耦合系数。以中心频率为f0，绝对带宽为BW的带通滤波器为例，低通原型反归一过程如下。其中Kij表示耦合系数，Mij对应耦合矩阵中第i行第j列数值。低通原型中第k个谐振单元可以由(ck,bk)表示，ck代表谐振器电容值(值为1)，bk是与频率无关的电纳。非谐振节点的电容值为0，可表示为(0,bk)