信号与系统（第三版）习题全解

信号与系统（第三版）习题全解说明：本答案全解适配郑君里《信号与系统》（第三版），严格遵循教材章目编排（共12章），涵盖教材所有课后习题，解析兼顾基础步骤与重难点突破，同时补充关键知识点回顾，既适合课后作业核对，也可用于复习巩固、考研基础备考，所有解析均符合教材核心考点及解题规范，参考权威辅导资料优化完善，确保答案准确、步骤清晰、逻辑连贯。第一章绪论习题全解一、习题解析（教材课后习题）1-1分别判断图1-1中各波形属于连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号，是否为数字信号？（注：图1-1为教材配套图示，此处按教材常见题型解析）答案：（1）连续时间信号（模拟信号）：时间、幅值均连续取值，无间断点；（2）连续时间信号（量化信号）：时间连续，幅值被量化为有限个离散值；（3）离散时间信号（数字信号）：时间、幅值均离散取值；（4）离散时间信号（抽样信号）：时间离散，幅值连续取值；（5）离散时间信号（数字信号）：时间、幅值均离散取值；（6）离散时间信号（数字信号）：时间、幅值均离散取值。解析：核心判断标准——连续时间信号：时间取值连续（可在某一区间内取任意值）；离散时间信号：时间取值离散（仅在特定时刻有定义）；数字信号是离散时间信号的特例，幅值也离散（仅取有限个确定值）。1-2分别判断下列各函数式属于何种信号（重复1-1题所问），其中n为正整数。（1）e−αtsinωt；（2）e−nT；（3）cosnπ；（4）答案：（1）连续时间信号（模拟信号）：时间t连续取值，幅值e−αtsinωt连续取值；（2）离散时间信号（抽样信号）：时间n离散（正整数），幅值e−nT连续取值；（3）离散时间信号（数字信号）：时间n离散，幅值cosnπ1-3分别求下列各周期信号的周期T。（1）cos10t−cos30t；（2）ej10t答案：（1）T=π5；（2）T=π5；（3）T=π解析：（1）两个余弦信号叠加，周期为各自周期的最小公倍数；cos10t周期T1=2π10=π5，cos30t周期T2=2π30=π15，最小公倍数为π5；（2）复指数信号ejωt周期1-4已知信号ft的波形，试画出f答案：绘制步骤分3步（核心：时域变换的先后顺序——先平移，后反转，再缩放，或先反转，再缩放，最后平移，结果一致）：方法一：（1）平移：将ft沿t轴负方向平移2个单位，得到ft+2；（2）反转：将ft+2关于t轴对称反转，得到f−t+2；（3）缩放：将f−t+2的时间轴压缩为原来的13（横坐标乘以方法二：（1）反转：将ft关于t轴对称反转，得到f−t；（2）缩放：将f−t的时间轴压缩为原来的13，得到f−3t；（3）平移：将f解析：时域变换核心规则——fat+b，a控制时间缩放（|a|>1压缩，|a|<1拉伸），a为负表示反转，b控制平移（b>0左移，b<0右移），平移量为−1-5已知ft，为求ft0（1）先将ft右移t0，再沿t轴反转，最后压缩为原来的1a；（2）先将ft沿t轴反转，再右移t0，最后压缩为原来的1a；（3）先将ft压缩为原来的1a，再沿t轴反转，最后右移答案：正确运算为（4），理由如下：逐步推导ft1.反转：将ft关于t轴对称反转，得到f−t；2.缩放：将f−t的时间轴压缩为原来的1a（横坐标乘以1a），得到f−at；3.平移：将解析：关键易错点——平移量的计算，当时间轴有缩放时，平移量需除以缩放系数a，且反转、缩放、平移的顺序会影响最终结果，核心是先处理反转和缩放，再处理平移，避免平移量计算错误。二、本章重难点回顾1.核心概念：连续/离散时间信号、模拟/数字信号、周期/非周期信号、因果/非因果信号的判断标准；2.时域变换：平移、反转、缩放的操作规则及先后顺序，重点掌握fat+b第二章连续时间系统的时域分析习题全解一、习题解析（教材课后习题）2-1试判断下列系统是否为线性系统、时不变系统，简述理由。（1）yt=3ft+5；（2）yt答案：（1）非线性、时不变；（2）线性、时变；（3）线性、时变；（4）非线性、时不变。解析：线性系统判断标准——满足叠加性和齐次性（yt=ay1t+by2t，其中y1t（1）含常数项5，不满足齐次性（f(t)\to3f(t)+5，af(t)\to3af(t)+5\neqa(3f(t)+5)），故非线性；时移后响应为3ft−t0+5=yt−t0，故时不变；（2）满足叠加性和齐次性，线性；时移后f(t−t_0)\tof(2t−t_0)，而yt−t2-2已知连续时间系统的微分方程为d2ytdt2+3dytdt+2yt=答案：零输入响应yzit=3e−t−2e−2t（t≥0）；零状态响应解析：（1）零输入响应：输入ft=0，微分方程变为齐次方程d2ytdt2+3dytdt+2yt=0；特征方程r2+3r+2=0，解得特征根r（2）零状态响应：初始条件y0−=0，y'0−=0，输入ft=ut；先求单位冲激响应ht，齐次解形式同零输入响应，特解设为常数ypt=C，代入微分方程得0+0+2C=0+1，解得C=1（3）全响应：yt2-3已知系统的单位冲激响应ht=e−tu答案：y解析：卷积积分公式yzst=ft∗ht=−∞∞fτ（1）t<0：τ≤t<0，fτ=0，积分结果为0；（2）0≤t<2：积分范围0≤τ≤t，yzst=0t2-4试判断下列信号是否为因果信号、稳定信号，简述理由。（1）ft=e−tut；（2）答案：（1）因果、稳定；（2）非因果、稳定；（3）因果、不稳定；（4）因果、不稳定。解析：因果信号判断标准——t<0时，ft=0；稳定信号判断标准——信号绝对可积，即（1）t<0时，ut=0，故ft=0，因果；−∞∞|e−tut|dt=0∞e−tdt=1<∞，稳定；（2）t>0时，u−t=0，二、本章重难点回顾1.系统性质判断：线性、时不变、因果、稳定的判断标准，重点区分线性与非线性、时变与时不变的核心差异；2.时域响应求解：零输入响应（齐次方程+初始条件）、零状态响应（卷积积分或微分方程求解），全响应的分解（零输入+零状态）；3.卷积积分：定义、计算方法（分区间积分），卷积的基本性质（交换律、结合律、分配律）；4.冲激响应与阶跃响应：定义及相互关系（阶跃响应是冲激响应的积分，冲激响应是阶跃响应的微分）。第三章傅里叶变换习题全解一、习题解析（教材课后习题）3-1试求下列信号的傅里叶变换Fjω（1）ft=ut−ut−T（矩形脉冲信号）；（2）ft=答案：（1）Fjω=1−e−jωTjω；（2）解析：（1）矩形脉冲信号，傅里叶变换直接利用定义积分：Fjω=−∞∞ut−ut−Te−jωtdt=3-2已知信号ft的傅里叶变换F（1）f2t；（2）ft−1；（3）tft答案：（1）121+jω2=12+jω解析：利用傅里叶变换的核心性质：（1）尺度变换性质：若ft↔Fjω，则fat↔1|a|Fjωa，此处a=2，代入得结果；（2）时移性质：若ft↔Fjω，则ft−t0↔e3-3已知信号f1t=cos4πt，f答案：Fjω=sinω−4π2解析：调制定理（频域搬移性质）：若ft↔Fjω，则ftcosω0t↔123-4试求周期信号ft答案：傅里叶级数系数Fn=1解析：周期冲激序列的周期为T，傅里叶级数系数Fn=1T−T2T2fte−jnΩt3-5已知RC低通电路的频率响应Hjω=11+jωRC，输入信号ft答案：yt解析：线性系统对多频率叠加信号的响应，可分别求各频率分量的响应，再叠加；频率响应H(j\omega)=|H(j\omega)|e^{j\varphi(\omega)}，其中幅值|Hjω|=11+ωRC（1）直流分量（ω=0）：|Hj0|=1，\varphi(0)=0，响应为1×1=1；（2）cosω0t分量（ω=ω0）：|Hjω0|=11+1=22，二、本章重难点回顾1.傅里叶变换定义：正变换、逆变换的积分公式，常见信号（矩形脉冲、指数信号、冲激信号、正弦信号）的傅里叶变换；2.傅里叶变换性质：尺度变换、时移、频移（调制定理）、时域卷积、频域卷积、时域微分、频域微分等，重点掌握性质的应用；3.周期信号的傅里叶变换：傅里叶级数与傅里叶变换的关系，周期冲激序列的傅里叶变换；4.频率响应：线性系统频率响应的定义，幅值响应与相位响应，利用频率响应求解系统对正弦信号的响应。第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析习题全解一、习题解析（教材课后习题）4-1试求下列信号的拉普拉斯变换Fs（1）ft=e−atut（a>0）；（2）ft=eatu答案：（1）Fs=1s+a，ROC：\text{Re}(s)>−a；（2）Fs=−1s−a，ROC：解析：拉普拉斯变换定义Fs（1）ft=e−atut，积分范围t≥0：Fs=0∞e−ate−stdt=0∞e−s+atdt=1s+a，需满足\text{Re}(s+a)>0，即4-2已知信号ft的拉普拉斯变换Fs=s+3s答案：ft解析：部分分式展开步骤：（1）分解分母：s2+3s+2=s+1s+2；（2）设s+3s+1s+2=As+1+Bs+2；（3）通分后比较分子：s+3=As+2+Bs+1；（4）求解系数：令s=−1，得2=A4-3已知连续时间系统的微分方程为d2ytdt2+2dyt答案：yt解析：s域方法求解步骤：（1）对微分方程两边取拉普拉斯变换，利用时域微分性质：ℒ