专项素养综合全练　因式分解的六种常见方法

专项素养综合全练(五)因式分解的六种常见方法类型一提公因式法1.分解因式:(1)-3ma3+6ma2-12ma.(2)6p(p+q)-4q(q+p).(3)x(x-y)2-y(y-x).解析(1)-3ma3+6ma2-12ma=-3ma(a2-2a+4).(2)6p(p+q)-4q(q+p)=2(p+q)(3p-2q).(3)x(x-y)2-y(y-x)=(x-y)[x(x-y)+y]=(x-y)·(x2-xy+y).类型二公式法2.(2024四川德阳阶段练)计算或因式分解:(1)20202-4040×2019+20192.(2)4xy3-x3y.(3)2a3-4a2b+2ab2.(4)(x-y)2+4xy.解析(1)20202-4040×2019+20192=20202-2×2020×2019+20192=(2020-2019)2=1.(2)4xy3-x3y=xy(4y2-x2)=xy(2y+x)(2y-x).(3)2a3-4a2b+2ab2=2a(a2-2ab+b2)=2a(a-b)2.(4)(x-y)2+4xy=x2-2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=(x+y)2.类型三分组分解法3.把下列各式因式分解:(1)1+x+x2+x.(2)xy2-2xy+2y-4.(3)a2-b2+2a+1.解析(1)原式=(1+x)+(x2+x)=(1+x)+x(x+1)=(1+x)(1+x)=(1+x)2.(2)原式=(xy2-2xy)+(2y-4)=xy(y-2)+2(y-2)=(y-2)(xy+2).(3)原式=(a2+2a+1)-b2=(a+1)2-b2=(a+1+b)(a+1-b).类型四十字相乘法4.阅读理解:用“十字相乘法”分解因式5x2-2x-3.(Ⅰ)二次项系数5=1×5.(Ⅱ)常数项-3=-1×3=1×(-3),验算:“交叉相乘之和”.

①1×3+5×(-1)=-2;②1×(-1)+5×3=14;③1×(-3)+5×1=2;④1×1+5×(-3)=-14.(Ⅲ)发现①式“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数-2,

所以(x-1)(5x+3)=5x2+3x-5x-3=5x2-2x-3,故5x2-2x-3=(x-1)(5x+3).像这样,通过十字交叉线的帮助,把二次三项式分解因式的方

法,叫做十字相乘法.仿照此方法,分解因式:(1)6x2-7x+2.(2)2x2+5x-7.解析(1)∵2×(-2)+3×(-1)=-7,∴6x2-7x+2=(2x-1)(3x-2).(2)∵2×(-1)+1×7=5,∴2x2+5x-7=(2x+7)(x-1).类型五换元法5.(2024广西北海期中)阅读材料:在因式分解时,把多项式中

某些部分看做一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅

可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加

明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方

法称为“换元法”.例:用换元法对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)-7进行因式分解.解:设x2-4x=y,则原式=(y+1)(y+7)-7=y2+8y=y(y+8)=(x2-4x)(x2-4x+8)=x(x-4)·(x2-4x+8).根据上述材料,请你用“换元法”对多项式(x2+x)(x2+x+2)+(x2+x+1)(x2+x-1)+1进行因式分解.解析设x2+x=t,将x2+x=t代入(x2+x)(x2+x+2)+(x2+x+1)(x2+x-1)+1,得t(t+2)+(t+1)(t-1)+1,∴原式=t2+2t+t2-1+1=2t2+2t=2t(t+1)=2(x2+x)(x2+x+1)=2x(x+1)(x2+x+1).类型六拆、添项法6.阅读并解答.在分解因式x2-4x-5时,是这样做的:x2-4x-5=x2-4x+4-9(第一步)=(x-2)2-32(第二步)=(x-2+3)(x-2-3)(第三步)=(x+1)(x-5).(第四步)(1)从第一步到第二步运用了

公式.(2)从第二步到第三步运用了

公式.(3)仿照上面的方法分解因式:x2+2x-3.解析(1)完全平方.(2)平方差.(3)x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1).7.阅读下面文字内容:对于形如x2+2ax+a2的二次三项式,可以直接用完全平方公式

把它分解成(x+a)2的形式,但对于二次三项式x2+4x-5,就不能

直接用完全平方公式分解了.对此,我们可以添上一项4,使它

与x2+4x构成一个完全平方式,然后再减去4,这样整个多项式

的值不变,即x2+4x-5=(x2+4x+4)-4-5=(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=

(x+5)(x-1).像这样,把一个二次三项式变成含有完全平方式的

方法,叫做配方法.请用配方法解下列问题:(1)已知x2+y2-8x+12y+52=0,求(x+y)2的值.(2)求x2+8x+7的最小值.解析(1)由x2+y2-8x+12y+52=0,得(x2-8x+16)+(y2+12y+36)=0,

∴(x-4)2+(y+6)2=0,∴x-4=0,y+6=0,解得