高中数学联赛考前点睛模拟卷

高中数学联赛考前点睛模拟卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三/理科班

高中数学联赛考前点睛模拟卷

一、选择题

1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.若复数z满足z^2+2z+4=0，则|z|的值为

A.2

B.√2

C.1

D.√3

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=2a_{n-1}+1（n≥2），则S_5的值为

A.31

B.63

C.127

D.255

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2-c^2=ab，则cosC的值为

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/5

5.已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|，则f(x)的最小值为

A.0

B.1

C.2

D.3

6.若函数g(x)=sin(x+α)在x=π/4处取得最大值，则α的值为

A.π/4

B.3π/4

C.π/2

D.3π/2

7.已知圆O的半径为1，圆心O在直线l:y=x上运动，则圆O与x轴相切时，圆心O的坐标为

A.(1,1)

B.(0,0)

C.(-1,-1)

D.(1,-1)

8.在等差数列{a_n}中，a_1=1，公差d=2，则a_5的值为

A.9

B.11

C.13

D.15

9.已知直线l1:ax+by+c=0与直线l2:2x-y+1=0互相平行，则a的值为

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

10.若函数h(x)=x^2-2x+3在区间[1,3]上的最小值为2，则k的值为

A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题

1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)的对称轴方程为

2.若复数z=1+i，则z^4的值为

3.在等比数列{a_n}中，a_1=2，公比q=3，则a_4的值为

4.已知直线l1:y=kx+1与直线l2:x+y=4相交于点P，且点P的横坐标为2，则k的值为

5.若三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则三角形ABC的面积为

6.已知函数f(x)=sin(x+π/6)，则f(x)的周期为

7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为

8.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=n(n+1)，则S_5的值为

9.若函数g(x)=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值为6，则k的值为

10.在等差数列{a_n}中，a_1=1，a_5=11，则公差d的值为

三、多选题

1.下列函数中，在区间[0,π]上单调递增的是

A.f(x)=sin(x)

B.f(x)=cos(x)

C.f(x)=tan(x)

D.f(x)=x^2

2.下列复数中，属于纯虚数的是

A.2+3i

B.4i

C.-5i

D.1-i

3.下列数列中，是等差数列的是

A.a_n=2n+1

B.a_n=3^n

C.a_n=n^2

D.a_n=5n-2

4.下列直线中，平行于直线l:2x+y-1=0的是

A.l1:x-2y+3=0

B.l2:4x+2y-2=0

C.l3:2x+y+1=0

D.l4:x+2y-4=0

5.下列三角形中，是直角三角形的是

A.三角形ABC，其中a=3，b=4，c=5

B.三角形ABC，其中a=5，b=12，c=13

C.三角形ABC，其中a=7，b=24，c=25

D.三角形ABC，其中a=8，b=15，c=17

四、判断题

1.函数f(x)=x^3-3x在x=0处取得极值

2.若复数z满足z^2=z，则z的值为1

3.等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=8，则公差d=2

4.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则角A为直角

5.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上的最小值为0

6.若函数g(x)=sin(x+α)在x=0处取得最大值，则α=kπ+π/2（k为整数）

7.圆O的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=1，则圆心O到直线l:x+y=0的距离为√2/2

8.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，q=2，则a_4=8

9.若直线l1:ax+by+c=0与直线l2:x+y=1相交于点P(1,0)，则a+b=1

10.函数f(x)=x^2-4x+4在区间[1,4]上的最大值为4

五、问答题

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=S_n+1（n≥2），求证{a_n}是等比数列

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求cosB的值

3.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则f'(1)=0，即3-a=0，解得a=3。

2.C

解析：由z^2+2z+4=0得(z+1)^2=-3，则z+1=√3i或z+1=-√3i，解得z=-1+√3i或z=-1-√3i，故|z|=√((-1)^2+(√3)^2)=2。

3.C

解析：由a_n=2a_{n-1}+1得a_n+1=2(a_{n-1}+1)，故{a_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，即a_n+1=2^n，则a_n=2^n-1，故S_5=(2^1-1)+(2^2-1)+(2^3-1)+(2^4-1)+(2^5-1)=2^1+2^2+2^3+2^4+2^5-5=31。

4.A

解析：由a^2+b^2-c^2=ab得2a^2+2b^2-2c^2=2ab，即(a-b)^2+(a+b)^2-2c^2=2ab，整理得(a-b)^2+(a+b)^2-2ab=c^2，由余弦定理得cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1/2。

5.C

解析：函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像是V形，顶点为(1,0)和(-1,0)，故f(x)的最小值为0+2=2。

6.C

解析：函数g(x)=sin(x+α)在x=π/4处取得最大值，即x+α=kπ+π/2，解得α=kπ+π/4-π/4=kπ+π/2（k为整数）。

7.A

解析：圆O与x轴相切，则圆心O到x轴的距离等于半径1，又圆心O在直线l:y=x上运动，故圆心O的坐标为(1,1)或(-1,-1)，代入圆的方程检验，(1-1)^2+(1-2)^2=1，故圆心O的坐标为(1,1)。

8.D

解析：由等差数列{a_n}中，a_1=1，公差d=2，得a_5=a_1+4d=1+4×2=9。

9.B

解析：直线l1:ax+by+c=0与直线l2:2x-y+1=0互相平行，则斜率相等，即-a/b=-2/1，解得a=2b，又直线l2过点(1,0)，代入l1得2×1+b×0+c=0，即c=-2，故a=2b，a=2。

10.B

解析：函数h(x)=x^2-2x+3在区间[1,3]上是开口向上的抛物线，对称轴为x=1，故在区间[1,3]上单调递增，最小值为h(1)=1^2-2×1+3=2，故k=2。

二、填空题

1.x=2

解析：函数f(x)=x^2-4x+3是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=-b/(2a)=-(-4)/(2×1)=2。

2.-4

解析：z=1+i，则z^4=(1+i)^4=[(1+i)^2]^2=(1+2i+i^2)^2=(2i)^2=-4。

3.18

解析：由等比数列{a_n}中，a_1=2，公比q=3，得a_4=a_1×q^3=2×3^3=54。

4.-1

解析：直线l1:y=kx+1与直线l2:x+y=4相交于点P，且点P的横坐标为2，则点P的纵坐标为2，代入l1得2=2k+1，解得k=1/2，代入l2得2+1/2=4，解得k=-1。

5.6

解析：由三角形ABC的三边长分别为3，4，5，可知三角形ABC为直角三角形，直角边为3和4，斜边为5，故三角形ABC的面积S=1/2×3×4=6。

6.2π

解析：函数f(x)=sin(x+π/6)的周期为2π。

7.4/5

解析：由余弦定理得cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4^2+5^2-3^2)/(2×4×5)=16+25-9/40=32/40=4/5。

8.55

解析：由a_n=n(n+1)得S_5=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6=55。

9.6

解析：函数g(x)=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的导数为g'(x)=3x^2-3，令g'(x)=0得x=-1或x=1，故函数g(x)在x=-1和x=1处取得极值，计算g(-2)=-2^3-3(-2)+2=-8+6+2=0，g(-1)=(-1)^3-3(-1)+2=-1+3+2=4，g(1)=1^3-3(1)+2=1-3+2=0，g(2)=2^3-3(2)+2=8-6+2=4，故函数g(x)在区间[-2,2]上的最大值为max{0,4,0,4}=4。

10.2

解析：由等差数列{a_n}中，a_1=1，a_5=11，得a_5=a_1+4d，即11=1+4d，解得d=2。

三、多选题

1.D

解析：函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上是单调递增的；函数f(x)=cos(x)在区间[0,π]上是单调递减的；函数f(x)=tan(x)在区间[0,π]上不是单调的；函数f(x)=x^2在区间[0,π]上是单调递增的。

2.B,C

解析：纯虚数是指实部为0且虚部不为0的复数，故4i是纯虚数；-5i是纯虚数；2+3i不是纯虚数；1-i不是纯虚数。

3.A,D

解析：等差数列的定义是相邻两项之差为常数，故a_n=2n+1是等差数列；a_n=3^n不是等差数列；a_n=n^2不是等差数列；a_n=5n-2是等差数列。

4.B,C

解析：直线l1:x-2y+3=0的斜率为1/2，与直线l:2x+y-1=0的斜率-2不相等，故不平行；直线l2:4x+2y-2=0的斜率为-2，与直线l:2x+y-1=0的斜率-2相等，故平行；直线l3:2x+y+1=0的斜率为-2，与直线l:2x+y-1=0的斜率-2相等，故平行；直线l4:x+2y-4=0的斜率为-1/2，与直线l:2x+y-1=0的斜率-2不相等，故不平行。

5.A,B,C,D

解析：由勾股定理可知，三角形ABC是直角三角形。

四、判断题

1.错误

解析：函数f(x)=x^3-3x在x=0处取得极值，则f'(0)=0，即3-3=0，解得a=3，但f'(x)=3x^2-3，f''(x)=6x，f''(0)=0，故x=0不是拐点，而是极值点。

2.错误

解析：由z^2=z得z(z-1)=0，解得z=0或z=1。

3.正确

解析：由等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=8，得a_5=a_1+4d，即8=2+4d，解得d=2。

4.正确

解析：由余弦定理得cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，若a^2=b^2+c^2，则cosA=(b^2+c^2-(b^2+c^2))/(2bc)=0，故角A为直角。

5.正确

解析：函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上的图像是V形，顶点为(0,0)，故f(x)的最小值为0。

6.正确

解析：若函数g(x)=sin(x+α)在x=0处取得最大值，即sin(α)=1，则α=kπ+π/2（k为整数）。

7.正确

解析：圆O的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=1，圆心O的坐标为(1,2)，半径为1，直线l:x+y=0的斜率为-1，故圆心O到直线l的距离为|1+2|/√(1^2+1^2)=3/√2=√6/2。

8.正确

解析：由等比数列{a_n}中，a_1=1，q=2，得a_4=a_1×q^3=1×2^3=8。

9.正确

解析：直线l1:ax+by+c=0与直线l2:x+y=1相交于点P(1,0)，则1a+0b+c=0，即a+c=0，又直线l2过点(0,1)，代入l1得0a+1b+c=1，即b+c=1，故a+b=1。

10.错误

解析：函数h(x)=x^2-4x+4在区间[1,4]上是开口向上的抛物线，对称轴为x=2，故在区间[1,2]