2012年上海市高考数学试卷及答案（理数）

2012年上海市高考数学试卷及答案（理数）2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）满分150分，考试时间120分钟考生注意本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页。作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置。所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位。在试卷上作答一律不得分。用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题。一、填空题（本大题共有14题，满分56分）计算：3−i1+i若集合A=x|2x+10}，B=\{x||x−1|<2\}，则函数fx若n=在x−2有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V1,已知函数fx=e|x−a|（a为常数）。若若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________。已知y=fx+x2是奇函数，且f1在极坐标系中，过点M20的直线l与极轴的夹角α=π6，若将l的极坐标方程写成三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________（结果用最简分数表示）。在平行四边形ABCD中，∠A=π3，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|BM已知函数y=fx的图象是折线段ABC，其中A00，B12如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是________。二、选择题（本大题共有4题，满分20分）若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A.b=2,c=3B.b=−2,c=3C.b=−2,c=−1D.b=2,c=−1在\triangleABC中，若sin2A+sin2A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5=105，随机变量A.DB.DC.D\xi_1<D\xi_2D.Dξ1与Dξ设an=1nsinnπ25A.25B.50C.75D.100三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⟂底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=22，PA=2（1）三角形PBC的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小。20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数fx（1）若0<f1−2x（2）若gx是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有gx=fx，求函数21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图。现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y=112x（1）当t=1时，写出失事船所在位置的纵坐标。若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:x（1）过C的左顶点引C的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y（3）设椭圆E:x216+y24=1，若M、N分别是23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于数集X=−1x1x2⋯xn，其中0<x1<（1）若x>2，且X=−1（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn>1时，（3）若X具有性质P，且x1=1，x22012年上海市高考数学试卷（理数）答案及解析一、填空题（每小题4分，共56分）答案：1−2i

解析：3−i1+i=3−i答案：−123

解析：由2x+1>0得x>−12，即A=−12+∞答案：−31

解析：展开行列式得fx=2×−1−cosx⋅sinx=−2−12答案：arctan2

解析：直线的方向向量为12，斜率k=2，倾斜角θ=arctan2。

答案：−160

解析：二项展开式通项为Tr+1=C6rx6−r−2答案：87

解析：棱长数列an=12n−1，体积数列Vn答案：−∞1

解析：fx=e|x−a|在a+∞上单调递增，由题意答案：33π

解析：设半圆半径为l（即圆锥母线长），则12πl2=2π，得l=2；圆锥底面周长πl=2πr，得r=1答案：−1

解析：令hx=fx+x2，则hx为奇函数，h−1=−h1，即答案：1sinθ−π6

解析：直线l的直角坐标方程为y=3答案：23

解析：每人选2个项目，有C32=3种选择，3人共有33=27种总情况；有且仅有两人选择相同的情况：先选2人，再选1种项目，剩余1人选不同项目，共答案：525

解析：设|BM||BC|=|CN|答案：54

解析：分段写出fx=10x,0≤x≤12答案：2c33a2−c2

解析：将四面体体积转化为\frac{1}{3}\timesS_{\triangleBCD}\timesAD，当AB=BD=AC=CD=a时，S_{\triangleBCD}二、选择题（每小题5分，共20分）答案：B

解析：实系数方程的复数根共轭，故另一根为1−2i，由韦达定理得b=−1+2i+1−2i=−2，c=1+2i答案：C

解析：由正弦定理得a2+b2<答案：A

解析：两随机变量均值相同，ξ2的取值更集中，故方差更小，即Dξ1答案：D

解析：当1≤n≤25时，an>0，Sn>0；当26≤n≤50时，an<0，但|an|<三、解答题（共74分）19.（12分）（1）解：因PA⟂底面ABCD，故PA⟂BC，又BC⟂AB，PA∩AB=A，故BC⟂平面PAB，则BC⟂PB。PB=AB2+PA（2）解：取PB中点F，连接AF、EF，则EF∥BC，故∠AEF即为异面直线BC与AE所成的角。AF=12PB=2，EF=12BC=2，AE=12PC=20.（14分）（1）解：由0<lg2−2x−lgx+1<1，得1<2−2xx+1<10（2）解：当x∈12时，2−x∈01，因gx是周期为2的偶函数，故gx=gx−2=g2−x=lg21.（14分）（1）解：当t=1时，横坐标6t=6，纵坐标y=112×62=3，失事船位置63；救援船起点0（2）解：t小时后，失事船位置6t1126t2=6t3t222.（16分）（1）解：双曲线左顶点−20，渐近线方程y=±3x，取平行线y=3x+2，与另一条渐近线y=−（2）证明：设直线l:y=x+m，由相切得|m|2=1，m2=2。联立x24−x+m212=1，得2x2（3）证明：设M