数学建模讲义

数学建模讲义建模概论与初等模型第1页第1页风洞中飞机…——物理模型地图、电路图…——符号模型模型是为了一定目的，对客观事物一部分进行简缩、抽象、提炼出来原型替换物。模型集中反应了原型中人们需要那一部分特性.我们常见模型什么是数学模型一、数学建模概论玩具、照片……——实物模型第2页第2页数学模型

(MathematicalModel)数学建模（MathematicalModeling)数学建模指建立数学模型全过程。 ——包括模型建立、求解、分析、检查。数学模型——对于一个现实对象，为了一个特定目的，依据其内规律，作出必要简化假设，利用适当数学工具，得到一个数学结构。数学建模——是利用数学办法处理实际问题一个实践过程.即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式表示，以建立起数学模型,然后利用先进数学办法及计算机技术进行求解.观点：“所谓高科技就是一个数学技术”数量关系第3页第3页1.解释——孟德尔遗传定律“3:1”数学建模三大功效——解释,判断,预见美国原子能委员会提出下列处理浓缩放射性废物：封装入密封性较好坚固圆桶中，沉入300ft海里，而一些工程师提出质疑？需要判断方案合理性。2.判断——放射性废物处理3.预见——谷神星发觉行星轨道半径水、金、地、火、木、土1781年,利用这个结果发觉了天王星,18，发觉了谷神星与3相应(有故事)，之后还发觉了海王星、冥王星。第4页第4页你碰到过数学模型——航行问题用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到x=20,y=5,答：船速每小时20公里. 甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速度是多少？第5页第5页航行问题建立数学模型基本环节

作出简化假设(船速、水速为常数,方向一致);

用符号表示相关量(x,y表示船速和水速)；

用物理定律(匀速运动距离等于速度乘以时间)列出数学式子(二元一次方程)；

求解得到数学解答（x=20,y=5）；

回答原问题（船速每小时20公里）。第6页第6页录象机计数器用途问题 经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152。在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩余一段还能否录下1小时节目？要求不但仅回答问题,并且建立计数器读数与录像带转过时间关系——一个数学模型!思考本题中计数器读数是均匀增长吗？日常问题：常见录音机转轴转动是匀速吗?第7页第7页第8页第8页第9页第9页问题分析录象机计数器工作原理0000左轮盘右轮盘磁头积极轮压轮计数器录象带录象带运动方向录象带运动右轮盘半径增大右轮转速不是常数录象带运动速度是常数计数器读数增长变慢观测或分析:

计数器读数增长越来越慢！第10页第10页模型假设

录象带运动速度是常数

v；

计数器读数

n与右轮转数

m成正比，记

m=kn；

录象带厚度(含夹在两圈间空隙)为常数

w；

空右轮盘半径记作r

；

时间

t=0

时读数n=0.建模目建立时间t与读数n之间关系(设v，k，w，r为已知参数)第11页第11页模型建立建立t与n函数关系有各种办法:1.右轮盘转过第

i圈半径为r+wi,m圈总长度等于录象带在时间t内移动长度vt,因此第12页第12页模型建立2.考察右轮盘面积改变,等于录象带厚度乘以转过长度,即3.考察t到t+dt录象带在右轮盘缠绕长度,有第13页第13页思考1.3种建模办法得到同一结果2.模型中有待定参数拟定参数一个办法是测量或调查，试设计测量办法——参数预计.第14页第14页参数估计将模型改记作只需预计理论上，已知t=183.5,n=6152,再有一组(t,n)数据即可；事实上,由于测试有误差,最好用足够多数据作拟合。若既有一批测试数据：用最小二乘法可得t020406080n00001153204528003466t100120140160183.5n40684621513556196152第15页第15页模型检验应当另外测试一批数据检查模型：模型应用回答提出问题：由模型算得n=4580时t=118.5分,剩余录象带能录183.5-118.5=65分钟节目，能够录制60分钟节目。2.揭示了“t与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录象带状态改变时，只需重新预计a,b即可。第16页第16页基本办法机理分析测试分析依据对客观事物特性结识，找出反应内部机理数量规律。将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据统计分析，找出与数据拟合最好模型两者结合机理分析建立模型结构,测试分析拟定模型参数数学建模办法和环节

机理分析没有统一办法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习.下列建模主要指机理分析.第17页第17页数学建模一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检查模型应用第18页第18页数学模型分类：◆按研究办法和对象数学特性分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型等。◆按研究对象实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城乡规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。为了便于学习掌握，可对数学模型做适当分类：第19页第19页数学建模重要意义

电子计算机出现及飞速发展

数学以空前广度和深度向一切领域渗入数学建模作为用数学办法处理实际问题第一步，越来越受到人们注重。数学建模计算机技术如虎添翼知识经济第20页第20页四、近几年全国大学生数学建模竞赛题1994A逢山开路B锁具装箱1995A一个飞行管理问题B天车与冶炼炉作业调度1996A洗衣机节水问题B最优打鱼问题1997A零件参数设计B最优截断切割问题1998A投资收益和风险B灾情巡视路线第21页第21页1999A自动化车床管理B钻井布局ADNA序列分类B钢管订购和运送A血管三维重建B公交车调度A彩票问题B车灯优化设计ASARS预测B露天矿车辆安排A奥运会暂时超市网点设计B电力市场输电阻塞管理第22页第22页A长江水质评价和预测BDVD在线租赁A出版社资源配备B艾滋病疗法评价及疗效预测A中国人口增长预测B乘公交，看奥运A数码相机定位

B高等教育学费原则探讨A制动器试验台控制办法分析B眼科病床合理安排A储油罐变位辨认与罐容表标定B上海世博会影响力定量评估第23页第23页怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术!技术大体有章可循艺术无法归纳成普遍合用准则想象力洞察力判断力学习、分析、评价、改进别人作过模型亲自动手，认真作几种实际题目创新意识第24页第24页数学建模论文结构1、摘要——问题、模型、办法、结果2、问题重述4、分析与建立模型5、模型求解6、模型检查7、模型推广8、参考文献9、附录3、模型假设谢谢！第25页第25页例1哥尼斯堡七桥问题符号表示“一笔画问题”(抽象分析法)游戏问题图论(创始人欧拉)完美回答连通图中至多两结点度数为奇数，则该图可一笔画.二、初等模型第26页第26页第27页第27页第28页第28页(1111)(1110)(1010)(1011)(1101)(0000)(0001)(0101)(0100)(0010)例2人狗鸡米过河问题模型表示：建立(人,狗,鸡,米)4维0/1向量;是一个简朴游戏，但能够建立典型计算机编程求解。如:(1,0,1,0)——表示狗、米已过河,人、鸡没有等;可取状态：24－6＝10种可取过河方式：4种——(1100)(1010)(1001)(1000)运算方式：——按位异或运算(xor)第29页第29页例：一次运算过程(1111)xor(1100)(1010)(1001)(1000)

(0011)(0101)(0110)(0111)XOXX图论解法：(1111)(1110)(1010)(1011)(1101)(0000)(0001)(0101)(0100)(0010)第30页第30页

示例3椅子能在不平地面上放稳吗?问题四条腿同样长方椅子一定能在任意不平地面上放稳吗?模型假设模型构成椅脚连线为正方形ABCD(如右图).t——椅子绕中心点O旋转角度f(t)——A,C两脚与地面距离之和g(t)——B,D两脚与地面距离之和

f(t),g(t)

01.椅子四条腿同样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚连线呈正方形;2.地面高度是连续改变，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样情况)，即地面可视为数学上连续曲面;3.对于椅脚间距和椅腿长度而言，地面是相对平坦，使椅子任何位置至少有三只脚同时着地。

第31页第31页模型构成由假设1，f和g都是连续函数由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,f(t)>0,原题归结为证实下列数学命题：已知f(t)和g(t)是t连续函数,对任意t,f(t)•g(t)=0,且g(0)=0,f(0)>0。则存在t0，使f(t0)=g(t0)=0模型求解最后，由于f(t)•g(t)=0，因此f(t0)=g(t0)=0。令h(t)=

f(t)-g(t),则h(0)>0和h(

)<0，由f和g连续性知h也是连续函数。依据连续函数基本性质,必存在t0

（0<t0<

),使h(t0

)=0，即f(t0)=g(t0)。将椅子旋转90º,对角线AC与BD互换.由g(0)=0,f(0)>0可知g(

)>0,f()=0

第32页第32页办法总结1)一个变量t表示位置；引入距离函数(只设两个)；证实技巧——转动90度。模型推广1)若对象是4条腿同长长方形桌子，结果如何？2)某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中同一时刻通过路径中同一地点，为何？ (数学解法、巧妙形象解法)

第33页第33页建模示例4商人们如何安全过河问题(智力游戏)3名商人3名随从河小船(至多2人)随从们密约,在河任一岸,一旦随从人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河方案由商人决定.商人们如何才干安全过河?问题分析多步决议过程决议——每一步(A到B或B到A)船上人员要求——在安全前提下(两岸随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河!第34页第34页模型构成xk~第k次渡河前A岸商人数yk~第k次渡河前A岸随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk

,yk)~过程状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上商人数vk~第k次渡船上随从数dk=(uk,vk)~决议D={(u

,v)

u+v=1,2}~允许决议集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk+(-1)k

dk

——状态转移律求dk

D(k=1,2,

n),使sk

S按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决议问题第35页第35页模型求解xy3322110穷举法~编程上机图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决议D~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,

d11给出安全渡河方案评注和思考规格化办法,易于推广考虑4名商人各带一随从情况d1d11允许状态SS={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}D={(u

,v)

u+v=1,2}第36页第36页建模示例5报童诀窍！问题:报童天天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉报纸退回。设报纸每份购进价为b，零售价为a，退回价为c。请为该报童策划一下，他应如何拟定天天购进报纸数量，以取得最大收入？假设和分析:1.设a>b>c,且普通地a-b>b-c;2.需求量是随机，但是有规律,能够通过市场调查和经验统计其规律，比如在其销售范围内天天报纸需求量为r概率是f(r)(r=0,1,2,…..)——一个概率分布;3.若设其购进n份报纸，天天报童销售净收益是随机!于是讨论其平均净收益G(n)(盼望收益),下列第37页第37页平均净收益G(n)(盼望收益)：问题转化为：模型建立——一个离散概率模型：最大化盼望收益模型求解求导等技巧直接不能用！《数学模型》,姜启源编——P273：将离散量r当作连续量，这时上面求和可改为积分，进一步就能够求导(利用变限积分函数求导法则)，寻找其极值点！下面给出另一个不同方法！第38页第38页分析G(n)改变量△G(n)=G(n)-G(n