Lagrange方程的变分推导

Lagrange方程的变分推导作者：鲍祥平地址：湖北公安县毛家港镇官沟乡响垱口村一组原作老师：知乎，埃格先生Lagrange力学（一）变分原理随着现代数学的高速发展，变分不仅仅局限于泛函求极值了。新版变分学把泛函求极值扩展到了变函映射求极值的问题，这样可以让我们从以前函数的视角来研究泛函求极值问题。这样便于大家更好的理解什么是变分原理，然而这里不打算着重介绍这种变分方法，而是大家熟悉的经典变分理论为主，这样我们可以引入张量等概念来更加深入的剖析变分学，从而分析如何把张量和新版变分原理联系起来，进一步深入理解张量。“最速下降线”求yx使得它是满足yx0=y0S=最短的一条（轨道都至少是一阶光滑，因为速度不可能突变，突变需要加一个无穷大瞬时力） A B当小球同时从A滚下，哪条（光滑）轨道最快到达B最小作用量问题最经典的变分原理问题即“最小作用量”问题：对于任意一个2n+1元函数L求ℝn中的曲线γt:S最小的一条的曲线。（注意：现实中，速度一般是不可以突变的）Euler-Lagrange方程的推导任意一族曲线γt;γ并且γt0,t1如果γt是变分问题的解，那么对于任意使γ0tS作为ε的函数，应该在ε=d这样，在ε=0==γεt0和γεt1是定值，则∂γiε∂εt=t0,t1≡0时，这是因为∂从而我们就得到了Euler-Lagrange方程：∂⋇上式成立是γ能够最小化Sγ⋇但实际上，要想推出上式，我们只需要dSγεdεε=0⋇对于L=T−V的经典力学系统，可以验证dSγεdεε评述当我们算到dSγi=1时，我们提到，对于定端曲线族，第一项就可以消掉。Hamilton能够建立起Hamilton力学，一个原因就是他没有消掉这一项。⋇可以用于探究S对γ在端点值对S大小的影响。⋇从而推导出Hamilton-jacobi方程。Euler-Lagrange方程的变分推导⋇利用变分法推导Lagrange方程的方法，是一种“降维打击”手段。牛顿第二定律在一般坐标系下的表示，F=ma=mx，空间坐标x1,⋯,∂当时Lagrange没有发现变分原理，后来由Hamilton发现了变分法推导Lagrange方程。⋇适用范围：力为保守力或“保守力+理想完整约束力”的系统。（本人觉得这个理想约束存在误区，根本就没有的事，约束力ℝ为零）牛顿运动定律的变分形式⋇位形空间是一个ℝN的n维光滑嵌入子流形M⋇约束力ℝ（只改变运动的方向）满足：对于每一个x∈M,v∈Tx⋇F是一个M附近的光滑函数V（势能函数）的梯度：Fx⋇系统满足方程m例：如果γ:I→M满足mx=Fx+Rx,x，则t0<t1，记γt0d成立，则Rx,S证明：事实上d====而在ε=0时，γε是mx=Fxd=∂γεt∂εε证毕。⋇上述推导本质上是变分原理的反向推导过程，但多出来的一个需要考虑的因素：约束条件及相应的约束力R。⋇从上述过程来看，不存在R的理想性，R=0。⋇其实我们还可以进一步得到：ddεSγε对完整约束的理解《经典力学的数学方法》中给出了对完整约束的另一种理解。⋇本来也是保守力⋇相应于这个保守力的势场在M之外几乎为无穷大，使得系统在脱离M运动时会受到强烈的抵抗。流形上的Euler-Lagrange方程我们从“保守力+完整约束”（这里略去了理想约束）型的牛顿运动方程中推导出了一个在位形空间M上的变分问题：对满足γεt0=a,γdS其中（暂时不考虑L=LS此时的L是速度相空间TM上的实值函数。L=T−V:TM→ℝ问题在M上式内蕴的，不涉及M在ℝn我们考虑流形上一般的变分问题：设γ:t0,t1S最小时γ满足的方程。如果a,b离得“足够近”，使得我们能够找到一个覆盖a,b及我们最终的解的局部坐标系U,φ;q1,⋯,qn，此时变分问题可以直接通过φ投射到ℝd这里的∂L∂qi，∂L∂qi应理解为L∘如果a,b离得“比较远”，从而曲线需要多个局部坐标系来覆盖，则情况会略微复杂一些（详见GeometricMechanicsandSymmetry第4.1