【《矩阵初等变换的应用研究》4200字（论文）】

矩阵初等变换的应用研究目录166141引言 摘要：矩阵的初等变换可以把一些复杂的数学问题简单化。本文针对矩阵初等变换的几种基本应用进行了进一步的探讨，首先分析出来初等变换方法在理论研究方面如何解决线性代数方程的部分问题上的基本应用，也就是探究对矩阵初等变换的基本解题方法。比如：求多项式的最大公因式，求逆矩阵，求解线性方程组等一些问题中的应用。然后通过实例来注重介绍了矩阵初等变换在实际问题中应用。关键词：矩阵；矩阵的初等变换；最大公因；逆矩阵；线性方程组；1引言矩阵的来源是线性方程组的解决方案。该领域的工作首先出现在《算术九章》中REF_Ref18013\w\h[1]，其中“等式”一章使用了相近于现代的乘法独立概念的方法，该矩阵源自对行列式。当时，矩阵被用作行列式的推广，这就是矩阵的来源。论文总共五章可以再细分为五个主要组成部分。其中第一部分主要为选题导言,介绍了矩阵的由来和矩阵的初等变换在数学中的地位；第二部分主要讲述了矩阵的定义。几个特殊矩阵。和矩阵初等变换的概念；第三部分主要是通过例题来。分析矩阵初等变换的几个应用；第四部分主要通过讲解几个有关经济。人口流动。密码学等问题。介绍矩阵初等变换在实际问题中的应用；第五部分是结束语。简单的概括了论文主要内容。2矩阵和矩阵的初等变换由个数排成的一个行列的表（2-1）叫做一个行列（或）矩阵。叫做这个矩阵的元素。现在我们来说一下矩阵的基本运算：矩阵的乘法：例2.1：2.1几个特殊矩阵2.1.1单位矩阵在许多面向线性的偏微分方程代数中,阶单位矩阵,是一个的方形矩阵,其主对角线的矩阵元素为1,其余的元素为0。单位矩阵以或者符号表示。,（2-2）2.1.2三角矩阵三角系数矩阵中的系数通常是非正方形非零三角矩阵的一种，因其非零三角矩阵系数的每个矩阵及排列方式呈类似于正三角形的形状而因此以其得名。三角形正方形矩阵可以分为上面的一个三角矩阵和下面的一个三角形矩阵两种。上一个相同三角矩阵的两个相同对角线左下方的两个夹角长度系数全部经过固定后均为零,下一个相同三角矩阵的两个相同对角线右上方的两个夹角系数全部固定后均为零。（2-3）上三角矩阵（2-4）下三角矩阵2.1.3对称矩阵对称矩阵是一种指以函数主线和对角线为对称时间轴，各对角元素之间对应长度相等的函数矩阵REF_Ref17621\w\h[5]。定义2.1设矩阵，记为矩阵的转置若矩阵满足条件,则称为对称矩阵REF_Ref17575\w\h[6]。（2-5）例2.1。解:所以矩阵是对称矩阵。2.1.4正交矩阵，。如果（为单位矩阵，表示“矩阵的转置矩阵”）或,则阶实矩阵称为正交矩阵。1×1[1]和[−1]，数。例2.2验证矩阵是正交矩阵。证明：因为所以是。2.2矩阵的初等变换矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。而矩阵的行变换和列变换是对一个矩阵施行以下变换：交换矩阵的两行（或列）；用一个非零的数乘以矩阵的某一行（或列），也就是说把一个非零的数乘某一行（或列）的每一个元素；某一行（或列）的K倍加到另一行（或列），即把某个数乘某一行（或列）的每一个元素后加到另一行（或列）的对应元素上。例2.42.3初等矩阵初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，它有以下三种形式：(1)交换单位矩阵的两行（列）（2-6）(2)将单位矩阵的某行（列）倍 第列;（2-7）(3)将单位矩阵某行（列）的k倍加到另一行（列）上;（2-8）定义2.2，与等价，记为。例2.3

3矩阵初等变换的应用矩阵的基本变换与线性方程组的解密切相关。变换矩阵的主要方法在等代数理论的问题中起着重要的作用。3.1求多项式的最大公因式是一个数域，是上的一元多项式环。定义3.1是多项式与的一个公因式；如果与的每一个公因式能整除，那么叫做与的最大公因式。以中的一元多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵。定义3.2以下3种变换称为多项式矩阵的初等行变换：(1)交换多项式矩阵的某两行；(2)用零次多项式乘以多项式矩阵的某一行；(3)用多项式乘以多项式矩阵的某一行再加到另一行。按照上述的定义和性质可以得到以下的主要结果：为了求多项式的最大公因式，把两个多项式之间的相关度两行矩阵方程。考虑的多项式（3-1）其中，引入如下记号：当时，（,）；（3-2）当时，（,）。（3-3）：（1）,=,；（2）若,=1，则（,（,）；（3）,=,,。例3.1数域上的一元多项式，求。系数解:构造两行矩阵得：所以最大公因式为例3.2求多项式，，的最大公因数解：使用三行矩阵来用初等行变换操作得所以3.2求逆矩阵在，占有非常重要的地位，因此如何就显得非常重要。一般来说，我们可以用的或者用其来求逆，但是用的来计算的，必须计算一个，过程相当复杂,所以常用的方法之一就是利用REF_Ref17396\w\h[7]。对阶矩阵有阶矩阵使（3-4），称为的。其中。一个的表示。可以为若干的，设，则（3-5）以下是主要：（1）构造一个的矩阵；（2）进行初等变换把矩阵转化成一个单位矩阵,则的值是由的位置改变而变成的逆矩阵,即（3-6）（3-7）例3.3求=的。解：构造矩阵，由得例3.4设=，=，求使得解:构造矩阵并实施初等行变得3.3求解线性方程组在求解线性方程组的一般过程中,通常采用高斯消元法,从而得到线性方程组的解。考虑元线性方程组（3-8）记为，，（3-9）则得到方程组的矩阵形式为。线性方程组的初等变换：（1）用不为零的数乘某个方程；（2）用一个数乘某方程后加到另一个方程；（3）交换两个方程组的位置；利用方程组的初等变换求解线性方程组的过程是其实就是利用初等变换来化简方程组。例3.5求解齐次线性方程组解：对方程组的施行解的方程组设（为任意实数）则通解为。例3.6求解非齐次线性方程组解:对施行=，所以方程组有无穷多解。解方程组，方程组的通解=+，为任意实数。

4矩阵初等变换在实际问题中的应用不仅是高等代中广泛应用的一类计算问题，而且是生活中的许多问题，可以利用的方法来解决。例4.1为了节省时间和降低装修自己家成本费用，现有三个人他们分别是一名木匠、水电工、油漆工,所以他们通过商量决定了装修方案并按照达成的协议试行，装修期间他们不耽误工作效率的情况下完成，因此达成了以下协议:（1）他们一起装修并且工作时间要达到10天；（2）在工作期间每人可以获得60-80之间的工资（一般市价）；（3）他们都获得的总收入和总消费支出一样。表1为了帮助他们三人沟通之后所达成协议里面的装修时间天数的分成和执行方案,我们该怎么做才能正确的计算出他们应得的工资?表1各工种工作天数天数瓦工水暖工装修工在瓦工家工作天数216在水暖工家工作天数451在装修工家工作天数443解：设瓦工、水暖工、装修工的工资分别为，由题意得即对作,得其同解方程组为得即=（），当时，。例4.2现有一座面积不小不大的A市和一个农村乡镇,在总人口中大概有40万人从事第一产业,第二和第三产业。若从事各产业的总人口数量在最近几年内固定不变,而经过社会调研得知：（1）这40万从事各产业的人口当中，据调查从事第一产业的大概有25万人，从事第二产业的大概有10万人，则从事第三产业的大概有5万人；（2）在这从事第一产业的人员当中，每年会有10%的人口转移到第二产业中去，有20%的人口会选择转移到第三产业当中去。（3）在这从事第二产业的人员当中，每年会有10%的人口转移到第一产业中去，则20%的人口会选择转移到第三产业中去。（4）在从事第三产业的人员当中，每年会有10%的人口转移到第一产业当中去，还有20%的人口选择转移到第二产业当中去。按照上面所述的我们可以预测一到两年从事各产业的人口数量，也可以预测多年后从事各产业的总人数的变化趋势。解：若用来年后总数，则。，在时趋势。依题意，一年后，从事农，工，商的人员总数应为即：以代入上式，即得：即分别为万万，万人。以及万，万，万人。例4.3密码学是一门在经济学和军事领域均发挥着极为重要的研究作用。那么我们到底要怎么发“”这个消息?用矩阵解释。解：“”这个简短消息，首先必须要把每一个字母a，b，c，dx，y，z影射导数1，2，3，424，25，26。比如2表示b，1表示a，20表示t，表示，表示。于是我们可以用以一下数集来表示简短消息“”：：现在，:于是我们可以把将要给他们的消息或者是经过乘以而转化为“”(B)后再进行。解密是加密的逆过程，这里要用到矩阵的逆这个可逆矩阵称为解密的钥匙，或称为“密匙”当然矩阵是通信双方都知道的REF_Ref16981\w\h[11]。即用从密码中解除明码：通过对字母和数的反查进行映射,即可以直接得到一个消息“”5结语矩阵理论不仅仅使我们掌握了经典数学的理论基础，同时也具有实用价值的一种数学理论。矩阵定义是现代数学研究中的一个关键和重要基本概念REF_Ref16906\w\h[12]。计算机技术的广泛运行和应用已经给矩阵理论的研究和发展开辟了广阔的应用前景。在传统的矩阵计算原则和理论中，矩阵的计算模型和方法具有重要的意义。矩阵本身就是线性代数中最基本的概念，而初等变换又是这个领域里面最为重要的方法。本论文主要针对矩阵初等变换的功能和作用做了简单的介绍，深入地进行了针对矩阵初等变换的探讨，进一步地介绍了与矩阵初等变换相关的几个基础知识，运算和矩阵初等变换的几个主要应用。无论它所涉及的主要是哪几个知识方面的数学知识与计算问题，为了使这几个问题更加简单化，或者能够得到有效的数学处理和有效解决，进行矩阵的初等变换这种计算方式，目前或许是人们比较理想的数学选择。

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