广东省惠州市一中教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

广东省惠州市一中教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题考试时间：120分钟满分：120分注意事项：1．全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟。2．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上。3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。4．非选择题必须用黑色字迹签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史。下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A．（图案示意：非中心对称）B．（图案示意：非中心对称）C．（图案示意：中心对称）D．（图案示意：非中心对称）2．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．ax²+bx+c=0B．x²+3=0C．1/x²+1/x=1D．x²+2=x(x-1)3．二次函数y=-(x-3)²-2的图象的顶点坐标是（）A．(-3，2)B．(-3,-2)C．(3,-2)D．(3，2)4．已知点P在半径为r的⊙O内，且OP=4，则r的值可能为（）A．2B．3C．4D．55．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步”，意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（）A．x×(60+x)=864B．x×(60-2x)=864C．x×(30-x)=864D．x×(60-x)=8646．正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（）A．60°B．45°C．90°D．180°7．将抛物线y=x²-2x+3先沿水平方向向左平移1个单位，再沿竖直方向向下平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为（）A．y=(x-2)²+3B．y=(x-2)²+5C．y=x²+4D．y=x²-18．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在BA的延长线上，若△ADE是等边三角形，则∠BOD的度数为（）A．60°B．100°C．120°D．130°9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45°。若∠BAE=α，则∠EFC一定等于（）A．2αB．90°-2αC．45°-αD．90°-α10．在数学实践活动课中，某小组的四位同学对二次函数y=ax²+bx+1（a，b为常数，且a≠0）的图象及其性质进行研究，分别得到如下结论：小赵：该函数图象开口向上；小钱：该函数的图象经过点(3,1)；小孙：该函数的图象经过点(2,-1)；小李：该函数的图象的对称轴为直线x=1若这四个结论中只有一个是错误的，则得到错误结论的同学是（）A．小赵B．小钱C．小孙D．小李二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。只要求写出最后结果）11．已知点P(x,-2)和点Q(3,y)关于原点对称，则x+y=________。12．已知一元二次方程x²+kx+6=0有一个根为-1，则方程的另一根为________。13．如图，在△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若AC=3，BC=4，则⊙O的半径为________。14．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器________台。15．抛物线C₁:y=x²-2x（0≤x≤2）交x轴于O，A两点；将C₁绕点A旋转180°得到抛物线C₂，交x轴于A₁；将C₂绕点A₁旋转180°得到抛物线C₃，交x轴于A₂，……，如此进行下去，则抛物线C₁₀的解析式是________。三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）16．已知抛物线y=-1/4x²+x+2；（1）求抛物线的开口方向、对称轴；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？17．综合与实践：测量如图所示的圆口水杯的杯口直径。工具：一张宽度为2cm的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺。小明的测量方法：将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A₀，B₀分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为C₀，D₀，利用刻度尺测得B₀D₀的长。小亮的测量方法：将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为8cm。（1）小明认为，他所测量的B₀D₀的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：________；（2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径。18．若关于x的一元二次方程mx²+2(m+1)x+m-1=0有两个不相等实数根。（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x₁、x₂，且x₁²+x₂²=8，求m的值。四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19．综合与实践【发现问题】当运动中的赛车撞到物体时，赛车所受的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量，而赛车的撞击影响(I)与赛车行驶速度v(km/min)存在某种函数关系。以下是某型号赛车的行驶速度与撞击影响的试验数据：v(km/min)01234I0281832（1）请根据试验数据，猜想撞击影响I与行驶速度v之间的函数关系式（不要求证明）；（2）当赛车的行驶速度为5km/min时，求其撞击影响I的值；（3）若赛车的撞击影响不超过45，求赛车行驶速度的取值范围。20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，连接AD、CE。（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求CE的长度；（3）求四边形ADCE的面积。21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上的一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，交直线BC于点Q，当△MQB为等腰三角形时，求点M的坐标。五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题13分，共26分）22．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且弧AC=弧CD，连接AC、AD、BD，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E。（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB=10，AD=6，求CE的长度；（3）在（2）的条件下，连接OC，交AD于点F，求△OAF的面积。23．已知二次函数y=x²-2mx+m²-1（m为常数）。（1）求证：无论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为4，求m的值；（3）在（2）的条件下，将该二次函数的图象沿y轴向上平移n（n＞0）个单位，使平移后的图象与x轴只有一个交点，求n的值及平移后函数的解析式。参考答案及解析（附页）（说明：解析仅提供解题思路，详细步骤可根据教学需求补充）一、选择题（每小题3分，共30分）1．C2．B3．C4．D5．D6．C7．D8．C9．A10．B二、填空题（每小题3分，共15分）11．-112．-613．114．415．y=(x-19)²-1三、解答题（一）（共21分）16．（1）开口向下，对称轴为直线x=2；（2）x＜2时，y随x的增大而增大。17．（1）直径所对的圆周角是直角；（2）杯口直径为10cm。18．（1）m＞-1/3且m≠0；（2）m=3。四、解答题（二）（共27分）19．（1）I=2v²；（2）50；（3）0≤v≤√(45/2)（或0≤v≤(3√10)/2）。20．（1）证明略；