2026年考研数学线性代数核心题型精讲大全

2026年考研数学线性代数核心题型精讲大全

线性代数是考研数学的重要组成部分，也是许多考生感到较为困难的一门学科。它不仅要求考生掌握扎实的理论基础，还需要具备灵活的解题技巧和敏锐的数学思维。2026年考研数学线性代数的核心题型主要包括行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等几个方面。这些题型不仅考察考生对基本概念的理解，还考察考生在复杂情况下综合运用知识的能力。为了帮助考生更好地应对这些题型，本文将对这些核心题型进行详细讲解，并结合具体的例题进行分析，帮助考生掌握解题的关键步骤和方法。

###一、行列式

行列式是线性代数的基石，它不仅是矩阵运算的基础，也是解决许多线性代数问题的重要工具。行列式的计算方法和性质是考生必须掌握的内容。

####1.行列式的定义与性质

行列式的定义可以通过排列组合来理解。对于一个n阶矩阵A，其行列式记为|A|，定义为所有n阶排列的代数和，每个排列对应一个项，该项是由排列中元素乘积的代数和构成的。具体来说，如果排列为i1i2...in，对应的项为a1i1a2i2...anin，其中aij是矩阵A的第i行第j列的元素。排列的符号由排列的逆序数决定，逆序数为奇数时取负号，逆序数为偶数时取正号。

行列式具有以下性质：

（1）**行变换性质**：对行列式进行行变换（交换两行、某行乘以常数、某行加上另一行的k倍），行列式的值会发生变化。具体来说，交换两行会改变行列式的符号，某行乘以常数会使得行列式也乘以该常数，某行加上另一行的k倍不会改变行列式的值。

（2）**列变换性质**：对行列式进行列变换（交换两列、某列乘以常数、某列加上另一列的k倍），行列式的值也会发生变化。列变换的性质与行变换性质类似。

（3）**零行或零列**：如果行列式中有一行或一列全为零，则行列式的值为零。

（4）**相同行或列**：如果行列式中有两行或两列完全相同，则行列式的值为零。

（5）**三角形行列式**：如果行列式是一个上三角形或下三角形矩阵，则行列式的值等于主对角线元素的乘积。

####2.行列式的计算方法

行列式的计算方法主要有两种：**按行（列）展开法和化为三角形行列式法**。

**按行（列）展开法**：这种方法适用于行列式中含有较多零元素的情况。具体步骤是选择一行或一列（通常选择零元素较多的行或列），然后按照该行或该列的元素展开行列式。展开时，每个元素乘以其对应的代数余子式，代数余子式是该元素所在行和列去掉后剩下的子行列式的行列式值，并乘以(-1)^(i+j)，其中i和j分别是该元素所在的行号和列号。

**化为三角形行列式法**：这种方法适用于行列式阶数较高的情况。具体步骤是通过行变换将行列式化为上三角形或下三角形矩阵，然后主对角线元素的乘积就是行列式的值。行变换时要注意保持行列式的值不变或按比例变化。

####3.例题分析

**例1**：计算行列式|A|，其中A为4阶矩阵，

\[A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix}\]

解：这是一个上三角形矩阵，所以行列式的值为主对角线元素的乘积，即：

\[|A|=1\times1\times1\times1=1\]

**例2**：计算行列式|B|，其中B为4阶矩阵，

\[B=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{pmatrix}\]

解：这个行列式没有明显的零元素，所以可以考虑按行展开。选择第一行展开，得：

\[|B|=1\times\begin{vmatrix}3&4&1\\4&1&2\\1&2&3\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}2&4&1\\3&1&2\\4&2&3\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}2&3&1\\3&4&2\\4&1&3\end{vmatrix}-4\times\begin{vmatrix}2&3&4\\3&4&1\\4&1&2\end{vmatrix}\]

每个3阶行列式都可以继续按行展开，最终计算得到：

\[|B|=1\times(3\times(1\times3-2\times2)-4\times(4\times3-1\times2)+1\times(4\times2-1\times3))-2\times(2\times(1\times3-2\times2)-4\times(3\times3-1\times2)+1\times(3\times2-4\times1))+3\times(2\times(4\times3-1\times2)-3\times(3\times3-1\times2)+1\times(3\times2-4\times1))-4\times(2\times(4\times2-1\times3)-3\times(3\times2-1\times4)+4\times(3\times1-4\times2))\]

\[|B|=1\times(3\times1-4\times10+1\times5)-2\times(2\times1-4\times7+1\times2)+3\times(2\times10-3\times7+1\times2)-4\times(2\times5-3\times2+4\times-5)\]

\[|B|=1\times(3-40+5)-2\times(2-28+2)+3\times(20-21+2)-4\times(10-6-20)\]

\[|B|=1\times-32-2\times-24+3\times1-4\times-16\]

\[|B|=-32+48+3+64\]

\[|B|=81\]

###二、矩阵

矩阵是线性代数的核心概念之一，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。矩阵的运算和性质是考生必须掌握的内容。

####1.矩阵的运算

矩阵的运算主要包括加法、减法、乘法、转置、逆矩阵等。

**加法与减法**：只有当两个矩阵的行数和列数相同时，才能进行加法或减法运算。加法是对应元素相加，减法是对应元素相减。

**乘法**：矩阵乘法较为复杂，要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数。乘法的结果是一个新矩阵，其元素是由左矩阵的行和右矩阵的列对应元素乘积的和构成的。

**转置**：矩阵的转置是将矩阵的行和列互换，记为A^T。转置矩阵的性质包括：(A^T)^T=A，(A+B)^T=A^T+B^T，(kA)^T=kA^T，(AB)^T=B^TA^T。

**逆矩阵**：如果矩阵A存在一个矩阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，记为A^-1。逆矩阵的性质包括：(A^-1)^-1=A，(AB)^-1=B^-1A^-1，(A^T)^-1=(A^-1)^T。

####2.矩阵的性质

矩阵的性质主要包括可逆性、秩、相似性等。

**可逆性**：矩阵A可逆的条件是其行列式不为零，即|A|≠0。可逆矩阵有以下性质：如果A可逆，则A^-1也可逆，且(A^-1)^-1=A。

**秩**：矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数。矩阵的秩有以下性质：如果A是m×n矩阵，则秩(A)≤min(m,n)。矩阵的秩可以通过行变换化为行阶梯形矩阵来计算，行阶梯形矩阵中非零行的数量就是矩阵的秩。

**相似性**：如果存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，则称矩阵A与矩阵B相似。相似矩阵的性质包括：如果A与B相似，则|A|=|B|，秩(A)=秩(B)，特征值相同。

####3.例题分析

**例3**：求矩阵A的逆矩阵，其中

\[A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\]

解：首先计算行列式|A|，

\[|A|=1\times4-2\times3=-2\]

因为|A|≠0，所以A可逆。逆矩阵的公式为：

\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\]

代入A的元素，得：

\[A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\]

**例4**：求矩阵B的秩，其中

\[B=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\]

解：将B化为行阶梯形矩阵：

\[\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\xrightarrow{r2-2r1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\3&6&9\end{pmatrix}\xrightarrow{r3-3r1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\]

行阶梯形矩阵中非零行的数量为1，所以秩(B)=1。

向量是线性代数中的另一个重要概念，它与矩阵、线性方程组等密切相关。向量的运算和性质是考生必须掌握的内容。向量的运算主要包括加法、减法、数乘、点积、叉积等。向量的性质主要包括线性相关性、向量组的秩等。

####1.向量的运算

**加法与减法**：向量的加法是对应分量相加，减法是对应分量相减。向量的加法和减法可以geometricallyvisualize为平行四边形法则或三角形法则。例如，如果向量a和向量b的起点相同，则它们的和向量c的起点也是相同的，而终点是向量a和向量b的终点构成的平行四边形的对角线顶点。

**数乘**：向量的数乘是一个向量和一个标量相乘，结果是一个新的向量，其方向与原向量相同或相反，其长度是原向量的长度的倍数。如果标量大于1，则向量变长；如果标量小于1，则向量变短；如果标量等于1，则向量不变；如果标量等于-1，则向量方向相反；如果标量等于0，则向量变为零向量。

**点积**：向量的点积是两个向量的对应分量乘积的和。点积可以用来计算两个向量的夹角和投影。如果向量a和向量b的点积为0，则它们垂直；如果向量a和向量b的点积大于0，则它们之间的夹角小于90度；如果向量a和向量b的点积小于0，则它们之间的夹角大于90度。

**叉积**：向量的叉积只适用于三维空间中的向量。向量的叉积是一个新的向量，其方向垂直于原两个向量构成的平面，其长度等于原两个向量构成的平行四边形的面积。向量的叉积的方向可以通过右手定则来确定。

####2.向量的性质

**线性相关性**：向量组线性相关是指向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示。向量组线性无关是指向量组中任何一个向量都不能由其他向量线性表示。判断向量组是否线性相关的方法有多种，其中一种方法是构造一个矩阵，将向量组作为矩阵的列向量，然后计算矩阵的秩。如果矩阵的秩小于向量组的向量数量，则向量组线性相关；如果矩阵的秩等于向量组的向量数量，则向量组线性无关。

**向量组的秩**：向量组的秩是指向量组中最大线性无关子集的向量数量。向量组的秩可以通过构造一个矩阵，将向量组作为矩阵的列向量，然后计算矩阵的秩来得到。

####3.例题分析

**例5**：判断向量组a=(1,2,3),b=(2,4,6),c=(3,6,9)是否线性相关。

解：构造一个矩阵，将向量组作为矩阵的列向量：

\[\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\]

将矩阵化为行阶梯形矩阵：

\[\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\xrightarrow{r2-2r1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\3&6&9\end{pmatrix}\xrightarrow{r3-3r1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\]

行阶梯形矩阵中非零行的数量为1，所以矩阵的秩为1。因为向量组的向量数量为3，所以向量组线性相关。

**例6**：求向量组a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1)的秩。

解：构造一个矩阵，将向量组作为矩阵的列向量：

\[\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\]

这是一个单位矩阵，其秩为3。因为向量组的向量数量为3，所以向量组线性无关，其秩为3。

线性方程组是线性代数中的另一个重要概念，它与向量、矩阵等密切相关。线性方程组的解法是考生必须掌握的内容。线性方程组的解法主要包括高斯消元法、克拉默法则、矩阵逆矩阵法等。线性方程组的性质主要包括解的存在性、唯一性等。

####1.高斯消元法

高斯消元法是一种通过行变换将线性方程组化为简化阶梯形方程组，从而求解线性方程组的方法。高斯消元法的步骤如下：

（1）将线性方程组化为增广矩阵。

（2）对增广矩阵进行行变换，将其化为简化阶梯形矩阵。

（3）根据简化阶梯形矩阵写出线性方程组的解。

如果简化阶梯形矩阵中存在“0=k”（k为非零常数）的行，则线性方程组无解；如果简化阶梯形矩阵中不存在“0=k”的行，则线性方程组有解。如果简化阶梯形矩阵中非零行的数量小于未知数的数量，则线性方程组有无穷多个解。

####2.克拉默法则

克拉默法则是一种通过行列式求解线性方程组的方法。克拉默法则适用于未知数的数量与方程式的数量相同的线性方程组。克拉默法则的步骤如下：

（1）计算系数矩阵的行列式，如果行列式不为零，则线性方程组有唯一解。

（2）将常数向量替换系数矩阵的第j列，计算新的行列式，然后将新的行列式除以系数矩阵的行列式，得到第j个未知数的解。

####3.矩阵逆矩阵法

矩阵逆矩阵法是一种通过矩阵逆矩阵求解线性方程组的方法。矩阵逆矩阵法的步骤如下：

（1）将线性方程组化为矩阵形式Ax=b。

（2）如果系数矩阵A可逆，则将等式两边同时左乘A的逆矩阵，得到x=A^-1b。

如果系数矩阵A不可逆，则线性方程组无解或有无穷多个解。

####4.例题分析

**例7**：用高斯消元法求解线性方程组：

x+2y+3z=1

2x+4y+6z=2

3x+6y+9z=3

解：将线性方程组化为增广矩阵：

\[\begin{pmatrix}1&2&3&1\\2&4&6&2\\3&6&9&3\end{pmatrix}\]

对增广矩阵进行行变换：

\[\begin{pmatrix}1&2&3&1\\2&4&6&2\\3&6&9&3\end{pmatrix}\xrightarrow{r2-2r1}\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&0&0&0\\3&6&9&3\end{pmatrix}\xrightarrow{r3-3r1}\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\]

简化阶梯形矩阵中非零行的数量为1，所以线性方程组有无穷多个解。根据简化阶梯形矩阵，可以得到：

x+2y+3z=1

令y=t，z=s，则x=1-2t-3s，所以线性方程组的解为：

x=1-2t-3s

y=t

z=s

其中t和s为任意实数。

**例8**：用克拉默法则求解线性方程组：

x+y+z=1

2x+3y+4z=5

3x+4y+5z=6

解：首先计算系数矩阵的行列式：

\[\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&4\\3&4&5\end{vmatrix}=1\times(3\times5-4\times4)-1\times(2\times5-4\times3)+1\times(2\times4-3\times3)=1\times(15-16)-1\times(10-12)+1\times(8-9)=-1+2-1=0\]

因为系数矩阵的行列式为0，所以线性方程组无解或有无穷多个解。为了进一步判断，可以计算增广矩阵的行列式：

\[\begin{vmatrix}1&1&1&1\\2&3&4&5\\3&4&5&6\end{vmatrix}=1\times(3\times6-4\times5)-1\times(2\times6-4\times3)+1\times(2\times4-3\times3)=1\times(18-20)-1\times(12-12)+1\times(8-9)=-2+0-1=-3\]

因为增广矩阵的行列式不为0，所以线性方程组无解。

**例9**：用矩阵逆矩阵法求解线性方程组：

x+y+z=1

2x+3y+4z=5

3x+4y+5z=6

解：将线性方程组化为矩阵形式：

\[\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5\\6\end{pmatrix}\]

计算系数矩阵的逆矩阵：

\[\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&4\\3&4&5\end{vmatrix}}\begin{pmatrix}3\times5-4\times4&-(2\times5-4\times3)&2\times4-3\times3\\-(2\times6-4\times3)&1\times5-1\times3&-(1\times4-1\times2)\\1\times4-1\times3&-(1\times6-1\times4)&1\times3-1\times2\end{pmatrix}=\frac{1}{0}\begin{pmatrix}3&-2&-1\\-6&2&2\\1&-2&1\end{pmatrix}\]

因为系数矩阵的行列式为0，所以系数矩阵不可逆，线性方程组无解或有无穷多个解。

特征值与特征向量是线性代数中的核心概念之一，它们在许多领域中都有广泛的应用，例如物理学、工程学、经济学等。特征值与特征向量不仅考察考生对基本概念的理解，还考察考生在复杂情况下综合运用知识的能力。特征值与特征向量的计算方法和性质是考生必须掌握的内容。

####1.特征值与特征向量的定义与性质

**定义**：如果存在一个数λ和一个非零向量x，使得Ax=λx，则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应的特征向量。特征值与特征向量的问题可以转化为求解一个线性方程组的问题，即(A-λE)x=0，其中E为单位矩阵。这个线性方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式为零，即|A-λE|=0。这个方程式称为特征方程，它的解就是矩阵A的特征值。

**性质**：

（1）**特征值的代数性质**：如果λ是矩阵A的特征值，则λ的代数重数（即λ作为特征方程根的重数）大于或等于其几何重数（即λ对应的线性无关特征向量的数量）。

（2）**特征值的实部与矩阵的性质**：如果矩阵A的所有特征值的实部都大于零，则矩阵A是正定的；如果矩阵A的所有特征值的实部都小于零，则矩阵A是负定的。

（3）**特征值的和与迹**：矩阵A的所有特征值的和等于其迹（即主对角线元素的和）。

（4）**特征值的积与行列式**：矩阵A的所有特征值的积等于其行列式。

（5）**相似矩阵的特征值**：如果矩阵A与矩阵B相似，则它们有相同的特征值。

（6）**对角矩阵的特征值**：如果矩阵A是一个对角矩阵，则其对角线上的元素就是其特征值。

（7）**上三角矩阵和下三角矩阵的特征值**：如果矩阵A是一个上三角矩阵或下三角矩阵，则其对角线上的元素就是其特征值。

####2.特征值与特征向量的计算方法

**计算步骤**：

（1）写出矩阵A的特征方程|A-λE|=0。

（2）解特征方程，得到矩阵A的特征值λ。

（3）将每个特征值λ代入(A-λE)x=0，解这个线性方程组，得到对应的特征向量x。

**注意**：在解线性方程组时，通常需要先通过行变换将增广矩阵化为简化阶梯形矩阵，然后根据简化阶梯形矩阵写出线性方程组的解。

####3.例题分析

**例10**：求矩阵A的特征值与特征向量，其中

\[A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\]

解：写出矩阵A的特征方程：

\[\begin{vmatrix}1-\lambda&2\\3&4-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)(4-\lambda)-2\times3=\lambda^2-5\lambda-2=0\]

解特征方程，得到矩阵A的特征值：

\[\lambda=\frac{5\pm\sqrt{25+8}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}\]

将特征值λ代入(A-λE)x=0，解这个线性方程组，得到对应的特征向量x。

当λ=\frac{5+\sqrt{33}}{2}时，

\[\begin{pmatrix}1-\frac{5+\sqrt{33}}{2}&2\\3&4-\frac{5+\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\]

化简得：

\[\begin{pmatrix}-\frac{3+\sqrt{33}}{2}&2\\3&\frac{3-\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\]

解得：

\[x_1=\frac{4}{3+\sqrt{33}}x_2\]

令x_2=1，则x_1=\frac{4}{3+\sqrt{33}}，所以特征向量为：

\[x=\begin{pmatrix}\frac{4}{3+\sqrt{33}}\\1\end{pmatrix}\]

当λ=\frac{5-\sqrt{33}}{2}时，

\[\begin{pmatrix}1-\frac{5-\sqrt{33}}{2}&2\\3&4-\frac{5-\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\]

化简得：

\[\begin{pmatrix}-\frac{3-\sqrt{33}}{2}&2\\3&\frac{3+\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\]

解得：

\[x_1=\frac{4}{3-\sqrt{33}}x_2\]

令x_2=1，则x_1=\frac{4}{3-\sqrt{33}}，所以特征向量为：

\[x=\begin{pmatrix}\frac{4}{3-\sqrt{33}}\\1\end{pmatrix}\]

二次型是线性代数中的另一个重要概念，它与特征值与特征向量、矩阵等密切相关。二次型的化简和性质是考生必须掌握的内容。二次型的化简方法主要包括配方法、正交变换法等。二次型的性质主要包括正定性、负定性等。

####1.二次型的定义与性质

**定义**：二次型是一个关于变量的二次多项式，其一般形式为：f(x)=x^TAx，其中x是一个列向量，A是一个对称矩阵。二次型的主要问题是将二次型化为标准形或规范形，即通过可逆线性变换将二次型化为只含有平方项的形式。

**性质**：

（1）**正定性**：如果对于任意非零向量x，都有f(x)>0，则称二次型f(x)是正定的。

（2）**负定性**：如果对于任意非零向量x，都有f(x)<0，则称二次型f(x)是负定的。

（3）**半正定性**：如果对于任意向量x，都有f(x)≥0，且存在一个非零向量x使得f(x)=0，则称二次型f(x)是半正定的。

（4）**半负定性**：如果对于任意向量x，都有f(x)≤0，且存在一个非零向量x使得f(x)=0，则称二次型f(x)是半负定的。

（5）**惯性定理**：任何一个实二次型都可以通过正交变换化为标准形，其正惯性指数（即正特征值的数量）、负惯性指数（即负特征值的数量）和零惯性指数（即零特征值的数量）是唯一的。

####2.二次型的化简方法

**配方法**：配方法是一种通过配平方将二次型化为标准形的方法。具体步骤是：

（1）将二次型中的平方项和混合项分开。

（2）对平方项进行配平方，将其化为完全平方的形式。

（3）对混合项进行配平方，将其化为完全平方的形式。

（4）通过可逆线性变换将二次型化为标准形。

**正交变换法**：正交变换法是一种通过正交变换将二次型化为标准形的方法。具体步骤是：

（1）求二次型对应的矩阵的特征值和特征向量。

（2）将特征向量正交规范化。

（3）构造正交矩阵P，使得P^TAP是一个对角矩阵。

（4）通过正交变换x=Py将二次型化为标准形。

####3.例题分析

**例11**：将二次型f(x)=x^TAx化为标准形，其中

\[A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\]

解：首先写出二次型的标准形：

\[f(x)=x^TAx=\begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2\]

然后通过配方法将其化为标准形：

\[f(x)=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2=(x_1+2x_2)^2-3x_2^2\]

令y_1=x_1+2x_2，y_2=x_2，则x_1=y_1-2y_2，x_2=y_2，所以二次型的标准形为：

\[f(y)=y_1^2-3y_2^2\]

**例12**：将二次型f(x)=x^TAx化为标准形，其中

\[A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\]

解：首先求二次型对应的矩阵的特征值和特征向量：

\[\begin{vmatrix}2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)^2-1=\lambda^2-4\lambda+3=0\]

解特征方程，得到矩阵A的特征值：

\[\lambda=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm2}{2}=3\text{或}1\]

将特征值λ代入(A-λE)x=0，解这个线性方程组，得到对应的特征向量x。

当λ=3时，

\[\begin{pmatrix}2-3&1\\1&2-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\]

化简得：

\[\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\]

解得：

\[x_1=x_2\]

令x_2=1，则x_1=1，所以特征向量为：

\[x=\begin{pmatrix}1\\1