2025年湖北省高起专数学（理科）考试真题及参考答案

2025年湖北省高起专数学（理科）考试真题及参考答案考试时间：120分钟满分：150分说明：本试卷分为选择题、填空题、解答题三部分，均为必考题，共22小题，满分150分。答题时需书写规范，步骤清晰，解答题需写出必要的推理过程和演算步骤。第一部分选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-4x+3=0}，则A∩B=（）

A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2,3}

函数f(x)=√(x-2)+1/(x-3)的定义域是（）

A.[2,+∞)B.(3,+∞)C.[2,3)∪(3,+∞)D.(-∞,2]∪(3,+∞)

下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）

A.f(x)=x³B.f(x)=x²C.f(x)=1/xD.f(x)=2^x

已知sinα=3/5，α为锐角，则cosα=（）

A.3/5B.4/5C.3/4D.4/3

直线l：y=2x+3与圆x²+y²=1的位置关系是（）

A.相切B.相交且直线过圆心C.相离D.相交但直线不过圆心

已知等差数列{aₙ}中，a₁=2，a₃=6，则公差d=（）

A.2B.3C.4D.5

若向量a=(2,3)，向量b=(m,4)，且a⊥b，则m=（）

A.-6B.6C.-8/3D.8/3

函数f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π/2B.πC.2πD.4π

从3名男生和2名女生中随机抽取2人参加活动，则抽到1男1女的概率是（）

A.3/5B.2/5C.1/5D.4/5

双曲线x²/4-y²/9=1的渐近线方程是（）

A.y=±3/2xB.y=±2/3xC.y=±9/4xD.y=±4/9x

第二部分填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在题中横线上）计算：log₂8+2⁰=________。已知函数f(x)=x²-4x+3，则f(2)=________。若抛物线y²=2px（p>0）的焦点坐标为(2,0)，则p=________。已知tanθ=2，则sinθ/cosθ+cosθ/sinθ=________。已知等比数列{aₙ}中，a₁=1，公比q=2，则a₅=________。第三部分解答题（本大题共7小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）

解不等式：x²-5x+6<0。

（本小题满分10分）

已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，求角C的大小。

（本小题满分10分）

已知函数f(x)=x³-3x+1，求f(x)在x=2处的导数f’(2)。（本小题满分10分）

已知直线l经过点P(1,2)，且与直线2x-y+3=0平行，求直线l的方程。

（本小题满分15分）

已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₂=5，S₅=35，求：

（1）数列{aₙ}的通项公式；

（2）S₁₀的值。

（本小题满分15分）

已知函数f(x)=2cos²x+sin2x-1，求：

（1）f(x)的最小正周期；

（2）f(x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值。

（本小题满分15分）

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的离心率e=√3/2，且过点(2,1)，求：

（1）椭圆的标准方程；

（2）椭圆的长轴长和短轴长。

2025年湖北省高起专数学（理科）考试参考答案及解析第一部分选择题（每小题5分，共50分）答案：A

解析：解方程x²-3x+2=0得A={1,2}；解方程x²-4x+3=0得B={1,3}，故A∩B={1}。

答案：C

解析：要使函数有意义，需满足x-2≥0且x-3≠0，解得x≥2且x≠3，即定义域为[2,3)∪(3,+∞)。答案：A

解析：f(x)=x³定义域为R，f(-x)=-x³=-f(x)，是奇函数；且导数f’(x)=3x²≥0，在R上单调递增。B是偶函数，C在(-∞,0)和(0,+∞)上递减，D是非奇非偶函数。

答案：B

解析：由sin²α+cos²α=1，α为锐角，cosα>0，故cosα=√(1-(3/5)²)=4/5。

答案：C

解析：圆x²+y²=1的圆心为(0,0)，半径r=1；圆心到直线2x-y+3=0的距离d=|0-0+3|/√(2²+(-1)²)=3/√5>1，故直线与圆相离。

答案：A

解析：等差数列通项公式aₙ=a₁+(n-1)d，代入a₁=2，a₃=2+2d=6，解得d=2。

答案：A

解析：向量垂直则数量积为0，即2×m+3×4=0，解得m=-6。

答案：B

解析：三角函数最小正周期T=2π/|ω|，本题ω=2，故T=2π/2=π。

答案：A

解析：总抽取方法数为C(5,2)=10种，抽到1男1女的方法数为C(3,1)×C(2,1)=6种，故概率为6/10=3/5。

答案：A

解析：双曲线x²/a²-y²/b²=1的渐近线方程为y=±(b/a)x，本题a=2，b=3，故渐近线方程为y=±3/2x。

第二部分填空题（每小题5分，共25分）答案：4

解析：log₂8=log₂2³=3，2⁰=1，故3+1=4。

答案：-1

解析：f(2)=2²-4×2+3=4-8+3=-1。

答案：4

解析：抛物线y²=2px（p>0）的焦点坐标为(p/2,0)，由p/2=2，得p=4。

答案：5/2

解析：sinθ/cosθ+cosθ/sinθ=(sin²θ+cos²θ)/(sinθcosθ)=1/(sinθcosθ)；由tanθ=2，得sinθ=2cosθ，代入sin²θ+cos²θ=1，得5cos²θ=1，cos²θ=1/5，sinθcosθ=2cos²θ=2/5，故原式=1/(2/5)=5/2。

答案：16

解析：等比数列通项公式aₙ=a₁qⁿ⁻¹，代入a₁=1，q=2，n=5，得a₅=1×2⁴=16。

第三部分解答题（共75分）（10分）

解：不等式x²-5x+6<0可因式分解为(x-2)(x-3)<0。

令(x-2)(x-3)=0，得x=2或x=3。

二次函数y=x²-5x+6开口向上，故不等式的解集为2<x<3。

即解集为{x|2<x<3}。

（10分）

解：由余弦定理得cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。

代入a=3，b=4，c=5，得cosC=(9+16-25)/(2×3×4)=0/(24)=0。

因为C是三角形内角，0<C<π，故C=π/2（90°）。

（10分）

解：由导数公式(xⁿ)’=nxⁿ⁻¹，常数的导数为0，得：

f’(x)=3x²-3。

将x=2代入导数公式，得f’(2)=3×2²-3=12-3=9。

（10分）

解：与直线2x-y+3=0平行的直线方程可设为2x-y+m=0（m≠3）。

因为直线l经过点P(1,2)，将点代入方程得2×1-2+m=0，解得m=0。

故直线l的方程为2x-y=0（或2x-y+0=0）。

（15分）

解：（1）设等差数列{aₙ}的首项为a₁，公差为d。

由a₂=5得a₁+d=5①；

由S₅=35得5a₁+(5×4)/2d=35，化简得a₁+2d=7②。

联立①②，解得a₁=3，d=2。

故通项公式aₙ=a₁+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1。

（2）由等差数列前n项和公式Sₙ=na₁+n(n-1)d/2，得：

S₁₀=10×3+10×9×2/2=30+90=120。

（15分）

解：（1）化简f(x)=2cos²x+sin2x-1，由二倍角公式cos2x=2cos²x-1，得：

f(x)=cos2x+sin2x=√2sin(2x+π/4)。

故最小正周期T=2π/2=π。

（2）当x∈[0,π/2]时，2x+π/4∈[π/4,5π/4]。

当2x+π/4=π/2（即x=π/8）时，sin(2x+π/4)取得最大值1，故f(x)最大值为√2×1=√2；

当2x+π/4=5π/4（即x=π/2）时，sin(2x+π/4)取得最小值-√2/2，故f(x)最小值为√2×(-√2/2)=-1。

（15分）

解：（1）椭圆离心率e=c/a=√3/2，故c=(√3/2)a。

由椭圆性质a²=b²+c²，得a²=b²+(