上海市浦东新区2026届高三上学期学习能力诊断数学试题（解析版）

2025学年度第一学期高三年级学习能力诊断卷数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分.1.已知是虚数单位，则__________.【答案】【解析】【分析】由复数模长的定义可求.【详解】.故答案为：.2.已知集合，，则____________________.【答案】【解析】【分析】根据并集的定义，由，，可求出.【详解】由，。所以.故答案为：.【点睛】本题考查集合的并集运算，属于基础题.3.抛物线的准线方程是_______【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程.【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，所以：，即，所以，所以准线方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.4.已知，则__________.【答案】##【解析】【分析】直接运用二倍角余弦公式进行求解即可.【详解】因为，所以，故答案为：5.已知的最大值为___．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求解即可【详解】由基本不等式得.故答案为：16.在二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】【分析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.【详解】二项展开式通项为：当时，常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.7.的二项展开式中常数项为_______．【答案】【解析】【分析】写出展开式的通项，令，解出，代入计算即可得答案.【详解】展开式的通项为，令，解得，所以的二项展开式中常数项为.故答案为：.8.设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________．【答案】【解析】【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得.【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，，所以，所以当时取得最小值，依题意可得，所以故答案为：9.李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：566777899，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为____________．【答案】【解析】【分析】现根据百分位数得出该生的成绩，再利用方差公式计算.【详解】，则该学生的成绩为从小到大排列的第个，故该生的成绩为，则这10名学生的成绩的平均数为，方差为故答案为：10.若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为________．【答案】##0.4【解析】【分析】利用质因数可得的所有正约数，从而可求概率.【详解】因为，所以的正约数为共15个数，其中完全平方数有共6个数，所以从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为.故答案为：.11.设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数________．【答案】15【解析】【分析】由题意可得或，分类讨论可求得的值.【详解】由，可得或，当，可得，所以，所以为单调递增数列，且前项为负，从第项开始为正，又，，所以，所以；当，可得，所以，所以为单调递增数列，且前项为正，从第项开始为负，又，，所以，所以；综上所述：.故答案为：.12.设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据已知讨论、、，结合对应的解析式求值域，及零点个数求参数范围.【详解】由，则，又，当，，此时无零点，当，，此时无零点，当，如下图，此时，而，要使在区间上恰有4个根，则，则.故答案为：二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分.每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.13.已知向量，，若，则的值为（

）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案.【详解】由题意可得，解得.故选：D.14.3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有（）种.A.6 B.24 C.64 D.81【答案】C【解析】【分析】由分步乘法原理计算可得.【详解】由题意可得每位同学有4种选择，根据乘法原理，共有种.故选：C15.研究变量x，y得到一组成对数据，，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（）A.变量与变量的相关性变强 B.相关系数的绝对值变小C.线性回归方程不变 D.拟合误差Q变大【答案】C【解析】【分析】由已知可得，，求出相关系数，即可判断A，B选项，再利用回归直线方程过样本中心点可判断C选项，D利用残差平方和进行判断即可.【详解】设变量x，y的平均数分别为，，则，，即，，可知新数据的样本中心点不变，仍为，则，，，则相关系数.可知相关系数的值不变，变量与变量的相关性不变，故A，B错误；对于C，因为，所以不变，且线性回归方程过样本中心点，即，均不变，所以线性回归方程不变，故C正确；因为即为样本中心点，即，可知残差平方和不变，所以拟合误差Q不变，故D错误.故选：C.16.给定四面体．平面满足：①、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧；②若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设、、、四个点到平面的距离分别为，那么的所有不同值的个数组成的集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，分类讨论，确定平面的位置，结合点到平面的距离的定义，进行分析判断，即可求解.【详解】当平面与四面体的一条棱的中点相交时，不妨设平面过棱的中点，此时点到平面的距离相等，且平面平面，如图（1）所示此时到平面的距离可能与到平面的距离相同，此时有1不同的值；不妨设平面过棱的中点，且过分别为的三等分点时，如图（2）所示，此时点到平面的距离相等，且到平面的距离相等，且到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2不同的值；不妨设平面过棱的中点，且过分别为的三等分点时，如图（3）所示，此时点到平面的距离相等，其中到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2不同的值；不妨设平面过棱的中点，过的靠近的三等分点，过靠近点的三等分点，此时到平面的距离不同，到平面的距离不同，且到平面的距离两两之间都可能不同，此时有3个不同的值；又因为四个点均不在平面上，也不在平面的同侧，所以不能有4个不同的值（若有4个不同的值，四个点必然在平面的同侧），所以的所有不同值的个数组成的集合为.故选：B.三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知函数，（且）（1）若，求方程的解；（2）已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由求出幂函数解析式，再利用换元法，结合一元二次方程和指数与对数函数的关系求解即可；（2）由幂函数的单调性得到关于的不等式再分离参数，结合基本不等式求解即可.【小问1详解】即解得，于是，方程即为，令，则有即，求得（舍负），所以方程的解为.【小问2详解】由已知得，整理得，因为，所以，从而对任意恒成立，因为（当且仅当取等号），所以，即实数的最大值为.18.座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）结合图中几何关系由线面垂直的判定定理证明平面即可；（2）结合图中几何关系由等体积法即求解即可.【小问1详解】连接，因为底面为正八边形，所以，又正八棱柱侧棱底面，底面，所以，平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】连接，因，由正八边形的性质可得，，为到底面的距离，，所以，由勾股定理可得，，又，所以，又，所以，因为，所以，即，设点到平面的距离为，则，即，即，解得，所以点到平面的距离为.19.某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据.其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：视力数据4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3人数22211（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率.【答案】(1)4.7；(2).【解析】【详解】试题分析：（1）平均数与一组数据里的每个数据都有关系，；（2）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（3)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（4）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性．试题解析：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为．据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为．3分（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为、、、、、，所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情形．7分其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于的有，，，，，，，，，，共10种．10分所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于的概率为．12分考点：1、数据的平均数；2、利用古典概型求随机事件概率．20.已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等．（1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值；（2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程；（3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）运用离心率公式计算即可；（2）先求出，得到直线的方程，设的方程为，，，直曲联立，运用弦长公式得到，求出即可；（3）先设出的方程，因为有且的条件，所以任取上一点（不与点重合），算出和直线的斜率.接着设出点的坐标，算出.由于，得出直线方程，进而得到与、的关系.结合以及曲线方程进一步求解，最后得到长轴取值范围即可.【小问1详解】由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为，解得【小问2详解】由题，，，所以，直线的方程为，设的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，代入整理得，，可得，由韦达定理可得，，故，解得.所以的标准方程为.【小问3详解】由题，设的方程为，由题意，且，任取上一点（不与点重合），则，.设，则，直线的方程为，故，代入得，因为，解得，由对称性，不妨设，代回直线方程可解得，而点位于上，所以，为上任一点，所以为定值，化简得.设，为上任一点，即有解.整理得，，解得，所以.故的长轴长.21.设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界．（1）设，，判断函数，是否具有性质；（2）设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界；（3）设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围．【答案】（1）不具有，理由见解析；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）借助导数，利用“函数具有性质”的定义推理判断.（2）利用导数求出函数的单调区间及极小值，再利用“函数具有性质”的定义求解.（3）求出的导数，按分类，结合“函数具有性质”的定义求出范围，并求出最小值函数，再换元求出最小值函数的最小值即可.【小问1详解】函数，，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，上单调递减，于是函数在上不是单调函数，，，函数在上的值域为，不存在常数，使得对