工学行列式按行列展开

4/4/20264:44AM线性代数讲义设计制作王新心4/4/20264:44AM（一）余子式和代数余子式§1.6行列式按行（列）展开

（二）行列式按行（列）展开4/4/20264:44AM一般而言，第一章行列式低阶行列式比高阶行列式的计算要简单，所以有时会考虑用较低阶行列式来表示较高阶行列式。

【定义】在阶行列式中，将元留下的所在的第行和第列的元素划去后，阶行列式称为元的余子式，记作称为元的代数余子式。（一）余子式和代数余子式4/4/20264:44AM例如四阶行列式第一章行列式元的余子式和代数余子式分别为4/4/20264:44AM第一章行列式

【引理】一个阶行列式，的所有元素除元外都为0，那么这个行列如果其中第行即等于与它的代数余子式的乘积，证先证的情形，此时

（二）行列式按行（列）展开4/4/20264:44AM第一章行列式有这是上节例4中当时的特殊情况，再证一般情形又从而此时4/4/20264:44AM第一章行列式为了利用上面结论，调换：对的行列作如下行、…、第1行对调，这样数就调成元，将的第行依次与第行、第调换的次数为次；再将第列依次与第这样数就调列、第列、…、第1列对调，成元，调换次数为次。总之，经次调换，将数调成了元，所得的行列式4/4/20264:44AM第一章行列式有第1行其余元素都为0，利用前面的结果，于是而中元的余子式就是中元的余子式。由于的元为，证毕4/4/20264:44AM第一章行列式

【定理】行列式等于它的任一行（列）的各元素与之对应的代数余子式乘积之和，即证4/4/20264:44AM第一章行列式4/4/20264:44AM第一章行列式根据引理得类似地，若按列证明得此定理称为行列式按行（列）展开法则。利用这一法则并结合行列式的性质，行列式的计算。可以简化4/4/20264:44AM第一章行列式

解

例1计算上节中行列式4/4/20264:44AM第一章行列式4/4/20264:44AM第一章行列式

证

例2证明范德蒙德(Vandermonde)行列式利用数学归纳法4/4/20264:44AM第一章行列式（1）式成立。所以当时，成立，要证（1）式对阶范德蒙德行列式成立假设（1）式对于阶范德蒙德行列式为此设法将降阶，从第行开始，后行减去前行的倍，有4/4/20264:44AM第一章行列式按第1列展开，并将每列的公因子提出，有4/4/20264:44AM第一章行列式按归纳法假设，上式右端的行列式是阶范德蒙德行列式，它等于所有因子的乘积其中，故证毕4/4/20264:44AM第一章行列式故

例如行列式是一个范德蒙德行列式4/4/20264:44AM第一章行列式

【推论】行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证将行列式按第行展开4/4/20264:44AM第一章行列式在上式中，可得将换成，4/4/20264:44AM第一章行列式上式右端行列式中有两行对应元素第行第行当时，4/4/20264:44AM第一章行列式相同，故行列式等于零，证毕即得上述证法如按列进行，即可得4/4/20264:44AM第一章行列式综合定理3及推论，重要性质：或有关于代数余子式的当当当当其中当当4/4/20264:44AM第一章行列式按照上述推论中所用的方法，在行列式按第行展开式中，用依次代替，可得4/4/20264:44AM第一章行列式事实上，将式左端行列式按第行展开，它的元的代数余子式等于中元4/4/20264:44AM第一章行列式的代数余子式，类似地，也可知式成立。用代替中的第列，可得4/4/20264:44AM第一章行列式

例3设求的元的余子式和代数余子式依次记作和，及4/4/20264:44AM第一章行列式等于即用代替的第1行所得的行列式，

解由式可知，4/4/20264:44AM第一章行列式由式可知4/4/20264:44AM内容小结第一章行列式

1、行列式按行（列）展开4/4/20264:44AM第一章行列式

2、代数余子式的性质或当当当当其中当当4/4/20264:44AM第一章行列式

1、设数余子式。解求的值，其中为元素的代备用题4/4/20264:44AM第一章行列式

2、设阶行列式求