专项突破1　分解因式的四种方法练方法

八年级

上册湘教版初中数学专项突破1分解因式的四种方法练方法1.一般地,没有公因式的多项式,当项数为四项或四项以上时,

经常把这些项分成若干组,然后各组运用提公因式法或公式

法分别进行分解,之后各组之间再运用提公因式法或公式法

进行分解,这种因式分解的方法叫作分组分解法.如:am+bm+

an+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n).(1)利用分组分解法分解因式:①3m-3y+am-ay.②a2x+a2y+b2x+b2y.(2)因式分解:a2+2ab+b2-1=__________(直接写出结果).

分组分解法解析

(1)①原式=(3m-3y)+(am-ay)=3(m-y)+a(m-y)=(m-y)(3+a).②原式=(a2x+a2y)+(b2x+b2y)=a2(x+y)+b2(x+y)=(x+y)(a2+b2).(2)(a+b+1)(a+b-1).[详解]a2+2ab+b2-1=(a+b)2-1=(a+b+1)(a+b-1).2.(2024湖南娄底月考)已知整式A=4x2+4x-24.(1)将整式A分解因式.(2)求证:若x取整数,则A能被4整除.解析

(1)A=(4x2+4x+1)-25=(2x+1)2-52=[(2x+1)+5][(2x+1)-5]=(2x+6)(2x-4)=4(x+3)(x-2).(2)证明:∵x为整数,∴x+3和x-2均为整数,由(1)得A=4(x+3)(x-2),∴A能被4整除.3.某些形如ax2+bx+c的二次三项式可利用十字相乘法分解因

式.十字相乘法:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左

上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角

和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.如:

将式子x2+3x+2和2x2+x-3分解因式,如图,

十字相乘法由图可得,x2+3x+2=(x+1)(x+2);2x2+x-3=(x-1)(2x+3).请你用十字相乘法将下列多项式分解因式:(1)x2+5x+6.(2)2x2-7x+3.(3)x2+(2-m)x-2m.解析

(1)如图,

由上图可知,x2+5x+6=(x+2)(x+3).(2)如图,由上图可知,2x2-7x+3=(2x-1)(x-3).(3)如图,

由上图可知,x2+(2-m)x-2m=(x+2)(x-m).4.(2024湖南益阳期末)阅读与思考:整式乘法与因式分解是方向相反的变形,即由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,得x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进

行因式分解,例如:将x2+9x+8分解因式.解:因为x2+9x+8=x2+(1+8)x+1×8,所以x2+9x+8=(x+1)(x+8).请仿照所给的方法,解答下列问题:(1)分解因式:x2-2x-8.(2)分解因式:x3-8x2+12x.(3)若x2+px-6可分解为两个一次因式的积,写出整数p所有可能

的值.解析

(1)∵x2-2x-8=x2+(-4+2)x+2×(-4),∴x2-2x-8=(x-4)(x+2).(2)原式=x(x2-8x+12),∵x2-8x+12=x2+(-2-6)x+(-2)×(-6),∴x2-8x+12=(x-2)(x-6),∴x3-8x2+12x=x(x-2)(x-6).(3)∵-6=(-1)×6=1×(-6)=2×(-3)=(-2)×3,∴p=-1+6=5或p=1-6=-5或p=2-3=-1或p=-2+3=1,∵p=0时,原式

=x2-6,x2-6可分解为两个一次因式的积,∴整数p的值为5或-5或1或-1或0.方法归纳利用十字相乘法分解因式时,对于二次项系数为1

的二次三项式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),关键是“拆常数项,凑

一次项”.当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,

因数的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为负数时,把

它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号

与一次项系数的符号相同.5.(2024湖南衡阳月考)阅读并解决问题:分解因式:(a+b)2+2(a+b)+1.解:设a+b=x,则原式=x2+2x+1=(x+1)2=(a+b+1)2.这样的解题方法叫作“换元法”,即当复杂的多项式中,某一

部分重复出现时,我们用字母将其替换,从而简化这个多项式.

换元法是一个重要的数学方法,很多问题都能用换元法轻松

解决.请用“换元法”对下列多项式进行因式分解:(1)(m+n)2-18(m+n)+81.(2)(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4.

换元法解析

(1)设m+n=x,则原式=x2-18x+81=(x-9)2=(m+n-9)2.(2)设x2-4x+2=y,则原式=y(y+4)+4=y2+4y+4=(y+2)2=(x2-4x+2+2)2=[(x-2)2]2=(x-2)4.6.(2024湖南岳阳期中)阅读:换元法是一种重要的数学方法,是

解决数学问题的有力工具.下面是对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1

进行因式分解的解题思路:将“x2-2x”看成一个整体,令x2-2x=

m,则原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2,再将“m”还原为“x2

-2x”即可.解题过程如下:解:设x2-2x=m,则原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2-2x+1)2.问题:(1)以上解答过程并未彻底分解因式,请你直接写出最后的结果:_______.(2)请你模仿以上方法,将多项式(x2+6x)·(x2+6x+18)+81进行因

式分解.(3)换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用,请你

模仿以上方法尝试计算:

×

-

×

.

解析

(1)(x-1)4.(2)设x2+6x=y,则原式=y(y+18)+81=y2+18y+81=(y+9)2=(x2+6x+

9)2=(x+3)4.(3)设1+

+

+…+

=y,则

+

+…+

=y-1,∴原式=y

-

(y-1)=y2-

y-y2+y-

y+

=

.7.小刚有一道题目不会做,题目是“分解因式:x2+2x-3”,他去说:“能否变成平方差的形式?在原式上加上1,再

减去1,这样原式可化为(x2+2x+1)-4,…话没讲完,小刚

就恍然大悟,他做好了此题.(1)请你完成他分解因式的步骤.(2)运用这种方法分解因式:a2-2ab-3b2.

添项、拆项法解析

(1)x2+2x