【《正定矩阵的性质及判定方法研究》4100字（论文）】

正定矩阵的性质及判定方法研究目录TOC\o"1-3"\h\u119051前言 【内容摘要】矩阵是高等代数中的基础知识,常应用于线性方程求解,而矩阵中又有许多不同的分类.正定矩阵是矩阵中的一类特殊矩阵,根据矩阵是否为对称矩阵可以将正定矩阵分为对称正定矩阵和非对称正定矩阵，而按照矩阵中各元素所属数域又可以细分为实正定矩阵和复正定矩阵,本文研究的正定矩阵为实对称正定矩阵.论文的第一部分简要介绍正定矩阵的定义和正定矩阵的部分性质,第二部分则是给出了正定矩阵的八种等价描述，并对一些命题进行证明，第三部分是正定矩阵的判定方法,是本文的的最重要的部分,包括定义法、特征值法、主子式法、分块矩阵法、合同法,最后分析总结这些方法的优缺点.【关键词】实对称正定矩阵；性质；等价描述；判定方法1前言在大学学习的高等代数与解析几何中,教材是通过正定二次型引入的正定矩阵,所以教材中提到的正定矩阵都是实对称矩阵,论文中所提到的正定矩阵都是实对称正定矩阵.正定实二次型是二次型的一类特殊二次型,在二次型理论中有着重要的地位与作用,而与正定二次型系数相对应的实对称正定矩阵在最优化控制、几何学、概率论、计算机图形学等学科中有着广泛的应用REF_Ref23968\r\h[1].实对称矩阵的正定性在矩阵的研究中有重大的意义，而先辈们也对正定矩阵进行了深入的研究，易忠在《高等代数与解析几何》中给出了正定二次型的定义及正定二次型和正定矩阵的联系，还给出了二次型正定的几个充分必要条件；黄云美在REF_Ref24510\r\h[3]中对正定矩阵的部分性质进行了讨论，还给出了这些性质的应用；史秀英在REF_Ref13475\r\h[6]中给出了正定矩阵的一些等价命题及证明；徐仲,陆全,张凯院,安晓红在REF_Ref26130\r\h[8]中给出广义正定矩阵的具体定义，还提供了判断实对称分块矩阵正定的理论基础等等.正定矩阵的研究对我们学习二次型、线性变换及线性空间等有很大的帮助.2正定矩阵的定义与性质2.1正定矩阵的定义定义1REF_Ref23886\r\h[2]设是元实二次型,若对于变量的任何一组不全为零的实数，必有,则称为正定二次型.定义2REF_Ref23886\r\h[2]对于阶实对称矩阵,若二次型是正定二次型,则称实对称矩阵为正定矩阵.定义3REF_Ref24161\r\h[4]阶实对称矩阵称为正定矩阵,如果对于任意的维实非零列向量,都有,正定的实对称矩阵简称为正定矩阵.定义4REF_Ref23886\r\h[2]设是阶实对称矩阵,我们将位于的前行和前列的子式称为实对称矩阵的阶顺序主子式.2.2正定矩阵的性质性质1REF_Ref23886\r\h[2]若实对称矩阵正定，则有矩阵的行列式大于零.性质2REF_Ref24510\r\h[3]若实对称矩阵,正定,则有正定,正定.推论1若实对称矩阵正定,则正定.性质3REF_Ref24161\r\h[4]若实对称矩阵正定,则的主对角元全大于零.性质4REF_Ref24161\r\h[4]若实对称矩阵正定,则的元素的绝对值最大者一定是主对角线上的元素.以上性质的逆命题不成立，但它们的逆否命题成立，可以利用它们的逆否命题快速判断某些矩阵不是正定矩阵.性质5REF_Ref23968\r\h[1]若实对称矩阵,是正定矩阵,则是正定矩阵的充要条件是.推论2若实对称矩阵,正定,则正定当且仅当矩阵、至少有一个矩阵的特征值都等于同一个正数.证必要性.因为矩阵是正定矩阵,所以,又因为是实对称矩阵,所以存在一正交矩阵,使,且是矩阵的特征值,又因为,所以有,两边同时左乘,右乘,得,令,则有,即,则,上述的矩阵,是任意的实对称正定矩阵,所以有、至少有一个矩阵的特征值全部相等.再证充分性.因为、至少有一个矩阵的特征值等于同一个正数,不妨设矩阵的特征值全部等于,因为矩阵是正定矩阵,所以,因为矩阵是实对称矩阵,所以存在正交矩阵,使得,所以,由性质3知,正定,所以正定.3正定矩阵的等价描述假设是阶实对称矩阵，则下列命题是等价的：矩阵是正定的；REF_Ref23886\r\h[2]二次型的正惯性指数等于；REF_Ref24161\r\h[4]矩阵的特征值全大于零；REF_Ref24161\r\h[4]矩阵与阶主对角元全大于零的对角矩阵合同；REF_Ref24161\r\h[4]矩阵合同于阶单位矩阵；REF_Ref13099\r\h[5]存在一个可逆阵，使成立；REF_Ref24161\r\h[4]矩阵的各阶顺序主子式大于零；REF_Ref26130\r\h[8]设矩阵,则、是正定的.①②证因为矩阵是正定的，所以二次型是正定的.由主轴定理得，其中是矩阵的特征值，因为正交的线性变换是非退化线性替换，所以二次型也是正定的.令，则.作非退化线性替换，则，于是二次型也是正定的.设，取，则，与二次型正定矛盾，所以，则有，所以二次型的正惯性指数为.②③证根据主轴定理，知二次型一定可以经过正交的线性替换化为标准形，且是矩阵的特征值，假设矩阵的特征值不全大于零，不妨设，令，则，作线性变换，则，所以二次型的正惯性指数等于，与二次型的正惯性指数等于矛盾，所以矩阵的特征值全大于零.③④证因为矩阵是阶实对称矩阵，所以存在一正交矩阵，使得，且是矩阵的特征值.又因为矩阵的特征值全大于零，且正交矩阵是可逆矩阵，所以矩阵与阶主对角元全大于零的对角矩阵合同.④⑤证矩阵与阶主对角元全部是正数的对角矩阵合同，即存在可逆矩阵，使得，令，则可逆，且有，两边同时左乘,右乘,得，取，则可逆，且有，因此矩阵与阶单位矩阵合同.⑤⑥：见文REF_Ref13475\r\h[6]的证明.⑥①：存在可逆矩阵，使得，则有，所以单位矩阵合同于矩阵，又因为单位矩阵是正定矩阵，所以矩阵也是正定矩阵.①⑦：见文REF_Ref23886\r\h[2]的证明.①⑧：见文REF_Ref26130\r\h[8]的证明.4正定矩阵的判定方法4.1定义法应用定义3判定矩阵是否为正定矩阵时需要注意以下两点：矩阵是实对称矩阵,对于非对称矩阵,在这里我们暂时不讨论其的正定性.一定是对于任意的非零列向量,都有.除了运用定义3进行判断之外,我们还可以将实对称矩阵与实二次型联系起来,将判断实对称矩阵的正定性转化为判断实二次型的正定性.对于给定的实对称矩阵,我们可以将判断矩阵的正定性转化为判断实二次型的正定性.例1判断阶实对称矩阵是否正定？解矩阵对应的实二次型为令即得到.所以实二次型的正惯性指数为,所以实二次型是正定的,所以矩阵是正定的.定理1REF_Ref24510\r\h[3]实对称矩阵正定的充要条件是二次型的秩与符号差都等于.下面用定理1求解例1.分析二次型的秩等于对应矩阵的秩,而二次型的符号差等于正惯性指数与负惯性指数的差.解对矩阵作行初等变换，得所以的秩为,即二次型的秩为,由上文可知二次型的典范形为,所以二次型的符号差为，即二次型的秩与符号差都等于，所以矩阵是正定的.4.2特征值法运用特征值法分析判定矩阵的正定性时,我们首先要求出矩阵的一切特征值,若矩阵的特征值都是大于零的实数，则矩阵为正定矩阵,否则矩阵不是正定矩阵.而对于那些难于算出确切特征值的矩阵,如果我们能够通过某种方法判断矩阵的所有特征值都是大于零的实数,那么我们也可以判断矩阵为正定矩阵，若有特征值是负数，则矩阵不是正定矩阵.例2设是阶实对称矩阵,且.证明：是一个正定矩阵.证设是的特征值,是的属于特征值的特征向量,所以有,于是又,所以,即,则或或或或.因为是阶实对称矩阵,则的特征值一定是实数,所以或或或,即的特征值全为正数.所以是正定矩阵.例3证明实对称矩阵是正定的当且仅当存在实对称矩阵，使得.证必要性.实对称矩阵正定，则存在一可逆矩阵，且有，取，则是实对称矩阵，且.再证充分性.因为是实对称矩阵，所以存在一可逆矩阵，使，其中是矩阵的特征值.又所以矩阵的全部特征值，所以矩阵正定.4.3主子式法运用主子式法判定矩阵的正定性时,我们可以计算出所有主子式,如果主子式全大于零,则矩阵是正定矩阵,否则矩阵不是正定矩阵.一般情况下,我们只需要计算出各阶顺序主子式即可,不会去计算所有的主子式.例4判断矩阵是否正定？解矩阵的阶顺序主子式为所以矩阵的任意的阶顺序主子式，所以矩阵是正定矩阵.4.4分块矩阵法定理2REF_Ref26009\r\h[7]若,都是正定矩阵,则是正定矩阵.但是一般情况下给的实对称矩阵不会刚刚好可以分块成如上的形式,所以我们要运用更一般的方法.例5判断实对称矩阵是否正定？解令、、、,则,而矩阵的各阶顺序主子式,,，所以是正定矩阵；又,于是,令,又的各阶顺序主子式为、,所以是正定矩阵.即是正定矩阵,且存在二阶实对称正定矩阵,使得,所以矩阵是正定矩阵.4.5合同法定理3REF_Ref26009\r\h[7]与正定矩阵合同的矩阵一定是正定矩阵.我们平时解题时,很少运用到与较为复杂的正定矩阵合同的方法,而是运用它的特殊情况,比如矩阵与主对角元全为正数的对角矩阵合同，或者矩阵与单位矩阵合同.矩阵合同于主对角元大于零的对角矩阵,即存在可逆矩阵,使得,即矩阵经过一系列的合同变换化为主对角元大于零的对角矩阵.而矩阵合同于单位矩阵,即存在可逆矩阵,使得,而令,则有可逆，且.例6设实对称矩阵.判断矩阵是否正定？若矩阵正定，求使得和成立的可逆矩阵和？解（1）对施行合同变换,而仅对施行相应的列初等变换如下：取,则可逆,且有,即矩阵与主对角元均为正数的对角矩阵合同,所以矩阵是正定矩阵.（2）由（1）知,矩阵经过一系列合同变换得：取,则可逆,且有,取,则可逆,且有.5总结在判断一个矩阵是否正定时，如果所给的矩阵不是一个具体的矩阵时,一般会考虑用定义法或者是合同法解决问题,试着从已有的条件,看是否能够推出对于任意的非零列向量,都有，或者计算二次型的正惯性指数、秩或符号差，判断二次型的正定性，但一般我们会优先考虑直接判断矩阵的正定性,或者是能否推出矩阵与某个正定矩阵合同；如果是一个具体的矩阵,首先通过正定矩阵的性质1、性质3和性质4的逆否命题进行判断，若性质1、性质3和性质4的逆否命题成立，则矩阵不是正定矩阵，否则利用正定矩阵的判定方法进行判断,否则选择用主子式法、特征值法、合同法和分块矩阵法,对于一些低阶的矩阵,我们可以计算其特征值,但是有些矩阵的特征值容易计算,而有些矩阵的特征值就难以求出,所以主要还是计算其各阶顺序主子式,或者是通过一系列合同变换,看能否将矩阵变换成主对角元全大于零的对角矩阵,而对于高阶矩阵,我们可以通过分块矩阵法,将判断高阶矩阵的正定性转换成判断低阶矩阵的正定性,再通过主子式法等判断低阶矩阵的正定性.

参考文献李绍刚,迟晓妮.正定矩阵的性质研究及应用[J].河南教育学院学报（自然科学版）,2020,29（1）:67-71.易忠.高等代数与解析几何：下册[M].北京：清华大学出版社,2007.黄云美.正定矩阵的性质及其应用[J].烟台职业学院学报,