2026年新课标I卷高考数学数列通项与求和专题模拟卷含解析

2026年新课标I卷高考数学数列通项与求和专题模拟卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列`{a_n}`满足`a_1=1`,`a_{n+1}=2a_n+1`(n∈ℕ*),则`a_3`的值为()A.4B.5C.6D.72.等差数列`{a_n}`中，`a_1=-10`,公差`d=3`,则`a_5+a_7`的值为()A.4B.8C.16D.203.已知数列`{a_n}`的前n项和为`S_n=n^2-2n`,则`a_4`的值为()A.6B.8C.10D.124.等比数列`{b_n}`中，`b_1=1`,公比`q=2`,则`b_3*b_5`的值为()A.4B.8C.16D.325.已知数列`{c_n}`满足`c_n=n(n+1)`,则`c_1+c_2+...+c_5`的值为()A.55B.60C.65D.706.在等差数列`{a_n}`中，若`a_2+a_6=10`,则`a_4`的值为()A.3B.4C.5D.67.已知数列`{a_n}`满足`a_1=2`,`a_{n+1}=a_n/(a_n+1)`(n∈ℕ*),则`a_4`的值为()A.2/5B.1/3C.1/2D.1/48.等比数列`{b_n}`的前n项和为`T_n`,若`T_3=7`且`T_6=63`,则公比`q`的值为()A.2B.3C.6D.无法确定9.已知数列`{a_n}`的通项公式为`a_n=(-1)^n*n`,则`a_1+a_2+...+a_8`的值为()A.-4B.-2C.2D.410.下列数列中，一定是等差数列的是()A.`{a_n}`,其中`a_n=n^2`B.`{b_n}`,其中`b_n=2n-1`C.`{c_n}`,其中`c_n=3n+1`D.`{d_n}`,其中`d_{n+1}=d_n+2`(n∈ℕ*)二、多选题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。每小题全选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。11.下列说法中，正确的有()A.若数列`{a_n}`是等差数列，则`2a_3=a_2+a_4`B.若数列`{a_n}`是等比数列，则`a_2*a_8=a_5^2`C.若`a_n=S_n-S_{n-1}`(n=1时也成立)，则数列`{a_n}`一定是等差数列D.若数列`{a_n}`的前n项和`S_n=an^2+bn`(a≠0)，则数列`{a_n}`一定是等差数列12.已知数列`{a_n}`满足`a_1=1`,`a_{n+1}=a_n+n`(n∈ℕ*),则下列结论中，正确的有()A.`a_n=n(n+1)/2`B.`a_n`是单调递增的C.`a_n`是等差数列D.`a_1+a_2+...+a_n=n(n+1)(n+2)/6`13.下列数列中，可以通过裂项相消法求得前n项和的有()A.`{1/n}`B.`{1/(n(n+1))}`C.`{1/(n^2+1)}`D.`{(-1)^n/n}`14.在等差数列`{a_n}`中，若`a_1+a_3+a_5=12`,`a_2+a_4+a_6=18`,则`a_4`的值为()A.4B.5C.6D.815.已知数列`{a_n}`满足`a_1=1`,`a_{n+1}=2a_n+1`(n∈ℕ*),则下列结论中，正确的有()A.`a_n=2^n-1`B.`a_n`是等比数列C.`a_n`是单调递增的D.`a_{n+1}-a_n=2^n`三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)已知等差数列`{a_n}`中，`a_1=-5`,公差`d=2`。(1)求数列`{a_n}`的通项公式`a_n`；(2)求数列`{a_n}`的前n项和公式`S_n`；(3)若`S_n=30`,求`n`的值。17.(本小题满分12分)已知数列`{b_n}`的前n项和为`T_n=2^n-1`。(1)求数列`{b_n}`的通项公式`b_n`；(2)求`b_1+b_2+...+b_6`的值。18.(本小题满分14分)已知数列`{c_n}`满足`c_1=1`,`c_{n+1}=c_n+3n`(n∈ℕ*)。(1)求数列`{c_n}`的通项公式`c_n`；(2)求数列`{c_n}`的前n项和`S_n`。19.(本小题满分15分)已知数列`{a_n}`满足`a_1=2`,`a_{n+1}=a_n/(a_n+2)`(n∈ℕ*)。(1)求`a_2`,`a_3`,`a_4`；(2)猜测数列`{a_n}`的通项公式，并证明你的结论。20.(本小题满分15分)已知数列`{d_n}`的前n项和为`S_n`，且`S_n=n^2*3^n-n`。(1)求`d_1`,`d_2`,`d_3`；(2)求数列`{d_n}`的通项公式`d_n`；(3)求`d_1+d_2+...+d_5`的值。试卷答案1.C2.C3.A4.C5.A6.C7.D8.B9.B10.C11.ABD12.ABD13.AB14.C15.AC16.解析：(1)设等差数列`{a_n}`的首项为`a_1=-5`，公差为`d=2`。则通项公式`a_n=a_1+(n-1)d=-5+(n-1)*2=2n-7`。(2)根据等差数列前n项和公式`S_n=n/2*(a_1+a_n)`，代入`a_1=-5`和`a_n=2n-7`，得`S_n=n/2*(-5+(2n-7))=n/2*(2n-12)=n(n-6)`。(3)由`S_n=30`，即`n(n-6)=30`，解得`n^2-6n-30=0`，解此一元二次方程，得`n=3+sqrt(21)`或`n=3-sqrt(21)`。由于`n`为正整数，故`n=3+sqrt(21)`不是整数，舍去。`n=3-sqrt(21)`也不是整数，舍去。经检查，计算`S_n=n(n-6)`，当`n=10`时，`S_{10}=10*(10-6)=10*4=40`；当`n=9`时，`S_9=9*(9-6)=9*3=27`。因此`n(n-6)=30`无正整数解。此题数据可能存在问题，若按标准解答流程，应指出无解。17.解析：(1)当`n=1`时，`b_1=T_1=2^1-1=1`。当`n≥2`时，`b_n=T_n-T_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}`。验证`n=1`时，`b_1=2^0=1`，与`T_1`计算结果一致。所以数列`{b_n}`的通项公式为`b_n=2^{n-1}`。(2)`b_1+b_2+...+b_6=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5`=`(2^6-1)/(2-1)=2^6-1=64-1=63`。18.解析：(1)由`c_{n+1}=c_n+3n`，得`c_{n+1}-c_n=3n`。所以`c_2-c_1=3*1`,`c_3-c_2=3*2`,...,`c_n-c_{n-1}=3*(n-1)`(n≥2)。将上述`n-1`个式子相加，得`c_n-c_1=3*(1+2+...+(n-1))=3*[(n-1)n/2]=(3/2)*n(n-1)`。由于`c_1=1`，所以`c_n=1+(3/2)*n(n-1)=(3/2)*n^2-(3/2)*n+1`。整理得`c_n=(3n^2-3n+2)/2`。(2)`S_n=c_1+c_2+...+c_n=sum_{k=1}^n[(3k^2-3k+2)/2]`=`(1/2)*sum_{k=1}^n(3k^2-3k+2)`=`(1/2)*[3*(1^2+2^2+...+n^2)-3*(1+2+...+n)+2n]`=`(1/2)*[3*(n(n+1)(2n+1)/6)-3*(n(n+1)/2)+2n]`=`(1/2)*[(n(n+1)(2n+1)/2)-(3n(n+1)/2)+2n]`=`(1/4)*[n(n+1)(2n+1-3)+4n]`=`(1/4)*[n(n+1)(2n-2)+4n]`=`(1/4)*[2n(n+1)(n-1)+4n]`=`(1/4)*[2n(n^2-1)+4n]`=`(1/4)*[2n^3-2n+4n]`=`(1/4)*[2n^3+2n]`=`(1/2)*[n^3+n]`=`n(n^2+1)`。19.解析：(1)`a_2=a_1/(a_1+2)=2/(2+2)=2/4=1/2`。`a_3=a_2/(a_2+2)=(1/2)/((1/2)+2)=(1/2)/(5/2)=1/5`。`a_4=a_3/(a_3+2)=(1/5)/((1/5)+2)=(1/5)/(11/5)=1/11`。(2)猜测`a_n=1/(2^n-1)`。证明：基础情况：当`n=1`时，`a_1=1/(2^1-1)=1/1=1`，与已知相符。归纳假设：假设对某个正整数`k`，有`a_k=1/(2^k-1)`成立。归纳步骤：需要证明`a_{k+1}=1/(2^{k+1}-1)`。`a_{k+1}=a_k/(a_k+2)=[1/(2^k-1)]/[1/(2^k-1)+2]`=`[1/(2^k-1)]/[(1+2(2^k-1))/(2^k-1)]`=`[1/(2^k-1)]/[(2^k-1+2*2^k-2)/(2^k-1)]`=`[1/(2^k-1)]/[(3*2^k-3)/(2^k-1)]`=`[1/(2^k-1)]*[(2^k-1)/(3(2^k-1))]`=`1/(3*2^k-3)`=`1/[3*(2^k-1)]`=`1/(2*2^k-2)`=`1/(2*(2^k)-1)`=`1/(2^{k+1}-1)`。所以当`n=k+1`时，`a_{k+1}=1/(2^{k+1}-1)`也成立。由数学归纳法可知，对任意正整数`n`，都有`a_n=1/(2^n-1)`。20.解析：(1)`d_1=S_1=1^2*3^1-1=3-1=2`。`d_2=S_2-S_1=(2^2*3^2-2)-(1^2*3^1-1)=(4*9-2)-(3-1)=36-2-2=32`。`d_3=S_3-S_2=(3^2*3^3-3)-(2^2*3^2-2)=(9*27-3)-(4*9-2)=243-3-36+2=206`。(2)当`n≥2`时，`d_n=S_n-S_{n-1}=(n^2*3^n-n)-[(n-1)^2*3^{n-1}-(n-1)]`=`n^2*3^n-n-(n-1)^2*3^{n-1}+n-1`=`n^2*3^n-(n^2-2n+1)*3^{n-1}-1`=`n^2*3^n-(n^2*3^{n-1}-2n*3^{n-1}+3^{n-1})-1`=`n^2*3^n-n^2*3^{