高中奥数数论进阶预备卷

高中奥数数论进阶预备卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高中奥数班

高中奥数数论进阶预备卷

一、选择题

1.若整数a和b满足a+b=ab，则a和b的关系是

A.a=b=1

B.a=0或b=0

C.a=1或b=1

D.a和b互为相反数

2.已知m是正整数，且2m+1是素数，则m的值是

A.1

B.2

C.3

D.4

3.设a和b是正整数，且gcd(a,b)=1，若a+b=15，则a和b可能的组合是

A.(1,14)

B.(2,13)

C.(3,12)

D.(4,11)

4.已知n是正整数，且n²+1是素数，则n的值是

A.1

B.2

C.3

D.4

5.若整数x满足x²+x+1是素数，则x的值是

A.0

B.1

C.2

D.3

6.设p是素数，且pdivides(a²+b²)，则下列结论一定成立的是

A.pdividesa

B.pdividesb

C.pdividesa+b

D.pdividesa-b

7.已知正整数n满足n²+1是合数，则n的最小值是

A.1

B.2

C.3

D.4

8.若整数a和b满足a²=b²，则a和b的关系是

A.a=b

B.a=-b

C.a=±b

D.a和b互为相反数

9.设m和n是正整数，且mdividesn，则下列结论一定成立的是

A.m²dividesn²

B.n²dividesm²

C.m+ndividesm²+n²

D.n+mdividesm²+n²

10.已知x和y是正整数，且x²+y²=25，则x和y可能的组合是

A.(3,4)

B.(4,3)

C.(0,5)

D.(5,0)

二、填空题

1.若整数a和b满足a+b=ab，且a≠0，则b=______。

2.已知m是正整数，且2m+1是素数，则m=______。

3.设a和b是正整数，且gcd(a,b)=1，若a+b=15，则gcd(a²,b²)=______。

4.已知n是正整数，且n²+1是素数，则n=______。

5.若整数x满足x²+x+1是素数，则x=______。

6.设p是素数，且pdivides(a²+b²)，则p的可能值是______。

7.已知正整数n满足n²+1是合数，则n的最小值是______。

8.若整数a和b满足a²=b²，且a+b=10，则a和b的值是______。

9.设m和n是正整数，且mdividesn，则gcd(m+n,m-n)=______。

10.已知x和y是正整数，且x²+y²=25，则gcd(x,y)=______。

三、多选题

1.若整数a和b满足a+b=ab，则下列结论可能成立的是

A.a=1

B.b=1

C.a=0

D.b=0

2.已知m是正整数，且2m+1是素数，则下列结论可能成立的是

A.m=1

B.m=2

C.m=3

D.m=4

3.设a和b是正整数，且gcd(a,b)=1，若a+b=15，则下列结论可能成立的是

A.gcd(a²,b²)=1

B.gcd(a²,b²)=15

C.gcd(a²,b²)=5

D.gcd(a²,b²)=3

4.已知n是正整数，且n²+1是素数，则下列结论可能成立的是

A.n=1

B.n=2

C.n=3

D.n=4

5.若整数x满足x²+x+1是素数，则下列结论可能成立的是

A.x=0

B.x=1

C.x=2

D.x=3

6.设p是素数，且pdivides(a²+b²)，则下列结论可能成立的是

A.p=2

B.p=3

C.p=5

D.p=7

7.已知正整数n满足n²+1是合数，则下列结论可能成立的是

A.n=1

B.n=2

C.n=3

D.n=4

8.若整数a和b满足a²=b²，则下列结论可能成立的是

A.a=b

B.a=-b

C.a=±b

D.a和b互为相反数

9.设m和n是正整数，且mdividesn，则下列结论可能成立的是

A.m²dividesn²

B.n²dividesm²

C.m+ndividesm²+n²

D.n+mdividesm²+n²

10.已知x和y是正整数，且x²+y²=25，则下列结论可能成立的是

A.gcd(x,y)=1

B.gcd(x,y)=5

C.gcd(x,y)=0

D.gcd(x,y)=2

四、判断题

1.若整数a和b满足a+b=ab，则a和b中至少有一个是1。

2.已知m是正整数，且2m+1是素数，则m不可能是合数。

3.设a和b是正整数，且gcd(a,b)=1，若a+b=15，则a和b一定互质。

4.已知n是正整数，且n²+1是素数，则n不可能是偶数。

5.若整数x满足x²+x+1是素数，则x不可能是负整数。

6.设p是素数，且pdivides(a²+b²)，则a和b中至少有一个能被p整除。

7.已知正整数n满足n²+1是合数，则n不可能是奇数。

8.若整数a和b满足a²=b²，则a和b一定相等。

9.设m和n是正整数，且mdividesn，则gcd(m,n)=m。

10.已知x和y是正整数，且x²+y²=25，则x和y一定互质。

五、问答题

1.证明：若整数a和b满足a+b=ab，则a和b中至少有一个是1。

2.设p是素数，且pdivides(a²+b²)，证明：p=2或p是形如4k+1的素数。

3.已知正整数n满足n²+1是合数，求n的最小值，并证明你的结论。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：由a+b=ab可得ab-a-b=0，即ab-a-b+1=1，即(a-1)(b-1)=1，所以a-1=1且b-1=1或a-1=-1且b-1=-1，解得a=1且b=1或a=1且b=-1或a=-1且b=1或a=-1且b=-1。由于题目要求a和b是正整数，所以只有a=1且b=1满足条件。

2.A

解析：若2m+1是素数，则m不能是合数。当m=1时，2m+1=3是素数；当m=2时，2m+1=5是素数；当m=3时，2m+1=7是素数；当m=4时，2m+1=9不是素数。所以m的可能值为1。

3.B

解析：由于gcd(a,b)=1，所以a和b互质。a和b的和为15，且互质，可能的组合有(1,14),(2,13),(3,12),(4,11),(5,10),(6,9),(7,8)。其中gcd(2,13)=1，所以(2,13)是满足条件的组合。

4.A

解析：若n²+1是素数，则n²必须为偶数，因为奇数的平方是奇数，奇数加1是偶数，偶数不可能是素数（除了2）。所以n必须是偶数。当n=1时，n²+1=2是素数；当n=2时，n²+1=5是素数；当n=3时，n²+1=10不是素数；当n=4时，n²+1=17是素数。所以n的最小值为1。

5.C

解析：当x=0时，x²+x+1=1是素数；当x=1时，x²+x+1=3是素数；当x=2时，x²+x+1=7是素数；当x=3时，x²+x+1=13不是素数。所以x的值为2。

6.C

解析：根据费马小定理，若p是素数，且p不整除a，则pdivides(a^(p-1)-1)。所以pdivides(a²+b²)意味着pdivides(a²)和pdivides(b²)中至少有一个成立，即pdividesa或pdividesb。同时，pdivides(a²+b²)也意味着pdivides(a+b)或pdivides(a-b)。所以pdividesa+b或pdividesa-b。但pdivides(a²+b²)不一定意味着pdividesa或pdividesb，也不一定意味着pdividesa+b或pdividesa-b。例如，当a=2,b=4,p=2时，pdivides(2²+4²)=20，但p不divides2或4。所以只有C选项一定成立。

7.B

解析：若n²+1是合数，则n²必须为奇数，因为偶数的平方是偶数，偶数加1是奇数，奇数不可能是合数（除了1）。所以n必须是奇数。当n=1时，n²+1=2是素数；当n=2时，n²+1=5是素数；当n=3时，n²+1=10不是素数。所以n的最小值为2。

8.C

解析：由a²=b²可得a=±b。所以a和b的关系是a=±b。

9.A

解析：若mdividesn，则存在整数k使得n=km。所以n²=(km)²=k²m²。因为k²和m都是整数，所以k²m²能被m²整除，即m²dividesn²。

10.A

解析：x²+y²=25，可能的组合有(0,5),(5,0),(3,4),(4,3)。其中gcd(3,4)=1，所以(3,4)是满足条件的组合。

二、填空题答案及解析

1.1

解析：由a+b=ab可得ab-a-b=0，即ab-a-b+1=1，即(a-1)(b-1)=1，所以a-1=1且b-1=1或a-1=-1且b-1=-1，解得a=1且b=1或a=1且b=-1或a=-1且b=1或a=-1且b=-1。由于题目要求a≠0，所以只有a=1且b=1满足条件。

2.1

解析：若2m+1是素数，则m不能是合数。当m=1时，2m+1=3是素数；当m=2时，2m+1=5是素数；当m=3时，2m+1=7是素数；当m=4时，2m+1=9不是素数。所以m的最小值为1。

3.1

解析：由于gcd(a,b)=1，所以a和b互质。gcd(a²,b²)=gcd(a²,b)gcd(b²,b)=gcd(a²,b)gcd(b²,1)=gcd(a²,b)。因为a和b互质，所以a²和b²也互质，即gcd(a²,b²)=1。

4.1

解析：若n²+1是素数，则n²必须为偶数，因为奇数的平方是奇数，奇数加1是偶数，偶数不可能是素数（除了2）。所以n必须是偶数。当n=1时，n²+1=2是素数；当n=2时，n²+1=5是素数；当n=3时，n²+1=10不是素数；当n=4时，n²+1=17是素数。所以n的最小值为1。

5.2

解析：当x=0时，x²+x+1=1是素数；当x=1时，x²+x+1=3是素数；当x=2时，x²+x+1=7是素数；当x=3时，x²+x+1=13不是素数。所以x的值为2。

6.2

解析：根据费马小定理，若p是素数，且p不整除a，则pdivides(a^(p-1)-1)。所以pdivides(a²+b²)意味着pdivides(a²)和pdivides(b²)中至少有一个成立，即pdividesa或pdividesb。同时，pdivides(a²+b²)也意味着pdivides(a+b)或pdivides(a-b)。但pdivides(a²+b²)不一定意味着pdividesa或pdividesb，也不一定意味着pdividesa+b或pdividesa-b。例如，当a=2,b=4,p=2时，pdivides(2²+4²)=20，但p不divides2或4。所以只有p=2满足条件。

7.2

解析：若n²+1是合数，则n²必须为奇数，因为奇数的平方是奇数，奇数加1是偶数，偶数不可能是合数（除了1）。所以n必须是奇数。当n=1时，n²+1=2是素数；当n=2时，n²+1=5是素数；当n=3时，n²+1=10不是素数。所以n的最小值为2。

8.4,6

解析：由a²=b²可得a=±b。又因为a+b=10，所以a=4且b=6或a=-4且b=-6。由于题目要求a和b是正整数，所以只有a=4且b=6满足条件。

9.m

解析：若mdividesn，则存在整数k使得n=km。所以gcd(m+n,m-n)=gcd(m+km,m-km)=gcd((k+1)m,(k-1)m)=m。因为k+1和k-1互质，所以m是gcd((k+1)m,(k-1)m)的最大公约数。

10.1

解析：x²+y²=25，可能的组合有(0,5),(5,0),(3,4),(4,3)。其中gcd(3,4)=1，所以gcd(x,y)=1。

三、多选题答案及解析

1.A,B

解析：由a+b=ab可得ab-a-b=0，即ab-a-b+1=1，即(a-1)(b-1)=1，所以a-1=1且b-1=1或a-1=-1且b-1=-1，解得a=1且b=1或a=1且b=-1或a=-1且b=1或a=-1且b=-1。由于题目要求a和b是正整数，所以只有a=1且b=1满足条件。所以A和B可能成立。

2.A,B,C

解析：若2m+1是素数，则m不能是合数。当m=1时，2m+1=3是素数；当m=2时，2m+1=5是素数；当m=3时，2m+1=7是素数；当m=4时，2m+1=9不是素数。所以m的可能值为1,2,3。

3.A,C

解析：由于gcd(a,b)=1，所以a和b互质。a和b的和为15，且互质，可能的组合有(1,14),(2,13),(3,12),(4,11),(5,10),(6,9),(7,8)。其中gcd(1,14)=1，gcd(3,12)=3，gcd(5,10)=5，gcd(7,8)=1。所以gcd(a²,b²)=1或gcd(a²,b²)=15。

4.A,B

解析：若n²+1是素数，则n²必须为偶数，因为奇数的平方是奇数，奇数加1是偶数，偶数不可能是素数（除了2）。所以n必须是偶数。当n=1时，n²+1=2是素数；当n=2时，n²+1=5是素数；当n=3时，n²+1=10不是素数；当n=4时，n²+1=17是素数。所以n的可能值为1,2。

5.A,B,C

解析：当x=0时，x²+x+1=1是素数；当x=1时，x²+x+1=3是素数；当x=2时，x²+x+1=7是素数；当x=3时，x²+x+1=13不是素数。所以x的可能值为0,1,2。

6.A,B,C,D

解析：根据费马小定理，若p是素数，且p不整除a，则pdivides(a^(p-1)-1)。所以pdivides(a²+b²)意味着pdivides(a²)和pdivides(b²)中至少有一个成立，即pdividesa或pdividesb。同时，pdivides(a²+b²)也意味着pdivides(a+b)或pdivides(a-b)。但pdivides(a²+b²)不一定意味着pdividesa或pdividesb，也不一定意味着pdividesa+b或pdividesa-b。例如，当a=2,b=4,p=2时，pdivides(2²+4²)=20，但p不divides2或4。所以p的可能值为2,3,5,7。

7.B,C

解析：若n²+1是合数，则n²必须为奇数，因为奇数的平方是奇数，奇数加1是偶数，偶数不可能是合数（除了1）。所以n必须是奇数。当n=1时，n²+1=2是素数；当n=2时，n²+1=5是素数；当n=3时，n²+1=10不是素数；当n=4时，n²+1=17是素数。所以n的可能值为2,3。

8.A,B,C

解析：由a²=b²可得a=±b。所以a和b的关系是a=±b。

9.A,C

解析：若mdividesn，则存在整数k使得n=km。所以n²=(km)²=k²m²。因为k²和m都是整数，所以k²m²能被m²整除，即m²dividesn²。同时，m+ndividesm²+n²。因为m+ndividesm²-n²，即m+ndivides(m+n)(m-n)，所以m+ndividesm-n。由于mdividesn，所以mdivides(m-n)。所以m+ndividesm。

10.A,B

解析：x²+y²=25，可能的组合有(0,5),(5,0),(3,4),(4,3)。其中gcd(0,5)=5，gcd(3,4)=1，gcd(4,3)=1。所以gcd(x,y)=1或gcd(x,y)=5。

四、判断题答案及解析

1.√

解析：由a+b=ab可得ab-a-b=0，即ab-a-b+1=1，即(a-1)(b-1)=1，所以a-1=1且b-1=1或a-1=-1且b-1=-1，解得a=1且b=1或a=1且b=-1或a=-1且b=1或a=-1且b=-1。由于题目要求a和b是正整数，所以只有a=1且b=1满足条件。

2.×

解析：若2m+1是素数，则m可以是合数。例如，当m=9时，2m+1=19是素数，但m=9是合数。

3.√

解析：由于gcd(a,b)=1，所以a和b互质。a和b的和为15，且互质，可能的组合有(1,14),(2,13),(3,12),(4,11),(5,10),(6,9),(7,8)。其中gcd(1,14)=1，gcd(2,13)=1，gcd(3,12)=3，gcd(4,11)=1，gcd(5,10)=5，gcd(6,9)=3，gcd(7,8)=1。所以a和b一定互质。

4.√

解析：若n²+1是素数，则n²必须为偶数，因为奇数的平方是奇数，奇数加1是偶数，偶数不可能是素数（除了2）。所以n必须是偶数。偶数的平方是4的倍数，所以n²+1是4的倍数加1，不可能是素数（除了2）。所以n不可能是偶数。

5.×

解析：当x=-1时，x²+x+1=1是素数。

6.×

解析：例如，当a=2,b=4,p=2时，pdivides(2²+4²)=20，但p不divides2或4。

7.√

解析：若n²+1是合数，则n²必须为奇数，因为奇数的平方是奇数，奇数加1是偶数，偶数不可能是合数（除了1）。所以n必须是奇数。奇数的平方是4的倍数加1，所以n²+1是4的倍数加2，不可能是合数（除了1）。所以n不可能是奇数。

8.×

解析：由a²=b²可得a=±b。所以a和b的关系是a=±b。

9.×

解析：若mdividesn，则存在整数k使得n=km。所以gcd(m,n)=gcd(m,km)=m。但m不一定是gcd(m,n)。

10.√

解析：x²+y²=25，可能的组合有(0,5),(5,0),(3,4),(4,3)。其中gcd(0,5)=5，gcd(3,4)=1，gcd(4,3)=1。所以gc