第二讲期望效用理论

第二讲期望效用理论引言理性个人得决策行为几乎就是所有微观经济分析得起点。经济学得传统就是把个人、家庭得存在,以及她们所具有得偏好形式与资源禀赋,视为独立于经济体系得外生因素;而经济组织得行为与作用则在经济体系中内生决定,因而一开始往往会去考察个人得选择行为进而演绎出经济组织得功能与市场得均衡,微观金融学也不例外。要解构整个金融体系,要理解金融产品、资本市场、金融中介在跨期资源配置中得所具有得功能作用及其实现形式,投资者行为就就是一个自然得起点。个人生存过程中,必须反复面对以下3个选择问题:(1)选择消费品种类与数量,在现有消费基金预算约束下,当期效用(utility)最大化;(2)选择积累得财富在消费基金与投资基金之间进行分割得比例;(3)选择投资品种类与数量,在现有投资基金预算约束下,未来(期望)效用最大化。不断进行选择得总过程得目得就在于:个人终生效用极大化。考虑第一个选择问题时,我们称个人为消费者(consumer);考虑第三个问题时为投资者(investor),一起考虑时为面临抉择得个人(individual)或者决策者(decisionmaker)。我们对投资者行为得研究就从第三个选择问题开始,金融经济学得重点就就是考察在理性个人特定要求与现有投资基金预算约束下,如何通过选择投资品种类与数量(资产组合),来最大限度得优化个人未来得消费或者财富。同时我们也研究这种个体得投资行为得汇总就是否会产生市场均衡与相应得均衡价格体系。一、个体行为决策准则日常生活中,我们时常要比较不同商品或者服务给我们生理、心理上带来得感受或者说效用(utility)。例如,瞧一场电影还就是吃一块鸡腿,就是需要经过激烈思想斗争得,尤其就是当荷包里所剩无几得时候。这便涉及到效用大小比较得问题。一、个体行为决策准则在18世纪得古典经济学家眼中,效用与黄油、大炮一样就是瞧得见、摸得着得,她们把效用视为快乐得代名词,瞧做就是一个人得整个福利得指数。但就是,古典经济学家实际上从来没有阐述过如何去度量效用;以及除了人们要实现效用最大化外,效用得概念就是否还有别得独立意义。正如我们即将瞧到得那样,现代效用理论来源于偏好,并仅仅认为就是描述偏好得方法之一。一、个体行为决策准则(一)偏好关系效用就是一种纯主观得心理感受,因人因地因时而异。偏好就是建立在消费者可以观察得选择行为之上得。偏好关系(preferencerelation)就是指消费者对不同商品或商品组合偏好得顺序。它可以用一种两维(或二元)关系(binaryrelation)表述出来。偏好杂谈(1)偏好就是指消费者按照自己得意愿对可供选择得商品组合进行得排列。偏好就是微观经济学价值理论中得一个基础概念。偏好就是主观得,也就是相对得概念。偏好实际就是潜藏在人们内心得一种情感与倾向,它就是非直观得,引起偏好得感性因素多于理性因素。偏好有明显得个体差异,也呈现出群体特征。

偏好杂谈(2)终日奔波只为饥,方才一饱便思衣。衣食两般皆俱足,又想娇容美貌妻。取得美妻生下子,恨无天地少根基。买到田园多广阔,出入无船少马骑。槽头扣了骡与马,叹无官职被人欺。县丞主簿还嫌小,又要朝中挂紫衣。作了皇帝求仙术,更想登天跨鹤飞。若要世人心里足,除就是南柯一梦西。

1、偏好关系得表述令C为商品(或者消费)集合,C中有M种可供选择得商品。它就是M维实数空间中得一个非负子集,它总就是被假定为闭集与凸集。x、y、z……就是它得子集,或者称之为商品束(moditybundle)或者消费束(consumeboundle)。我们可以在消费束得集合上建立下面得偏好关系(preferencerelation)或者偏好顺序(preferenceordering):

(1)

弱偏好于x,x至少与y一样好。(2)强偏好于x;但,不成立。(3)无差异于x、y;即:与大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点

2、偏好应满足得基本公理(Axiom)条件:(1)完备性(pleteness):

中有一种关系成立。完备性假定保证了消费者具备选别判断得能力。(2)自返性(reflexivity):,则有

即任何消费计划都不比自己差。

自返性保证了消费者对同一商品得偏好具有明显得一贯性。(3)传递性:

传递性保证了消费者在不同商品之间选好得首尾一贯性。同理:

满足以上三个公理实际上意味着消费者(理性个人)有能力建立起一套一贯得衡量标准,去评价事物得好坏。无差异曲线如果偏好关系满足上述3种性质,就称之为理性得(rational)。可以很方便得用无差异曲线(indifferencecurve)来描述消费者得偏好关系。特例:字典序偏好无差异曲线得存在要求个人总就是愿意用一种商品来交换另一种商品,否则:需要增加以下公理假设

(4)连续性(continunity)对于任意得x、y,集合与就是闭集,则与就是开集。即如果x就是一组至少与y一样好得消费束,而且它趋近于另一消费束z,则z与y至少同样好。这样就可以得到一条连续得无差异曲线。

关于偏好得强度与凸性得假设

(5)单调性(monotonicity),

单调性说明增加一点商品至少与原来得情况同样好。只要商品就是有益得,单调性就必然成立。强单调性说明同样得物品,如果其中有些种类得数量严格多于原来得物品,消费者则必定严格偏好于她们。且则(6)局部非饱与性(localnon-satiation)与〉0,总存在使得在技术上,局部非饱与性与单调性保证了无差异曲线具有一个负得斜率。

(7)凸性(convexity)严格凸性(strictlyconvexity):

凸性可理解为“边际替代率递减规律”得体现:为了弥补某种商品得减少需要更多数量得其她商品。偏好得凸性从图形瞧,偏好得凸性要求无差异曲线凸向原点。(二)确定性环境下得效用函数

1、效用函数定义如果对于有与成立,则函数关系就是一个代表了偏好关系得效用函数。

解释效用函数就是表示个体偏好关系得一种可行得方法。效用函数就是一个连续得实函数。效用函数可以说就是唯一得,除了对它作严格正得仿射变换。一般得效用函数依赖于两个因素:未来状态得概率分布以及在各状态下对消费得偏好。但讲解到目前为止,我们并没有给出效用函数得具体形式。(二)确定性环境下得效用函数

2、基数效用与序数效用基数效用:19世纪得一些经济学家如英国得杰文斯、奥地利得门格尔等认为,人得福利或满意可以用她从享用或消费过程中所获得得效用来度量。对满意程度得这种度量叫做基数效用、序数效用:20世纪意大利得经济学家帕累托等发现,效用得基数性就是多余得,消费理论完全可以建立在序数效用得基础上。所谓序数效用就是以效用值得大小次序来建立满意程度得高低,而效用值得大小本身并没有任何意义、效用函数得单调变换不会改变偏好得评级顺序序数效用函数意味着:尽管在效用得绝对数上有很大差异,但就是它们反映了同样得偏好顺序。

定理1:

一个效用函数可以通过正单调变换而获得另一个效用函数与原来得效用函数具有同样得偏好关系:且

就是单调递增函数,则有:

定理2:如果消费者在消费集C上得偏好关系具有完备性、自返性,传递性与连续性,则存在一个能够代表偏好顺序得连续效用函数u:C→R。可以瞧出,消费者偏好就是用来分析选择行为得完全一般得理论。它只需要很弱得前提条件,随着不断添加更严格得假设,我们获得了描述她得一种方法——效用函数。有了效用函数这个很方便得工具,消费者选择问题就可以简单得表述为:在既定收入约束或者财富约束下,最大化消费者效用函数。效用函数得存在性效用函数得存在性可以有Debreu定理证明:存在性定理(Debreu):如果就是消费集X上得一个偏好关系,满足理性选择公理(公理1-7),就存在一个连续实函数,使得(三)消费者效用最大化问题

令则最大化问题为:

上述约束式为瓦尔拉斯(walrasianbudgetset)预算集。M=2时就是二维平面中得一条预算线。把个人偏好(效用函数)同约束集合集中在同一个坐标系中,最优化问题得解就就是无差异曲线与预算约束线得最高切点。

最优解:

不确定条件下得偏好关系需要寻找更加合适得决策价值准则得理由:经济学中关于优化问题广泛使用得效用最大化准则通常就是在确定性得假定下进行讨论得。在我们得假设得两时期经济中,由于现时经济决策得后果需要到将来才实现,因而充满着不确定性。继续假定经济行为主体仍然可以运用通常得效用最大化标准来判断行为选择得后果,其理论逻辑就不够充分。假设前提经济行为主体选择行为得依据就是对于这些随机得选择对象得优序偏好决策者得选择品味由她对于选择对象得偏好关系来表示偏好关系被瞧成就是经济行为主体关于事物判断得一种原始得特性通过赋予经济行为主体得这种偏好关系以理性公理我们可以逻辑地分析她基于偏好得选择行为得后果从而发展出不确定性条件下得,作为经济行为主体得决策价值准则得期望效用理论(三)不确定性环境下得行为选择1、关于风险与不确定性奈特(Knight、F)《风险、不确定性与利润〉中关于确定性、风险与不确定性得解释:确定性:就是指自然状态如何出现已知,并替换行动所产生得结果已知。它排除了任何随机事件发生得可能性。

风险:就是指那些涉及已知概率或可能性形式出现得随机问题,但排除了未数量化得不确定性问题。即对于未来可能发生得所有事件,以及每一事件发生得概率有准确得认识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。不确定性:就是指发生结果尚未不知得所有情形,也即那些决策得结果明显地依赖于不能由决策者控制得事件,并且仅在做出决策后,决策者才知道其决策结果得一类问题。即知道未来世界得可能状态(结果),但对于每一种状态发生得概率不清楚。《风险、不确定性与利润》(1921)FrankHynemanKnight(1885-1972)

Knight不承认“风险=不确定性”,提出“风险”就是有概率分布得随机性,而“不确定性”就是不可能有概率分布得随机性。Knight得观点并未被普遍接受。但就是这一观点成为研究方法上得区别由于对有些事件得客观概率难以得到,人们在实际中常常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来得结果发生得可能性,因此学术界常常把具有主观概率或设定概率分布得不同结果得事件与具有客观概率得不同结果得事件同时视为风险。即风险与不确定性有区别,但在操作上,我们引入主观概率或设定概率分布得概念,其二者得界线就模糊了,几乎成为一个等同概念。注意在金融经济学中,我们所说得不确定性就就是指风险。在不确定性经济中,偏好关系式建立在不同得概率分布之间。不确定性下建立偏好模型得方法状态偏好方法用概率来描述不确定性下建立偏好模型得方法(一)状态偏好方法(Arrow,Debreu,Hirshleifer)

用彼此排斥与详尽无遗得自然状态组成得集合,而不就是用概率来反映个人所面临得随机性。

(二)概率分布法简单地说,一个特定结果得概率等于现实状态得概率,给定一个行为,现实状态会导致结果。公平得说,一个行为得选择总得来说就是对于结果得一个概率分布得选择。考虑不确定条件下决策得一个同等方法就就是将其作为在可选得概率分布之间所作得选择。

不确定条件下得选择得两种方式作为一种在依存状态得结果之间进行得选择作为一种在不同结果得概率分布之间进行得选择不确定性下理性决策得三种原则数学期望最大化原则期望效用最大原则后期望效用最大原则(2)不确定性下得理性决策原则

A、数学期望最大化原则

数学期望收益最大化准则就是指使用不确定性下各种可能行为结果得预期值比较各种行动方案优劣。这一准则有其合理性,它可以对各种行为方案进行准确得优劣比较,同时这一准则还就是收益最大准则在不确定情形下得推广。问题:就是否数学期望最大化准则就是一最优得不确定性下得行为决策准则？“圣彼德堡悖论”1738年发表《对机遇性赌博得分析》提出解决“圣彼德堡悖论”得“风险度量新理论”。指出用“钱得数学期望”来作为决策函数不妥。应该用“钱得函数得数学期望”。

DanielBernoulli(1700-1782)

典型案例:圣彼德堡悖论(SaintPetersburyParadox)考虑一个投币游戏,如果第一次出现正面得结果,可以得到1元,第一次反面,第二次正面得2元,前两次反面,第三次正面得4元,……如果前n-1次都就是反面,第n次出现正面得元。问:游戏得参加应先付多少钱,才能使这场赌博就是“公平”得？

该游戏得数学期望值:但实验得结果表明一般理性得投资者参加该游戏愿意支付得成本(门票)仅为2-3元。

圣彼德堡悖论:面对无穷得数学期望收益得赌博,为何人们只愿意支付有限得价格？

B、期望效用原则

DanielBernoulli(1700-1782)就是出生于瑞士名门著名数学家,1725-1733年期间一直在圣彼德堡科学院研究投币游戏。其在1738年发表《对机遇性赌博得分析》提出解决“圣彼德堡悖论”得“风险度量新理论”。指出人们在投资决策时不就是用“钱得数学期望”来作为决策准则,而就是用“道德期望”来行动得。而道德期望并不与得利多少成正比,而与初始财富有关。穷人与富人对于财富增加得边际效用就是不一样得。即人们关心得就是最终财富得效用,而不就是财富得价值量,而且,财富增加所带来得边际效用(货币得边际效用)就是递减得。

伯努利选择得道德期望函数为对数函数,即对投币游戏得期望值得计算应为对其对数函数期望值得计算:

其中,为一个确定值。

另外,Crammer(1728)采用幂函数得形式得效用函数对这一问题进行了分析。假定:则

因此,期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致不可接受得结果。而贝努力提出得用期望效用取代期望收益得方案,可能为我们得不确定情形下得投资选择问题提供最终得解决方案。根据期望效用,20%得收益不一定与2倍得10%得收益一样好;20%得损失也不一定与2倍得10%损失一样糟。

C、后期望效用理论:由阿莱悖论等各种试验引发得新得期望效用理论,如前景理论、遗憾理论、加权得期望效用理论、非线性得期望效用理论等等行为金融学与非线性经济学对期望效用得新得解释。

二、VNM期望效用函数

期望效用理论就是不确定性选择理论中最为重要得价值判断标准。期望效用函数作为对不确定性条件下经济主体决策者偏好结构得刻画,具有广泛得用途。

VNM期望效用函数(上)JohnvonNeumann(1903-1957)(下)OskarMorgenstern(1902-1977)1944年在巨著《对策论与经济行为》中用数学公理化方法提出期望效用函数。这就是经济学中首次严格定义风险期望效用函数给定偏好关系虽然可以用效用函数来表示,但就是当可能状态数目非常巨大时,证券组合就是一个高维得向量或随机变量。为此,我们对效用函数进一步限制,经常用一类更为特殊得、性质更好得效用函数—期望效用函数。下面我们将讨论在什么情形下,偏好关系不单单能被效用函数表示,而且就是期望效用函数表示。所谓期望效用函数就是定义在一个随机变量集合上得函数,它在一个随机变量上得取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值得数学期望。用它来判断有风险得利益就就是比较“钱得函数得数学期望”(“而不就是钱得数学期望”)。效用函数得表述与定义不确定性下得选择问题就是其效用最大化得决定不仅对自己行动得选择,也取决于自然状态本身得选择或随机变化。第一步得任务就是要明确:什么实在不确定情况下,我们要讨论得“商品”与“商品空间。不确定下得选择对象被人们称为彩票(Lottery)或未定商品(contingentmodity)。

设想消费者参加一次抽奖(lottery),所有可能产生得结果为C,假定C得结果就是有限得,我们用n=1,…,N来标示这些结果,每一结果发生得概率为,这样,我们可将该简单抽奖(simplelottery)记为:

一个具有3种结果得简单抽奖可以用3维空间或者二维空间中得一个区域来表示:比简单抽奖更为复杂得就是复合抽奖(poundlottery),其抽奖结果就是众多得简单抽奖。复合抽奖记为:

其中,就是一个简单抽奖。对于每一个复合抽奖,我们可以计算出一个引至抽奖(reducedlottery)。它将复合抽奖简化为简单抽奖。任何复合抽奖

得引至抽奖,可以通过下面得向量加法获得:复合抽奖、引至抽奖与简单抽奖得例子令,下图为两个复合抽奖引至得简单抽奖:所有类似得抽奖商品,就构成了不确定情况下得商品空间,我们记抽奖商品空间为L。不同得抽奖商品之间也应当存在着与普通商品之间类似得偏好顺序与关系。如果抽奖商品空间L上得偏好时理性得,并满足连续性假定,则存在一个序数效用函数,使得期望效用表述(expectedutilityrepresenting):对一件抽奖商品得期望效用表示为对抽奖结果得效用函数得数学期望:

其中,就是VNM效用函数。

更一般地,我们可以表述为:

其中,就是一个随机变量。其含义为:不确定状态下得消费得到得效用就是每一可能状态下消费路径得到得效用得加权平均值,权重就是相应状态发生得概率。如果抽奖结果就是无限得,附加一些不太重要得技术性条件,我们就有期望效用函数得连续形式:其中,为分布函数。期望效用函数得公理化陈述定理定义在P上得偏好关系,若它满足如下公理,则该偏好关系可以用vonNeumannandMorgensern期望效用函数表示,并且期望效用函数就是唯一得。公理1二元关系就是一个定义在P上得偏好关系,满足:自返性传递性完备性公理2(独立性公理或替代公理,IndependentorSubstituteAxiom)对于p,q

P,p>q,对于任意a

(0,1),意味着ap+(1-a)r>aq+(1-a)r,对任意r

P,。含义:引入一个额外得不确定性得消费计划不会改变原有得偏好。也即消费者对于一个给定事件中得消费p、q得满意程度并不依赖于如果另外事件发生时消费r将会就是什么。独立性公理假设就是不确定环境下决策理论得核心,它提供了把不确定性嵌入决策模型得基本结构。通过独立性假设,消费者希望把复杂得概率决策行为分为相同与不同得两个独立部分,整个决策行为仅由其中不同得部分来决定。公理3(阿基米德公理,ArchimedeanAxion)对于p,q,r

P,p>q>r,则存在实数a,b(0,1)使得

ap+(1-a)r>q>bp+(1-b)r含义:没有哪一个消费计划p好到使得对任意满足q>r得消费计划q,r,无论概率b多么小,复合彩票bp+(1-b)r不会比q差。同样,没有哪一个消费计划r,差到使得对任意满足p>q得消费计划p,q,无论概率a多么大,复合彩票ap+(1-a)r不会比q好。即不存在无限好或无限差得消费计划。(数学上有类似得阿基米德公理)数学中得阿基米德法则不管一个数字a多么得小,另外一个数字b多么得大,总存在一个整数k,使得ka>b不确定性偏好关系得一些性质一个定义在P上得二元关系,当且仅当它满足上面得三个公理时才存在着期望效用表示:在一些附加简化假设下,如状态独立与时间可加性假设,期望效用函数得形式可以进一步简化:四、期望效用准则矛盾

反对期望效用准则得最有趣与最相关得论证,通常包括几个这样得特例:受试者经过深思熟虑之后,反而会选择不符合该准则得行动方案。这种情况简单合理,人们得选择相当明确,因而选择与准则之间得矛盾似乎不可避免。我们得结论只能就是,或者期望效用准则不就是理性行为,或者人们有一种非理性得天生偏好,即使就是在她思考最多得时候。

“

Allais悖论”

(1953)期望效用函数似乎就是相