正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）

正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）第一篇：正弦定理与余弦定理练习题正弦定理与余弦定理1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=3ac，则角B的值为3.下列判断中正确的是A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是（）（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形5.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则A.85sinB的值为sinC5335（）B.458C.D.（）6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是A.60°B.45°或135°C.120°D.30°7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B=.8.在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为.9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA10.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.11.在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosBb=-.cosC2ac（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.12.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.2213.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=(a+b)-c，求tanC的值.14.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.7AB-cos2C=.22第二篇：正弦定理和余弦定理练习题【正弦定理、余弦定理模拟试题】一.选择题：1.在ABC中，a23，b22，B45，则A为（）A.60或120B.60C.30或150D.30sinAcosB2.在C中，若，则B（）abB.45C.60D.90A.303.在ABC中，a2b2c2bc，则A等于（）B.45C.120D.30A.60|AB|1，|BC|2，(ABBC)(ABBC)523，4.在ABC中，则边|AC|等于（）A.5B.523C.523D.5235.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6.在ABC中，bcosAacosB，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.在ABC中，cosAcosBsinAsinB，则ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x27x60的根，则三角形的另一边长为（）A.52B.213C.16D.4二.填空题：9.在ABC中，ab12，A60，B45，则a_______，b________10.在ABC中，化简bcosCccosB___________11.在ABC中，已知sinA:sinB:sinC654::，则cosA___________12.在ABC中，A、B均为锐角，且cosAsinB，则ABC是_________三.解答题：13.已知在ABC中，A45，a2，c6，解此三角形。14.在四边形ABCD中，BCa，DC2a，四个角A、B、C、D的度数的比为3:7:4:10，求AB的长。15.已知ABC的外接圆半径是2，且满足条件22(sin2Asin2C)(ab)sinB。（1）求角C。（2）求ABC面积的最大值。四大题证明在△ABC中abc===2R，其中R是三角形外接圆半径sinAsinBsinC证略见P159注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例二在任一△ABC中求证：a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0证=：左边=2RsinA(sinBsinC)2RsinB(sinCsinA)2RsinC(sinAsinB)2R[sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB]=0=右边例三在△ABC中，已知a3，b2，B=45求A、C及casinB3sin453解一：由正弦定理得：sinAb22∵B=45<90即b∴A=60或120bsinC2sin7562当A=60时C=75csinB2sin45bsinC2sin1562当A=120时C=15csinB2sin45解二：设c=x由余弦定理b2a2c22accosB将已知条件代入，整理：x26x10解之：x622222622)3bca13622当c时cosA2bc2622(31)22222（从而A=60C=75当c62时同理可求得：A=120C=152例四试用坐标法证明余弦定理证略见P161例五在△ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程x223x20的两个根，且2cos(A+B)=1求1角C的度数2AB的长度3△ABC的面积解：1cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=ab232由题设：ab2∴AB=AC+BC2AC•BC•osCab2abcos12022∴C=120222a2b2ab(ab)2ab(23)2210即AB=10111333S△ABC=absinCabsin120222222例六如图，在四边形ABCD中，已知ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135求BC的长解：在△ABD中，设BD=x则BA2BD2AD22BDADcosBDA即142x2102210xcos60整理得：x210x960ABDC解之：x116x26（舍去）由余弦定理：BCBD16sin3082∴BCsinCDBsinBCDsin135例七（备用）△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。解：1设三边ak1,bk,ck1kN且k1a2b2c2k4∵C为钝角∴cosC0解得1k42ac2(k1)∵kN∴k2或3但k2时不能构成三角形应舍去1当k3时a2,b3,c4,cosC,C10942设夹C角的两边为x,yxy4SxysinCx(4x)当x2时S最大=15三、作业：《教学与测试》76、77课中练习a2b2b2c2c2a20补充：1．在△ABC中，求证：cosAcosBcosBcosCcosCcosAD1515(x24x)442．如图ABBCCD=33ACB=30BCD=75BDC=45求AB的长(112)ABC3【试题答案】一.选择题：1.A提示：aba3，sinAsinBsinAsinBb22.B提示：由题意及正弦定理可得tanB3.C1提示：由余弦定理及已知可得cosA24.D2提示：ACABBC，AC(ABBC)(ABBC)2AC5232|AC|AC5235.A提示：长为6的边所对角最大，设它为1625361则cos024580906.C提示：由余弦定理可将原等式化为b2c2a2a2c2b2ab2bc2ac即2b22a2，ab7.C提示：原不等式可变形为cos(AB)00AB，B(0，)从而C(AB)（8.B2，)3提示：由题意得cos或2（舍去）三角形的另一边长5232253cos52213二.填空题：9.36126，1262提示：absinAsin606，abbbsinAsinBsinBsin452又ab12，a36126，b1262410.aa2b2c2a2c2b2ca提示：利用余弦定理，得原式b2ab2ac111.8提示：由正弦定理得a:b:c654::设1份为k，则a6k，b5k，c4kb2c2a21再由余弦定理得cosA2bc812.钝角三角形提示：由cosAsinB得sin（A、B均为锐角，2A)sinBA(0，)，B(0，)222而ysinx在(0，)上是增函数2AB即AB2C(AB)(，)2三.解答题：13.解：由正弦定理得：sinCc623sinAa222C60或120当C60时，B180(AC)75a262sinB31sinA422当C120时，B180(AC)15bba2sinBsinA226231b31，C60，B75或b31，C120，B1514.解：设四个角A、B、C、D的度数分别为3x、7x、4x、10x则有3x7x4x10x360解得x15A45，B105，C60，D150连BD，在BCD中，由余弦定理得：BD2BC2DC22BCDCcosCa24a22a2a3a2BD3a此时，DC2BD2BC2BCD是以DC为斜边的直角三角形CDB30BDA15030120在BD中，由正弦定理有：ABBDsinBDAsinA3a3232a222532a215.解：（1）R2且22(sin2Asin2C)(ab)sinBAB的长为2(22)2(si2nAsinC)(ab)22sinB即(2R)2sin2A(2R)2sin2C(ab)2RsinB由正弦定理知a2c2(ab)b即a2b2c2aba2b2c2ab1由余弦定理得cosC2ab2ab2C60（2）SabsinC2RsinA2RsinBsin60232sinAsinB3[cos(AB)cos(AB)]3[cos(18060)cos(AB)]13[cos(AB)]2133当A＝B时，S有最大值3(1)第三篇：正弦定理余弦定理[推荐]正弦定理余弦定理一、知识概述主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB,c2=a2＋b2－2abcosC．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况．二、重点知识讲解1、三角形中的边角关系在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有（1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°；（2）边与角之间的关系：正弦定理：余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＋a2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC射影定理：a＝bcosC＋ccosBb＝ccosA＋acosCc＝acosB＋bcosA2、正弦定理的另三种表示形式：3、余弦定理的另一种表示形式：4、正弦定理的另一种推导方法——面积推导法在△ABC中，易证明再在上式各边同时除以在此方法推导过程中，要注意对面积公式的应用．例1、在△ABC中，ab=60,sinB=cosB．面积S=15，求△ABC的三个内角．分析：在正弦定理中，由进而可以利用三角函数之间的关系进行解题．解：可以把面积进行转化，由公式∴C=30°或150°又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°显然A＋B=90°不可能成立当C=30°时，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°当C=150°时，由A－B=90°得B为负值，不合题意故所求解为A=120°，B=30°，C=30°.例2、在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的外边，若b=2a，B=A＋60°，求A的值．分析：把题中的边的关系b=2a利用正弦定理化为角的关系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA．解：∵B=A＋60°∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°=又∵b=2a∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA例3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，试判断△ABC的形状．分析：三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a＋b＝c，a＋b>c（锐角三角形），a＋b＜c（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．解法一：由同角三角函数关系及正弦定理可推得，∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．．∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形状，此类问题主要考查边角互化、要么同时化边为角，要么同时化角为边，然后再找出它们之间的关系，注意解答问题要周密、严谨．例4、若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．分析：本题既可以利用正弦定理化边为角，也可以利用余弦定理化角为边．解：解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°故△ABC为等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c故△ABC为等腰三角形或直角三角形．6、正弦定理，余弦定理与函数之间的相结合，注意运用方程的思想．例5、如图，设P是正方形ABCD的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别是1，2，3，求正方形的边长．分析：本题运用方程的思想，列方程求未知数．解：设边长为x(1设x=t，则1－5)=16t三、难点剖析1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论．下图即是表示在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况．（1）当A为锐角时（如下图），（2）当A为直角或钝角时（如下图），也可利用正弦定理进行讨论．如果sinB>1，则问题无解；如果sinB＝1，则问题有一解；如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．2、用方程的思想理解和运用余弦定理：当等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知数时，等式便成为方程．式中有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cosA．3、向量方法证明三角形中的射影定理在△ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．4、正弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知两角和任一边解三角形；（2）已知两边和一边的对角解三角形．5、余弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知三边解三角形；（2）已知两边和夹角解三角形．6、三角形面积公式：例6、不解三角形，判断三角形的个数．①a＝5，b＝4，A＝120°②a＝30，b＝30，A＝50°③a＝7，b＝14，A＝30°④a＝9，b＝10，A＝60°⑤a＝6，b＝9，A＝45°⑥c＝50，b＝72，C＝135°解析：①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．③a④a0∴△ABC有两解．⑤b>c，C＝45°，∴△ABC无解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，这样B＋C>180°，∴△ABC无解．第四篇：正弦定理和余弦定理大毛毛虫★倾情搜集★精品资料第一章解三角形§1.1.1正弦定理和余弦定理一、选择题1．已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于……....()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°2．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为…………..()A．9B．18C．93D．1833．已知△ABC中，a∶b∶c＝13∶2，则A∶B∶C等于………..()A．1∶2∶3B．2∶3∶1C．1∶3∶2D．3∶1∶24．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，则k的取值范围为…..()A．(2，＋∞)]1B．(-∞，0)C．(-2，0)1D．(2，＋∞)5．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是………..()A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝42，B＝45°C．a＝6，b＝63，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°*6．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则abc等于….()sinAsinBsinCA．33二、填空题23983B．3C．339D．27．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积是________．8．设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________．39．已知△ABC的面积为2，且b＝2，c＝3，则∠A＝________．10*．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．三、解答题11．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．(1)试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式．大毛毛虫★倾情搜集★精品资料(2)当a等于多少时，S有最大值？并求出这个最大值．12．在△ABC中，已知a2-a＝2(b＋c)，a＋2b＝2c-3，若sinC∶sinA＝4，求a，b，c．ABababtan2．13．在△ABC中，求证tan14*．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于．大毛毛虫★倾情搜集★精品资料§1.1.1正弦定理和余弦定理参考答案一、选择题DCADCB二、填空题77．2或8．229．60°或120°10．33三、解答题11．解：(1)∵a＋b＝16，∴b＝16-aS＝2absinC3＝2a(16-a)sin60°＝4(16a-a2)＝-4(a-8)2＋16（0＜a＜16)(2)由(1)知，当a＝8时，S有最大值163．12．解：∵sinC∶sinA＝4∴c∶a＝4设c＝4k，a＝k，则13k2k2(b4k)k2b8k3由①、②消去2b，得13k2-