名校自主招生选拔卷二

名校自主招生选拔卷二考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高二（理科）

名校自主招生选拔卷二

一、选择题

1.已知集合A={x|1<x<3},B={x|x^2-4x+3<0},则集合A与B的关系是

A.A⊆B

B.B⊆A

C.A=B

D.A∩B=∅

2.函数f(x)=log_a(x+1)在(-1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

3.若复数z满足|z|=1,且z^3=1,则z可能是

A.1

B.-1

C.i

D.-i

4.已知等差数列{a_n}中,a_1=2,a_5=10,则该数列的通项公式为

A.a_n=2n

B.a_n=3n-1

C.a_n=4n-6

D.a_n=5n-3

5.若函数f(x)=x^3-3x+1的导数为0的根有且仅有两个,则实数k的取值范围是

A.(-2,2)

B.(-∞,-2)∪(2,+∞)

C.(-2,0)∪(0,2)

D.(-∞,-2)∪(0,2)

6.已知直线l1:ax+by+c=0与直线l2:2x+y+1=0平行,则a,b的取值关系为

A.a=2b

B.a=2b+1

C.2a=b

D.2a=b+1

7.在△ABC中,若角A=60°,角B=45°,边BC=6,则边AC的长度为

A.3√2

B.3√3

C.6√2

D.6√3

8.已知圆O的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=25,则过点(3,0)的圆的切线方程可能为

A.x=3

B.y=0

C.4x+3y-12=0

D.3x-4y-9=0

9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(0)=1,则下列说法正确的是

A.ω=2,φ=π/2

B.ω=2,φ=-π/2

C.ω=1,φ=π/6

D.ω=1,φ=-π/6

10.已知三棱锥A-BCD的底面△BCD是边长为2的正三角形,且AA′⊥平面BCD,AA′=2,则点A到平面BCD的距离为

A.1

B.√2

C.√3

D.2

11.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值,则实数a的值为

A.e

B.e^2

C.1/e

D.1/e^2

12.在等比数列{b_n}中,若b_1=1,b_4=16,则该数列的前4项和为

A.31

B.35

C.39

D.41

13.已知函数f(x)=√(x^2+1)-kx在(0,+∞)上单调递减,则实数k的取值范围是

A.k>1

B.k≥1

C.k<1

D.k≤1

14.在直角坐标系中,双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为√2,则该双曲线的渐近线方程为

A.y=±x

B.y=±2x

C.y=±√2x

D.y=±1/√2x

15.已知函数f(x)=x^2+px+q在x=1和x=-1处取得相同的函数值,则p,q满足的关系为

A.p=0

B.p+q=0

C.p-q=0

D.p^2-q=0

二、填空题

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2,则f(x)的单调递增区间为

2.若复数z=1+i,则z^4的实部为

3.在△ABC中,若角A=30°,角B=60°,边BC=6,则△ABC的面积S为

4.已知直线l1:2x+y-1=0与直线l2:ax-y+2=0垂直,则实数a的值为

5.若函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于y轴对称,则φ的值为

6.在等差数列{a_n}中,若a_1=2,a_5=10,则该数列的第三项a_3为

7.已知圆O的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=16,则过点(3,0)的圆的切线方程为

8.若函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值,则实数a的值为

9.在等比数列{b_n}中,若b_1=1,b_4=16,则该数列的公比q为

10.已知三棱锥A-BCD的底面△BCD是边长为2的正三角形,且AA′⊥平面BCD,AA′=2,则三棱锥A-BCD的体积V为

三、多选题

1.下列函数中,在其定义域内单调递增的有

A.y=x^2

B.y=2^x

C.y=loge(x)

D.y=√x

2.已知集合A={x|x^2-4x+3<0},B={x|x<-1或x>3},则集合A与B的关系为

A.A⊆B

B.B⊆A

C.A∩B=∅

D.A∪B=R

3.下列关于复数z=1+i的说法正确的有

A.|z|=√2

B.z的共轭复数为1-i

C.z^2=2i

D.z^4=-4

4.已知等差数列{a_n}中,a_1=2,a_5=10,则下列说法正确的有

A.该数列的公差为3

B.a_10=28

C.该数列的前10项和为55

D.该数列的通项公式为a_n=3n-1

5.下列关于直线l1:ax+by+c=0与直线l2:2x+y+1=0的说法正确的有

A.若l1∥l2,则a=2b

B.若l1⊥l2,则2a+b=0

C.l1与l2的夹角为45°

D.l1与l2的夹角为30°

四、判断题

1.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上是增函数

2.若a>b,则a^2>b^2

3.复数z=√2i的模为2

4.已知等差数列{a_n}中,a_1=1,a_5=9,则a_3+a_4=8

5.两条平行线l1:ax+by+c=0与l2:mx+ny+d=0的斜率相同

6.三角形两边之和大于第三边

7.若函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上单调递增,则其导数f'(x)=3x^2在该区间上单调递增

8.圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2的圆心到原点的距离为√(a^2+b^2)

9.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为2π,则ω=1

10.三棱锥A-BCD的体积为其底面积乘以高的一半

五、问答题

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2,求f(x)的极值点

2.若复数z满足|z|=2,且z^2=2i,求z的值

3.在△ABC中,若角A=60°,角B=45°,边BC=6,求边AC和边AB的长度

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：集合A={x|1<x<3}，集合B={x|x^2-4x+3<0}。解不等式x^2-4x+3<0，得(x-1)(x-3)<0，解得1<x<3，即B={x|1<x<3}。因此A=B。

2.B

解析：函数f(x)=log_a(x+1)在(-1,+∞)上单调递增，根据对数函数的单调性，当底数a>1时，对数函数单调递增。因此a的取值范围是(1,+∞)。

3.C

解析：复数z满足|z|=1，即z的模为1。z^3=1，即z是单位根之一。单位根包括1,-1,i,-i。排除1和-1，因为z^3=1不成立。因此z可能是i或-i。

4.D

解析：等差数列{a_n}中，a_1=2,a_5=10。由等差数列的性质，a_5=a_1+4d，即10=2+4d，解得d=2。通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，即a_n=2+(n-1)×2=2n。

5.C

解析：函数f(x)=x^3-3x+1的导数为f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得3x^2-3=0，解得x=±1。函数f(x)在x=±1处取得极值。要使极值点有且仅有两个，k必须使f(x)在x=±1处取相同函数值。f(1)=1^3-3×1+1=-1，f(-1)=(-1)^3-3×(-1)+1=3。因此k必须使f(1)=f(-1)，即-1=3+k，解得k=-4。但选项中没有-4，因此需要重新审视题目。题目可能要求极值点有且仅有两个，即导数f'(x)在x=±1处变号。因此k的取值范围是(-2,0)∪(0,2)。

6.C

解析：直线l1:ax+by+c=0与直线l2:2x+y+1=0平行，则两直线的斜率相同。l2的斜率为-2。因此ax+by+c=0的斜率也为-2，即2a=b。

7.A

解析：在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边BC=6。由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。边AC为b，边AB为c。由三角形内角和，角C=180°-60°-45°=75°。sin60°=√3/2，sin45°=√2/2，sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2×√3/2+√2/2×1/2=√6/4+√2/4=√6+√2/4。因此b=6×sin45°/sin60°=6×√2/2/√3/2=6√2/√3=2√6。c=6×sin60°/sin75°=6×√3/2/(√6+√2)/4=12√3/(√6+√2)。边AC的长度为2√6。

8.C

解析：圆O的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=25，圆心为(1,-2)，半径为5。过点(3,0)的圆的切线方程可能为4x+3y-12=0。验证：点(3,0)到直线4x+3y-12=0的距离为|4×3+3×0-12|/√(4^2+3^2)=|0|/5=0，说明点(3,0)在直线上。直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于半径。计算圆心(1,-2)到直线4x+3y-12=0的距离为|4×1+3×(-2)-12|/√(4^2+3^2)=|-4-6|/5=10/5=2，不等于半径5。因此该直线不是切线。需要重新审视题目。可能需要找到过点(3,0)的切线方程。设切线方程为y=k(x-3)。圆心到直线的距离等于半径，即|k×1-1×(-2)-0|/√(k^2+1)=5，解得k=±√21。因此切线方程为y=√21(x-3)或y=-√21(x-3)。选项中没有，因此需要重新审视题目。题目可能只是提供一些可能不正确的选项。选项C的斜率为-4/3，不等于√21或-√21，因此不可能是切线。但题目要求可能为切线的方程，因此选项C可能是一个干扰项。

9.A

解析：函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π，则ω=2k/π，k为正整数。最小正周期为π，即ω=2。f(0)=1，即sin(φ)=1。因此φ=π/2+2kπ，k为整数。取k=0，得φ=π/2。

10.A

解析：三棱锥A-BCD的底面△BCD是边长为2的正三角形，AA′⊥平面BCD，AA′=2。点A到平面BCD的距离即为AA′的长度，为1。

11.A

解析：函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则f'(x)=e^x-a在x=1处为0。即e-a=0，解得a=e。

12.A

解析：等比数列{b_n}中，b_1=1,b_4=16。公比q=b_4/b_1=16/1=16。前4项和为b_1(1-q^4)/(1-q)=1×(1-16^4)/(1-16)=1×(1-65536)/(-15)=65535/15=4369。

13.C

解析：函数f(x)=√(x^2+1)-kx在(0,+∞)上单调递减，则f'(x)=x/√(x^2+1)-k≤0在(0,+∞)上恒成立。即x/√(x^2+1)≤k。x/√(x^2+1)的最大值为1/√2，因此k≥1/√2。但选项中没有，因此需要重新审视题目。题目可能要求f'(x)在(0,+∞)上单调递减。即f''(x)≤0。f''(x)=-x^2/(x^2+1)^3/2≤0在(0,+∞)上恒成立。因此k<1。

14.A

解析：双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为√2，则e=c/a=√(1+b^2/a^2)=√2，解得b^2=a^2。渐近线方程为y=±b/ax=±x。

15.C

解析：函数f(x)=x^2+px+q在x=1和x=-1处取得相同的函数值，即f(1)=f(-1)。即1^2+p×1+q=(-1)^2+p×(-1)+q，解得p=0。

二、填空题

1.(-∞,1]

2.2

3.9√3