第四章导数的应用

第四章导数的应用§4.1中值定理§4.2罗必达法则§4.3函数的单调性§4.4函数的极值与最值§4.5曲线的凹性与拐点§4.6函数作图的基本步骤与方法§4.7导数在经济中的应用1第四章导数的应用

导数是研究函数性质的重要工具.仅从导数概念出发并不能充分体现这种工具的作用,需要微分学的基本定理作为桥梁.微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.§4.1

中值定理定理1(罗尔定理)设函数ƒ(x)

满足下列条件:

(1)

在闭区间

[a,b]上连续;

(2)

在开区间(a,b)上可导;(3)

ƒ(a)=ƒ(b);罗尔(Rolle)定理2则在(a,b)内至少存在一点ξ

,使得boxABy=f(x)ay罗尔定理的几何意义:

函数ƒ(x)在[a,b]上的图形是连续曲线弧

AB,如果除端点外,处处具有不垂直于x

轴的切线,且在闭区间[a,b]的两个端点a与b处的纵坐标相同,即ƒ(a)=ƒ(b);此时弦

3

显然这些点在最高点或最低点(局部范围内)处取得,由此启发了我们的证明思路.AB平行于

x

轴;则在弧AB

上至少能找到一点C((ξ)),

使曲线在点C

处的切线平行于弦AB,即平行于x轴,从而该点C处的切线斜率为boxABy=f(x)ay证因ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续,故由第二章定理16知:4ƒ(x)在[a,b]上必有最大值M

和最小值m.下面分两种情形讨论:(1)若M=m,则ƒ(x)在[a,b]上恒为常数.从而oyxy=M5故在(a,b)内的每一点都可取作

ξ

.定理显然成立.(2)若,而ƒ(a)=ƒ(b)从而在区间(a,b)内至少存在一点ξ.使得ƒ(ξ)=M则数M

与m中至少有一个不等于端点的数值,不妨设下面证明因ƒ(ξ)=M,则不论Δx>0或Δx<0,恒有当Δx>0时,有当Δx<0时,有6而ƒ(x)在(a,b)内可导,则故必有则对式(1)和式(2)取极限有7注1.罗尔定理中的三个条件是充分条件,缺一不可.否则结论不一定成立.(一般地说结论正确就需证明;否则,只须举反例即可)用下列各图形分别说明:oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)°°ξξƒ(x)在[a,b]内有间断点ξƒ(x)在(a,b)内有不可导点ξ(尖点)注2.罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的,如8此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均不满足,但是却存在

和ξ=π,

使oxy=f(x)y°•π9例1.

验证函数在区间[–1,2]上满足罗尔定理的条件,并求出满足此结论中的ξ值.注3.罗尔定理是定性的结果,它只肯定了至少存在一个ξ,而不能肯定ξ的个数,也没有指出实际计算ξ

的值的方法.但对某些简单情形,可从方程中解出ξ.10解因ƒ(x)是一初等函数,其定义域为则ƒ(x)在[–1,2]

上连续,在(–1,2)内存在,即ƒ(x)在(–1,2）可导.则满足题意的点为而ƒ(–1)=ƒ(2)=0.即ƒ(x)在[–1,2]上满足罗尔定理的条件.由11例2.

不求函数ƒ(x)=(x–1)(x–2)(x–3)x

的导数,说明方程有几个实根?并指出它们所在区间.

12例3.设ƒ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且ƒ(a)=ƒ(b)=0.试证:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得显然罗尔定理的端点条件要求太强了,将它去掉后就有证则F(x)

在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,即满足罗尔定理的条件.则在(a,b)内至少存在一点ξ

,使得13二.拉格朗日(Lagrange)中值定理定理2

拉格朗日(Lagrange)中值定理)

设函数ƒ(x)满足下列条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;则在(a,b)内至少存在一点ξ

,使得oxyy=f(x)aAbBC或也称微分中值定理.几何意义:如果在连续曲线弧AB上,除端点外,处处具有不垂直于x轴的切线,又因弦AB的斜率为则在弧AB上至少D14oxy

y=f(x)aAbB既然罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形,下面利用分析的方法来构造辅助函数.要证故只须令

F(x)=[ƒ(b)–ƒ(a)](x–a)–[ƒ(x)–ƒ(a)](b–a)

C能找到一点C,

使曲线在点C

处的切线平行于弦AB.

从而只需验证F(x)

满足罗尔定理的条件即可.易验证这个函数的连续性、可导性以及端点条件.注:

在[a,b]内的任意闭区间上,拉格朗日中值定理均成立.D15特别地,若

x

与x+Δx为区间(a,b)内的任意两点,则有

由于当Δx为有限时,上式是Δy的准确表达式.因而也把上式称为有限增量公式.而函数的微分仅是Δy的近似表达式,因而有限增量公式在理论上十分有用.16例4.

验证函数ƒ(x)=lnx在[1,e]上满足拉格朗日中值定理.若满足求出ξ.解因ƒ(x)

在[1,e]上连续,在(1,e)内可导.即ƒ(x)在[1,e]上满足拉格朗日中值定理.而

则由拉格朗日中值公式有17推论1.几何意义：斜率处处为0

的曲线,一定是平行于x

轴的直线.推论2.下面利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式.例5.证明证

18

例6.

证明不等式分析:因0<a<b,

从而b–a不为0,即只须证是函数值之差,可以考虑用拉格朗日中值定理解令ƒ(x)=lnx

因ƒ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.即ƒ(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理.从而另一方面显然,利用拉格朗日中值定理证明等式的关键是:19例7.当x>1时,证明不等式最后特殊取点(2)根据不等式的特点选取适当的函数ƒ(x)及对应区间[a,b],

使其满足定理的条件,便有再根据a<ξ<b

放大或缩小导数证出不等式.解令(1)根据等式特点选取适当的函数ƒ(x).

先证再证20则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得(2)辅助函数可令

F(x)=[ƒ(b)–ƒ(a)][g(x)–g(a)]–[ƒ(x)–ƒ(a)][g(b)–g(a)].且由定理3(柯西Cauchy中值定理)(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)上可导；理论证明略.提示:(3)当g(x)=x时,柯西中值定理即为拉格朗日中值定理.若函数ƒ(x),g(x)满足下列条件：(1)其证明不能分别利用拉格朗日中值定理.三.柯西(Cauchy)中值定理21例8.若ƒ(x)

在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且a>0,

试证在(a,b)内方程至少存在一个根.证因而

在[a,b]上满足柯西中值定理的条件.所以在(a,b)内至少存在一点ξ,使得故在(a,b)内方程至少存在一个根ξ

.22结论:

拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广;柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推广.柯西中值定理的特殊情形为拉格朗日中值定理,拉格朗日中值定理的特殊情形为罗尔定理.CRLƒ(a)=ƒ(b)g(x)=x23

多项式对数值计算和理论分析都十分方便,所以在研究某些复杂函数时,常常希望将它们表示为一个多项式.假设ƒ(x)在内能够表示为一个多项式,问题:(1)多项式的系数应如何确定呢?(2)又为多少呢?四.泰勒(Taylor)中值定理24(1)若ƒ(x)为一个关于x的多项式,即因多项式函数具有任意阶的连续导数,则可对上式两边求x的1至n阶导数,有假设ƒ(x)在

内表示为的多项式即下面对ƒ(x)分两种情形来讨论以上问题.25在上列各式中,令,则得由从而26并记ƒ(x)与之误差为

从而有ƒ(x),

即有当

很小且在允许的误差范围之内时,就可用

去近似代替(2)若ƒ(x)不是多项式,而是一个在内具有直到(n+1)阶导数的一般函数,则我们可仿照上式构造一个关于x的多项式27定理4.(泰勒Taylor中值定理)

若函数ƒ(x)在

\内具有直到(n+1)阶导数,则