数学模型MathematicalModeling专题培训

数学模型

MathematicalModeling任课老师：李银飞liyf_315@163.comTel693509)第1页第1页第一章建立数学模型开设本课程目的：引起注意、激发兴趣、简介办法、培养能力第2页第2页数学？数学有无用？数学不是没有用，而是不够用既有数学工具不能处理所有实际问题怎么用？处理实际问题数学模型

第3页第3页数学模型与数学建模数学模型（MathematicalModel）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性抽象而又简练刻划，它或能解释一些客观现象，或能预测未来发展规律，或能为控制某一现象发展提供某种意义下最优策略或较好策略。

数学建模（MathematicalModeling）

应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型过程。第4页第4页数学模型早就知我们从小就接触过数学模型：应用题“甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问航速，水速若干？”物体“从安静湖面小船上仍一块石头至水中，湖面是上涨还是下降？”数学竞赛…第5页第5页数学模型无所不在日常生活投资决议各行各业经济金融专业研究领域物理计算机研究第6页第6页例1.手机电话卡选择已知：全球通电话卡每分钟0.4元，每月25元租金；神州行卡每分钟0.6元，不用月租金问：选择哪种卡比较省钱？第7页第7页例2.打水问题天天晚上5:00至5:30之间开水房拥塞想必让每一个人都深有感触吧，偏偏这种时候还有一些人喜欢一个人占好几个龙头，不得不让人怒火中烧。对每个人来讲，最好方法当然是在不违反排队次序前提下尽也许早地接触龙头。实际上大家也基本上是这么做。在高峰时期霸占多个龙头人就算不遭到语言谴责也会遭到目光谴责。第8页第8页假设现在有2个水龙头，10个人来打水，每个人拎着两个壶，每打一壶要1分钟，这是一个很常见情况。办法A：经验办法。这样，当有两人等待时，两个人各用一个龙头，为将10个人打满，总共等待时间是： 2*(2+4+6+8+10)=60分钟办法B：每次分派水龙头时都优先满足最前面人。这样，当有两人等待时，第一个人先用两个龙头，等他打完了第二个人再用。这种办法下总等待时间是： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55分钟结果后一个办法被证实是更有效率。也就是说，这个看起来有些自私方案，这个经常被我们谴责方案，事实上是一个更合理方案。第9页第9页例3.银行问题去中国工商银行存取钱对每个人来说都决不是一次愉快经历。我平均每次去取钱都最少要花上半个小时时间，这促使我考虑是否有方法在现有窗口情况下提升整个系统效率。不同任务量串行服务队列第10页第10页例4.万有引力定律发觉开普勒三大定律行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆一个焦点上。行星在单位时间内扫过面积不变。行星运营周期平方正比于椭圆长半轴三次方，百分比系数不随行星而改变（绝对常数）。牛顿依据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分办法推导出万有引力定律。Proof第11页第11页数学建模普通环节理解问题实际背景，明确建模目的，搜集掌握必要数据资料。在明确建模目的，掌握必要资料基础上，通过对资料分析计算，找出起主要作用原因，经必要精炼、简化，提出若干符合客观实际假设。在所作假设基础上，利用适当数学工具去刻划各变量之间关系，建立相应数学结构——即建立数学模型。模型求解。模型分析与检查。实体信息(数据)假设建模求解验证应用第12页第12页能力培养能力上锻炼观测能力、分析能力、归纳能力和数据处理能力在尽也许短时间内查到并学会我想应用知识本事Google图书馆创新能力第13页第13页CourseGoals让同窗们真正能提升发觉问题和处理问题能力利用知识和寻找知识能力学有所用，增强兴趣和信心办法多思考分析实践第14页第14页预备技能数学知识分析，代数，几何，概论，统计，优化…软件使用MicrosoftWord,Visio,LaTeXMatlab,Mathematica,Maple,Lindo,Lingo…编程C/C++GUIProgramming第15页第15页GradingPoliciesGeneralhomeworkandLargeprojects(?%)Finalexams(?%)第16页第16页GradingPolicies5+办法新奇巧妙，非常好5模型建立求解合理，书写较好4模型建立求解合理，书写规范3模型建立求解基本合理，但书写普通2模型建立求解有问题，书写普通1模型建立不正确，书写糟糕，态度有问题0态度有问题，很遗憾

第17页第17页Requirements(1)模型汇报书写符合规范文字，图表清楚数听阐明第18页第18页Requirement(3)独立完毕互相帮助团队合作绝不允许抄袭！第19页第19页Q&A第20页第20页一些简朴实例第21页第21页例1某人平时下班总是按预定期间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他方向步行回去并在途中碰到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？§1.5一些简朴实例

似乎条件不够哦。。

换一个想法，问题就迎刃而解了。假如他妻子碰到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前十分钟时间从何而来？

显然是由于节约了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。

请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？第22页第22页例2某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。问：在什么条件下，能够确保途中至少存在一地，此人在两天中同一时间到达该地。分析

本题多少有点象数学中解存在性条件及证实，当然，这里情况要简朴得多。

假如我们换一个想法，把第二天返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人到达时间晚于另一人出发时间，两人必会在途中相遇。（请自己据此给出严格证实）

第23页第23页例3交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间黄灯。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯作用是什么，不难看出，黄灯起是警告作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请马上停车。停车是需要时间，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离L。这就是说，在离街口距离为L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线车辆，则应当确保它们仍能穿过马路。

马路宽度D是容易测得，问题关键在于L确实定。为拟定L，还应当将L划分为两段：L1和L2，其中L1是司机在发觉黄灯亮及判断应当刹车反应时间内驶过路程，L2为刹车制动后车辆驶过路程。L1较容易计算，交通部门对司机平均反应时间t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道行驶速度v也是交管部门早已定好，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离L2既可用曲线拟合办法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来。黄灯终归应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出L应多大才干使看见黄灯司机停得住车。第二步，黄灯亮时间应当让已过线车顺利穿过马路，即T至少应当达到（L+D）/v。

DL第24页第24页例4将形状质量相同砖块一一向右往外叠放，欲尽也许地延伸到远方，问最远能够延伸多大距离。设砖块是均质，长度与重量均为1，其重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。

Zn(n－1)n(n＋1)由第n块砖受到两个力力矩相等，有：

1/2-Zn=(n－1)Zn故Zn=1/(2n)，从而上面n块砖向右推出总距离为，故砖块向右可叠至任意远

，这一结果多少有点出人意料。

第25页第25页例5某人住在某公交线附近，该公交线路为在A、B两地间运营，每隔10分钟A、B两地各发出一班车，此人常在离家最近C点等车，他发觉了一个令他感到奇怪现象：在绝大多数情况下，先到站总是由B去A车，莫非由B去A车次多些吗？请你帮助他找一下原因AB发出车次显然是同样多，不然一处车辆将会越积越多。因为距离不同，设A到C行驶31分钟，B到C要行驶30分钟，考察一个时间长度为10分钟区间，比如，能够从A方向来车驶离C站时开始，在其后9分钟内抵达乘客见到先来车均为B开往A，仅有最后1分钟抵达乘客才见到由A来车先到。由此可见，假如此人到C站等车时间是随机，则他先遇上B方向来车概率为90%。第26页第26页例6飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了弄清失事原因，人们必须尽快找回匣子。拟定黑匣子位置，必须拟定其所在方向和距离，试设计一些寻找黑匣子办法。由于要拟定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线强度。第27页第27页办法一点光源发出射线在各点处照度与其到点光源距离平方成反比，即黑匣子所在方向很容易确定，关键在于确定距离。设在同一方向不同位置检测了两次，测得照度分别为I1和I2，两测量点间距离为a，则有第28页第28页办法二在办法一中，两检测点与黑匣子位于始终线上，这一点比较容易做到，主要缺点是结果对照度测量精度要求较高，很少误差会造成结果很大改变，即敏感性很强，现提出另一办法，在A点测得黑匣子方向后，到B点再测方向，AB

距离为a

，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得出d=asinα/sin(α+β)。需要指出是，当黑匣子位于较远处而α又较小时，α+β也许非常靠近π（∠ACB靠近于0），而sin（α+β）又正好位于分母上，因而对结果准确性影响也会很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。BACaαβ第29页第29页例7将一张四条腿方桌放在不平地面上，不允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转，是否总能设法使其四条腿同时落地？第30页第30页假设地面为连续曲面方桌四条腿长度相同相对于地面弯曲程度而言，方桌腿是足够长方桌腿只要有一点接触地面就算着地。第31页第31页模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)对称性xBADCOD´C´B´A´用

(对角线与x轴夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是

函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f(

)B,D两脚与地面距离之和~g(

)两个距离

椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性第32页第32页用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来f(

),g(

)是连续函数对任意,f(

),g(

)至少一个为0数学问题已知：f(

),g(

)是连续函数;对任意

，f(

)•g(

)=0;且g(0)=0，f(0)>0.证实：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地第33页第33页给出一个简朴、粗糙证实办法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g连续性知

h为连续函数,据连续函数基本性质,必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).由于f(

)•g(

)=0,因此f(

0)=g(

0)=0.评注和思考建模关键~和f(),g()拟定模型求解第34页第34页思考若方桌改为长方形桌子，结论如何？第35页第35页如图，有椭圆方程:矢径所扫过面积A微