高中数学竞赛基础星级达标卷

高中数学竞赛基础星级达标卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高一年级

高中数学竞赛基础星级达标卷

一、选择题

1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是

A.1

B.3

C.2

D.0

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合为

A.{1,1/2}

B.{1}

C.{1/2}

D.{0,1/2}

3.不等式3x-1>x+2的解集是

A.(-∞,-3)

B.(-3,+∞)

C.(-∞,3)

D.(3,+∞)

4.已知实数a≠0，b≠0，则下列不等式中一定成立的是

A.a^2+b^2≥2ab

B.ab+1≥a+b

C.(a+b)^2≥4ab

D.a^3+b^3≥a^2b+ab^2

5.函数f(x)=sin(x+π/3)的图像关于哪条直线对称

A.x=π/6

B.x=π/3

C.x=π/2

D.x=2π/3

6.已知点A(1,2)，B(3,0)，则直线AB的斜率为

A.-1

B.1

C.-2

D.2

7.不等式|2x-1|<3的解集是

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,4)

D.(-4,1)

8.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是

A.2

B.0

C.-2

D.4

9.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则向量a+b的坐标为

A.(4,1)

B.(2,3)

C.(1,4)

D.(3,2)

10.函数f(x)=e^x在区间(0,1)上的平均值是

A.e-1

B.e+1

C.1/e

D.1

11.已知直线l1:ax+by+c=0与l2:mx+ny+p=0平行，则

A.am=bn

B.an=bm

C.(a/m)=(b/n)

D.(a/m)=-(b/n)

12.不等式x^2-4x+3>0的解集是

A.(-∞,1)∪(3,+∞)

B.(-1,3)

C.[1,3]

D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

13.函数f(x)=cos(2x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

14.已知等差数列{an}中，a1=1，d=2，则a10的值为

A.19

B.20

C.21

D.18

15.不等式log2(x-1)>1的解集是

A.(3,+∞)

B.(1,3)

C.(0,1)

D.(-∞,1)

二、填空题

1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(-1)=1，f(0)=-1，则a+b+c的值为

2.不等式|3x-2|≥5的解集是

3.函数f(x)=tan(x-π/4)的图像关于哪条直线对称

4.已知向量a=(2,-1)，b=(-1,3)，则向量a·b的值为

5.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值是

6.不等式x^2-5x+6≥0的解集是

7.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的积分值是

8.已知直线l1:x+y=1与l2:ax-by=1垂直，则a·b的值为

9.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的平均值是

10.不等式|2x+1|<4的解集是

三、多选题

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=e^x

C.f(x)=log2(x)

D.f(x)=sin(x)

2.已知集合A={x|x^2-4x+3=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合为

A.{1,1/2}

B.{1}

C.{1/2}

D.{0,1/2}

3.下列不等式中，一定成立的是

A.a^2+b^2≥2ab

B.ab+1≥a+b

C.(a+b)^2≥4ab

D.a^3+b^3≥a^2b+ab^2

4.函数f(x)=sin(x+π/3)的图像关于哪条直线对称

A.x=π/6

B.x=π/3

C.x=π/2

D.x=2π/3

5.已知点A(1,2)，B(3,0)，则直线AB的斜率为

A.-1

B.1

C.-2

D.2

6.不等式|2x-1|<3的解集是

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,4)

D.(-4,1)

7.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是

A.2

B.0

C.-2

D.4

8.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则向量a+b的坐标为

A.(4,1)

B.(2,3)

C.(1,4)

D.(3,2)

9.函数f(x)=e^x在区间(0,1)上的平均值是

A.e-1

B.e+1

C.1/e

D.1

10.已知直线l1:ax+by+c=0与l2:mx+ny+p=0平行，则

A.am=bn

B.an=bm

C.(a/m)=(b/n)

D.(a/m)=-(b/n)

四、判断题

1.函数f(x)=|x|在定义域内处处可导

2.若a>b，则a^2>b^2

3.集合A={x|x^2=1}与集合B={1,-1}相等

4.不等式3x-1<x+2的解集是(-∞,3)

5.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π

6.向量a=(1,0)与向量b=(0,1)互相垂直

7.不等式|2x-1|>3的解集是(-∞,-1)∪(4,+∞)

8.函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的平均值是0

9.已知直线l1:x+y=1与l2:x-y=1垂直

10.不等式log2(x+1)>0的解集是(1,+∞)

五、问答题

1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(-1)=1，f(0)=-1，求a，b，c的值

2.解不等式组：{|x-1|<2,x^2-3x+2>0}

3.已知向量a=(3,4)，b=(-1,2)，求向量a与向量b的夹角余弦值

试卷答案

一、选择题

1.B

解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段表示为：

f(x)=

-(x-1)-(x+2)=-2x-1,x<-2

-(x-1)+(x+2)=3,-2≤x≤1

-(x-1)+(x+2)=2x+1,x>1

在x=-2时，f(x)=3；在x=1时，f(x)=3；在x=-1/2时，f(x)=2.5。因此最小值为3。

2.A

解析：集合A={1,2}。若B⊆A，则B的可能情况为：

B=∅

B={1}

B={2}

B={1,2}

若B=∅，则ax=1无解，a可以取任意不为0的值。

若B={1}，则a=1。

若B={2}，则a=1/2。

若B={1,2}，则a=1且a=1/2，矛盾，不可能。

综上，a的取值集合为{1,1/2}。

3.B

解析：移项得3x-x>2+1，即2x>3，解得x>3/2。

4.A

解析：由(a-b)^2≥0得a^2-2ab+b^2≥0，即a^2+b^2≥2ab。

5.B

解析：函数f(x)=sin(x+π/3)的最小正周期与sin(x)相同，为2π。其图像关于直线x=kπ+π/3(k∈Z)对称。

6.A

解析：直线AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。

7.D

解析：由|2x-1|<3得-3<2x-1<3，解得-2<2x<4，即-1<x<2。

8.C

解析：f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-2，f(-1)=1，f(0)=0，f(1)=-1，f(2)=2。比较函数值，最小为-2，最大为2。

9.A

解析：向量a+b=(1+3,2+(-1))=(4,1)。

10.A

解析：f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值为(1/e^1-1/e^0)/(1-0)=(1/e-1)/1=1/e-1。

11.D

解析：直线l1:ax+by+c=0的斜率为-k1=-a/b，直线l2:mx+ny+p=0的斜率为-k2=-m/n。l1与l2平行，则-k1=-k2，即a/b=m/n，即(a/m)=-(b/n)。

12.A

解析：由x^2-4x+3>0得(x-1)(x-3)>0。解得x<1或x>3。

13.A

解析：函数f(x)=cos(2x)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

14.C

解析：等差数列{an}中，a1=1，d=2。an=a1+(n-1)d=1+(10-1)*2=1+18=19。

15.A

解析：由log2(x-1)>1得x-1>2^1，即x-1>2，解得x>3。

二、填空题

1.1

解析：由f(1)=a(1)^2+b(1)+c=a+b+c=3，f(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c=1，f(0)=a(0)^2+b(0)+c=c=-1。将c=-1代入前两式得：a+b-1=3=>a+b=4；a-b-1=1=>a-b=2。解这个方程组：a=(4+2)/2=3；b=(4-2)/2=1。所以a+b+c=3+1-1=3。

2.(-∞,-1]∪[4,+∞)

解析：由|3x-2|≥5得3x-2≤-5或3x-2≥5。解得3x≤-3或3x≥7，即x≤-1或x≥7/3。

3.x=π/4+kπ/2(k∈Z)

解析：函数f(x)=tan(x-π/4)的图像关于直线x=π/4+kπ/2(k∈Z)对称。

4.-5

解析：向量a·b=(1,2)·(-1,3)=1*(-1)+2*3=-1+6=5。

5.√2

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2*(sin(x)*1/√2+cos(x)*1/√2)=√2*sin(x+π/4)。最大值为√2。

6.(-∞,2]∪[3,+∞)

解析：由x^2-5x+6≥0得(x-2)(x-3)≥0。解得x≤2或x≥3。

7.(e-1)/1=e-1

解析：∫[0,1]e^xdx=e^x|[0,1]=e^1-e^0=e-1。

8.-1

解析：直线l1:x+y=1的斜率为-1。直线l2:ax-by=1垂直于l1，则其斜率k2=b/a必须满足k1*k2=-1，即-1*(b/a)=-1=>a=b。所以a*b=b^2。因为l2过(0,1)，代入l2得a*0-b*1=1=>-b=1=>b=-1。所以a=-1。a*b=(-1)*(-1)=1。这里似乎与参考答案矛盾，让我们重新检查。l2:ax-by=1的斜率是a/b。l1斜率是-1。垂直要求a/b*(-1)=-1=>a/b=1=>a=b。l2过(0,1)，代入l2得a*0-b*1=1=>-b=1=>b=-1。所以a=-1。a*b=(-1)*(-1)=1。看来是参考答案有误。根据计算，a=-1,b=-1，a*b=-1。题目条件要求a/b=1，即a=b。l2过(0,1)，代入l2得-b=1，即b=-1。所以a=-1。a*b=-1。因此答案应为-1。

9.0

解析：f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的平均值是(∫[-2,2](x^3-3x)dx)/(2-(-2))=(∫[-2,2]x^3dx-∫[-2,2]3xdx)/4。计算各部分：∫[-2,2]x^3dx=x^4/4|[-2,2]=(2^4/4)-((-2)^4/4)=16/4-16/4=0。∫[-2,2]3xdx=3*(x^2/2)|[-2,2]=3/2*[(2^2)-((-2)^2)]=3/2*[4-4]=0。所以平均值为(0-0)/4=0。

10.(-3,1)

解析：由|2x+1|<4得-4<2x+1<4。解得-5<2x<3，即-5/2<x<3/2。

四、判断题

1.错误

解析：在x=0处，函数f(x)=|x|的图像有尖点，不可导。

2.错误

解析：例如，取a=-1，b=0，则a>b但a^2=1，b^2=0，所以a^2≤b^2。

3.正确

解析：集合A={x|x^2=1}={x|x=1或x=-1}={1,-1}。集合B={1,-1}。两集合相等。

4.正确

解析：移项得3x-x>2+1，即2x>3，解得x>3/2。解集为(3/2,+∞)，也可以写成(-∞,3/2)的补集，即(-∞,3/2]^c=(-∞,3/2]^c=(-∞,3)。

5.正确

解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期与sin(x)和cos(x)的最小正周期的最小公倍数相同，即2π。

6.正确

解析：向量a=(1,0)与向量b=(0,1)的点积a·b=1*0+0*1=0。因为两个非零向量的点积为0，所以它们互相垂直。

7.正确

解析：由|2x-1|>3得2x-1<-3或2x-1>3。解得2x<-2或2x>4，即x<-1或x>2。解集为(-∞,-1)∪(2,+∞)。

8.正确

解析：f(x)=x^3在区间[-1,1]上的平均值为(∫[-1,1]x^3dx)/(1-(-1))。计算分子：∫[-1,1]x^3dx=x^4/4|[-1,1]=(1^4/4)-((-1)^4/4)=1/4-1/4=0。所以平均值为0/2=0。

9.正确

解析：直线l1:x+y=1的斜率为-1。直线l2:x-y=1的斜率为1。两条直线的斜率乘积为-1*1=-1，所以它们互相垂直。

10.正确

解析：由log2(x+1)>0得x+1>2^0