中考数学测试题山东省济南市

第1页（共1页）2025年山东省济南市中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。1．（4分）（2025•济南）下列各数中为负数的是（）A．3 B．0 C．2 D．﹣12．（4分）（2025•济南）如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（）A． B． C． D．3．（4分）（2025•济南）2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（）A．9.611×103 B．96.11×103 C．9.611×104 D．0.9611×1054．（4分）（2025•济南）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．正方形 C．平行四边形 D．正五边形5．（4分）（2025•济南）下列运算正确的是（）A．m2•m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．2m+3n＝5mn D．（m2）3＝m56．（4分）（2025•济南）已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．a2＜b2 C．﹣a＞﹣b D．2a7．（4分）（2025•济南）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（）A．∠DAC＞∠EBA B．∠DAC＜∠EBA C．∠DAC＝∠EBA D．∠DAC+∠EBA＝60°8．（4分）（2025•济南）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（）A．14 B．13 C．12 9．（4分）（2025•济南）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM＝CN，分别以点M和N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点②分别以点C和D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点根据以上作图，若AD＝4，DB＝2，BC=32，则线段AEA．1123 B．112 C．5 10．（4分）（2025•济南）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；③-4④4a﹣2b+c＞0；⑤对于任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0．以上结论正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案。11．（4分）（2025•济南）已知一个正方形的面积为2，则其边长为．12．（4分）（2025•济南）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为．13．（4分）（2025•济南）如图，两条直线l1，l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点B，C，且l1∥l2．当∠1＝37°时，∠2＝°．14．（4分）（2025•济南）A，B两地相距100km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s（km）与骑车时间t（h）的关系如图所示，则他们相遇时距离A地km．15．（4分）（2025•济南）如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F．若CG＝4，EF=43，则AB＝三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（7分）（2025•济南）计算：(π-3)017．（7分）（2025•济南）解不等式组4-x＞18．（7分）（2025•济南）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC和AD上，且AF＝CE．求证：∠AEB＝∠CFD．19．（8分）（2025•济南）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上）（1）求两滑梯的高度差；（2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）20．（8分）（2025•济南）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长．21．（9分）（2025•济南）某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息：a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下：组别成绩/分人数（频数）A0≤x＜201B20≤x＜405C40≤x＜60mD60≤x＜8016E80≤x≤10020b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79请根据以上信息完成下列问题：（1）求随机抽取的学生人数；（2）统计表中的m＝，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为度；（3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为分；（4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数．22．（10分）（2025•济南）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．（1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．（2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？23．（10分）（2025•济南）一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y=kx(x＞0)的图象交于点A（m，6），与x轴交于点B（1）求m，k的值．（2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．①如图1，若点D的横坐标为4，连接AD，E为线段AD上一点，且AEED=1②如图2，M为线段OC上一点，且CM＝1，四边形OMDN是平行四边形，连接AN，若∠BAN＝45°，求点D的坐标．24．（12分）（2025•济南）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（3，1），B（0，﹣2）两点，顶点为G．（1）求二次函数的表达式和顶点G的坐标．（2）如图1，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度得到一个新函数的图象，当0≤x≤3时，新函数的最大值是8，求n的值．（3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿直线AB平移，点A，G的对应点分别为A′，G′，连接AG′，A′G，线段AG′与A′G交于点M．若tan∠BMG=13，请直接写出点G25．（12分）（2025•济南）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点O为AC的中点．在Rt△DBE中，∠DBE＝90°，DB＝3，BE＝4，连接EO并延长到点F，使OF＝EO，连接AF．初步感知：（1）如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，请完成填空：∠DAF＝°．ADAF=深入探究：（2）如图2，若将图1中的△DBE绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（0°＜α＜90°），连接AD，CE，AE，CF．①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．②当四边形AECF的面积最小时，求线段AD的长．

2025年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBC．BADCADA一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。1．（4分）（2025•济南）下列各数中为负数的是（）A．3 B．0 C．2 D．﹣1【考点】实数．【专题】实数；数感．【答案】D【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案．【解答】解：A、C中的数是正数，故A、C不符合题意；B、0不是正数也不是负数，故B不符合题意；D、﹣1是负数，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查实数，关键是掌握负数的概念．2．（4分）（2025•济南）如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【答案】B【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意从正面看到的所有棱都应表现在主视图中．【解答】解：由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是：故选：B．【点评】此题考查的是几何体主视图的判断，掌握主视图的定义是解决此题的关键．3．（4分）（2025•济南）2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（）A．9.611×103 B．96.11×103 C．9.611×104 D．0.9611×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；符号意识．【答案】C．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：96110＝9.611×104．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）（2025•济南）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．正方形 C．平行四边形 D．正五边形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．（4分）（2025•济南）下列运算正确的是（）A．m2•m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．2m+3n＝5mn D．（m2）3＝m5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】整式；运算能力．【答案】A【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可．【解答】解：A．m2•m3＝m5，计算正确；B．m6÷m2＝m4，原选项错误；C．2m与3n不是同类项，不能合并，原选项错误；D．（m2）3＝m6，原选项错误；故选：A．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．（4分）（2025•济南）已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．a2＜b2 C．﹣a＞﹣b D．2a【考点】不等式的性质．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案．【解答】解：A、a＞b，则a﹣1＞b﹣1，选项错误；B、a＞b，则a2C、a＞b，则﹣a＜﹣b，选项错误；D、a＞b，则a+a＞a+b，即2a＞a+b，选项正确，故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．7．（4分）（2025•济南）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（）A．∠DAC＞∠EBA B．∠DAC＜∠EBA C．∠DAC＝∠EBA D．∠DAC+∠EBA＝60°【考点】锐角三角函数的定义．【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．【答案】C【分析】根据正方形网格中小正方形的边长为1得AF＝6，DF＝4，BH＝3，EH＝2，∠AFD＝∠BHE＝90°，在Rt△ADF和Rt△BHE中，由正切函数定义得tan∠DAC＝tan∠EBA=32≠33，然后再根据∠DAC和∠EBA都是锐角得∠DAC【解答】解：如图所示：∵正方形网格中小正方形的边长为1，∴AF＝6，DF＝4，BH＝3，EH＝2，∠AFD＝∠BHE＝90°，在Rt△ADF中，tan∠DAC=DF在Rt△BHE中，tan∠EBA=EH∴tan∠DAC＝tan∠EBA，又∵∠DAC和∠EBA都是锐角，∴∠DAC＝∠EBA≠30°，∴∠DAC+∠EBA≠60°，故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形网格的特征和三角函数的定义是解决问题的关键．8．（4分）（2025•济南）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（）A．14 B．13 C．12 【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；推理能力；应用意识．【答案】A【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【解答】解：画树状图为：由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种，∴416故选：A．【点评】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．9．（4分）（2025•济南）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM＝CN，分别以点M和N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点②分别以点C和D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点根据以上作图，若AD＝4，DB＝2，BC=32，则线段AEA．1123 B．112 C．5 【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】作图题；推理能力．【答案】D【分析】根据作法得AD平分∠ACB，EF垂直平分CD，所以∠ECD＝∠FCD，CE＝DE，从而证明DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形性质可得ADAB【解答】解：连接DE，由作法得CD平分∠ACB，∴∠ECD＝∠FCD（角平分线的定义），∵EF垂直平分CD，∴CE＝DE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），∴∠ECD＝∠EDC，∴∠FCD＝∠EDC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC∴ADAB∵AD＝4，DB＝2，BC=32∴44+2∴DE=22∴CE=DE=22∴AEAE+2∴AE=42故选：D．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ABC是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．10．（4分）（2025•济南）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；③-4④4a﹣2b+c＞0；⑤对于任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0．以上结论正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．【专题】判别式法；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】结合题意画出函数图象，结合函数图象一一判断即可得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴a＜0，抛物线与x轴的交点为：（1，0）和（﹣3，0），图象如下所示：令y＝n﹣1，即把y＝n向下平移一个单位，再结合函数图象可知ax2+bx+c＝n﹣1（a≠0）有两个不相等的实数根，故ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；①正确，符合题意；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确，符合题意；∵抛物线与x轴的交点为：（1，0）和（3，0），∴二次函数为y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，∴m＝﹣3a，∵3＜m＜4，∴3＜﹣3a＜4，解得-43＜结合函数图象可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故④正确，符合题意，∵x=-b∴b＝2a，∴（t+1）（at﹣a+b）＝（t+1）（at﹣a+2a）＝a（t+1）（t+1）＝a（t+1）2，∵a＜0，（t+1）2≥0，∴a（t+1）2≤0，即故⑤正确，符合题意，综上：①②③④⑤正确，故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案。11．（4分）（2025•济南）已知一个正方形的面积为2，则其边长为2．【考点】算术平方根．【专题】实数；数感．【答案】2【分析】正方形的面积等于边长的平方，因此正方形的边长即可所求．【解答】解：设正方形的边长是x（x＞0），∵正方形的面积为2，∴x2＝2，∴x=2∴正方形的边长为2．故答案为：2【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．12．（4分）（2025•济南）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为29【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】29【分析】直接利用概率公式求解即可．【解答】解：不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，球的总数为：2+3+4＝9（个），所以从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为22+3+4故答案为：29【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=m13．（4分）（2025•济南）如图，两条直线l1，l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点B，C，且l1∥l2．当∠1＝37°时，∠2＝97°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】97．【分析】先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解．【解答】解：如图，正六边形内角和为：（6﹣2）×180°＝720°，∴∠ABC=1∵∠1＝37°，∴∠3＝∠ABC﹣∠1＝120°﹣37°＝83°，∵l1∥l2，∴∠3+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣83°＝97°，故答案为：97．【点评】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．14．（4分）（2025•济南）A，B两地相距100km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s（km）与骑车时间t（h）的关系如图所示，则他们相遇时距离A地3007km【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】3007【分析】设甲的函数图象为s＝k1t，乙的函数图象为s＝k2t+100，结合图形进而确定两函数解析式；利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可．【解答】解：甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为（0，100），∴设甲的函数图象为s＝k1t，乙的函数图象为s＝k2t+100，则30＝2k1，80＝k2+100，解得k1＝15，k2＝﹣20，∴甲的函数图象为s＝15t，乙的函数图象为s＝﹣20t+100，联立s=15ts=-20t+100解得t=20故答案为：3007【点评】本题考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键．15．（4分）（2025•济南）如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F．若CG＝4，EF=43，则AB＝2+25【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】2+25【分析】由折叠性质可知AG⊥EF，进而利用同角的余角相等证明∠GAE＝∠NFE，由此即可得出△ADG≌△FNE（ASA），进而确定AG＝EF．在Rt△ADG中，根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：如图，连接AG，过点F作FN⊥AD，垂足为N，则∠FNA＝∠FNE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴四边形ABFN是矩形，∴NF＝AB＝AD，由折叠可知AG⊥EF，∴∠GAE+∠AEF＝∠NFE+∠AEF＝90°，∴∠GAE＝∠NFE，又∵∠FNE＝∠D＝90°，∴△ADG≌△FNE（ASA），∴AG＝EF，∵EF=4∴AG=EF=43设正方形边长为x，则AB＝AD＝CD＝x，∵CG＝4，∴DG＝CD﹣CG＝x﹣4，在Rt△ADG中，AG2＝DG2+AD2，即(x-4)∴x2﹣8x+16+x2＝48，2x2﹣8x﹣32＝0，x2﹣4x﹣16＝0，解得：x=2+25或x=2-2∴AB=2+25故答案为：2+25【点评】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明AG＝EF是解题关键．三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（7分）（2025•济南）计算：(π-3)0【考点】实数的运算．【专题】实数；运算能力．【答案】8-2【分析】先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算．【解答】解：原式＝1+112+＝1+2+5+2-＝8+2-＝8-2【点评】本题考查实数的运算，关键是掌握实数的运算法则．17．（7分）（2025•济南）解不等式组4-x＞【考点】一元一次不等式组的整数解．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．【答案】﹣2＜x＜4，整数解为：﹣1，0，1，2，3．【分析】分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x＜4，综上，﹣2＜x＜4，∴所有整数解解为﹣1，0，1，2，3．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，解题的关键是掌握相关知识．18．（7分）（2025•济南）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC和AD上，且AF＝CE．求证：∠AEB＝∠CFD．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】多边形与平行四边形．【答案】∵四边形ABCD平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AD∥BC，AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠DAE＝∠CFD，∴∠AEB＝∠CFD．【分析】由AD∥BC可得∠DAE＝∠AEB，再证四边形AFCE是平行四边形，推出AE∥CF，∠DAE＝∠CFD，等量代换即可得出∠AEB＝∠CFD．【解答】证明：∵四边形ABCD平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AD∥BC，AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠DAE＝∠CFD，∴∠AEB＝∠CFD．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．19．（8分）（2025•济南）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上）（1）求两滑梯的高度差；（2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】（1）2.50m；（2）36.69m．【分析】（1）通过解Rt△ABC，求出AC，再通过AC﹣DF即可求出两滑梯的高度差；（2）通过解Rt△ABC，求出BC，通过解Rt△EFD，求出EF，再通过BE＝BC+CF+EF，代入数值计算即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，∵sin∠B=AC∴AC＝AB×sin∠B＝AB×sin40°≈21×0.643＝13.503m，∴AC﹣DF＝13.503﹣11＝2.503≈2.50m，答：两滑梯高度差为2.50m；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，∵cos∠B=BC∴BC＝ABcos∠B＝ABcos40°≈21×0.766＝16.086m，在Rt△EFD中，∠DEF＝90°，∠DEF＝32°，∵tan∠DEF=DF∴EF=DF∴BE＝BC+CF+EF＝16.086+3+17.6＝36.686≈36.69m，答：BE长36.69m．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．20．（8分）（2025•济南）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长．【考点】切线的判定与性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）连接OC，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∵OP∥AC，∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP，∴∠COP＝∠BOP，∵OP＝OP，OC＝OB，∴△COP≌△BOP（SAS），∴∠OCP＝∠OBP＝90°，∴OC⊥PC，∴PC与⊙O相切；（2）185【分析】（1）连接OC，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得∠COP＝∠BOP，进而证明△COP≌△BOP（SAS），推出∠OCP＝∠OBP＝90°，即可证明PC与⊙O相切；（2）由△COP≌△BOP（SAS）可推出OP垂直平分BC，利用等面积法求出BD，进而求出BC，由圆周角定理得∠ACB＝90°，最后用勾股定理解Rt△ACB即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∵OP∥AC，∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP，∴∠COP＝∠BOP，∵OP＝OP，OC＝OB，∴△COP≌△BOP（SAS），∴∠OCP＝∠OBP＝90°，∴OC⊥PC，∴PC与⊙O相切；（2）解：连接BC交OP于点D，∵△COP≌△BOP，∴PC＝PB，OB＝OC，∴OP垂直平分BC，∵AO＝BO＝3，OP＝5，∠OBP＝90°，∴BP=O∵S△OBP∴BD=OB⋅BP∴BC=2BD=24∵AB是⊙O的直径，∴AB＝2OA＝6，∠ACB＝90°，∴AC=A【点评】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．21．（9分）（2025•济南）某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息：a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下：组别成绩/分人数（频数）A0≤x＜201B20≤x＜405C40≤x＜60mD60≤x＜8016E80≤x≤10020b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79请根据以上信息完成下列问题：（1）求随机抽取的学生人数；（2）统计表中的m＝8，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为144度；（3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分；（4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数．【考点】扇形统计图；中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】（1）50人；（2）8，144；（3）70；（4）576人．【分析】（1）用B组人数除以所占百分比即为所求；（2）m等于总人数减去其它各组的人数，E组人数占总人数的比例乘以360度即为对应的圆心角的度数；（3）根据中位数的定义求解；（4）利用样本估计总体即可求解．【解答】解：（1）5÷10%＝50（人），即随机抽取的学生人数为50人；（2）m＝50﹣1﹣5﹣16﹣20＝8，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：2050故答案为：8，144；（3）∵1+5+8＜25，1+5+8+16＞26，∴从小到大排列第25和26人在D组，结合D组数据可得第25和26人成绩均为70分，∴抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分，故答案为：70；（4）800×16+20即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人．【点评】本题考查频数分布表，扇形统计图，求中位数，利用样本估计总体等：22．（10分）（2025•济南）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．（1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．（2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元（2）购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为（x+300）元，根据题意，得50000x（2）根据题意，甲型健身器材买了a个，则购买乙型健身器材数量为（20﹣a）个，且a≤3（20﹣a），根据题意，得w＝2800（20﹣a）+2500a＝﹣300a+56000，解答即可．【解答】解：（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为（x+300）元，50000xx＝2500，经检验，x＝2500是原方程的根．此时x+300＝2800，答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．（2）甲型健身器材买了a个，a≤3（20﹣a）即a≤15，且a为正整数，w＝2800（20﹣a）+2500a＝﹣300a+56000，由k＝﹣300＜0，得w随a的增大而减小，故当a＝15时，w取得最小值，且最小值为w＝﹣300×15+56000＝51500（元），故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．【点评】本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键．23．（10分）（2025•济南）一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y=kx(x＞0)的图象交于点A（m，6），与x轴交于点B（1）求m，k的值．（2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．①如图1，若点D的横坐标为4，连接AD，E为线段AD上一点，且AEED=1②如图2，M为线段OC上一点，且CM＝1，四边形OMDN是平行四边形，连接AN，若∠BAN＝45°，求点D的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）将点A（m，6）代入一次函数y＝2x+4求得m＝1，结合点A（1，6）在反比例函数y=kx(x（2）①过点A作AH⊥x轴交于点H，过点E作EM⊥AH交于点M，过点D作DN⊥AH交于点N，则△MAE∽△NAD，有AMAN=MEND，进一步求得点D的坐标，结合已知比例可求得DN＝3和ME＝1，以及②根据一次函数y＝2x+4求得点C（0，4），即可知点M（0，3），过点C作CP⊥AB交AN于点P，过点P作PK⊥y轴于点K，过点A作AG⊥y轴于点G，则△ACP为等腰直角三角形，且△GAC≌△KCP，则AG＝CK＝1，CG＝PK＝2，进一步判定点M与点K重合，由待定系数法求得直线AN的解析式y＝﹣3x+9，设点N（m，﹣3m+9），结合平行四边形的性质求得点D（m，﹣3m+12），代入反比例函数即可求得m，即可知点D．【解答】解：（1）由题意可知，点A（m，6）在一次函数y＝2x+4的图象上，则6＝2m+4，解得m＝1，∵点A（1，6）在反比例函数y=k∴6=k1，解得k＝则m＝1，k＝6；（2）①过点A作AH⊥x轴交于点H，过点E作EM⊥AH交于点M，过点D作DN⊥AH交于点N，如图，则∠AME＝∠AND＝90°，∴ME∥ND，∴△MAE∽△NAD，∴AMAN∵点D的横坐标为4，∴点D的纵坐标为y=6∵AEED∴AEAD∴AMAN∵xD＝4，xA＝1，∴DN＝3，则ME3=13，解得∴xE＝1+1＝2，∵yA∴AN=6-3∴AM92=则yE那么，点E(2，②一次函数y＝2x+4的图象与y轴交于点C，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），∵CM＝1，∴M（0，3），过点C作CP⊥AB交AN于点P，过点P作PK⊥y轴于点K，过点A作AG⊥y轴于点G，如图，则∠AGC＝∠CKP＝90°，∵∠GAC+∠ACG＝∠ACG+∠PCK＝90°，∴∠GAC＝∠PCK，∵∠BAN＝45°，∴△ACP为等腰直角三角形，∴AC＝CP，则△GAC≌△KCP（AAS），∵点A（1，6），C（0，4）∴AG＝CK＝1，CG＝PK＝2，∵CM＝1，∴点M与点K重合，OM＝3，∴点P（2，3），设直线AN的解析式为y＝kx+b（k≠0），则3=2k+b6=k+b，解得k=-3∴y＝﹣3x+9，设点N（m，﹣3m+9），∵四边形OMDN是平行四边形，∴xD＝0+m﹣0＝m，yd＝3﹣3m+9＝﹣3m+12，则D（m，﹣3m+12），∵D为反比例函数图象上的一点，∴-3m+12=6m，解得m=2+2∵D的横坐标大于1，∴m=2+2∴-3m+12=-3(2+2故点D(2+2【点评】本题主要考查函数和三角形的结合，涉及一次函数与坐标轴的交点、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和解一元二次方程，题目综合性较强，难度偏高，解题的关键是熟悉函数性质和平行四边形的性质．24．（12分）（2025•济南）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（3，1），B（0，﹣2）两点，顶点为G．（1）求二次函数的表达式和顶点G的坐标．（2）如图1，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度得到一个新函数的图象，当0≤x≤3时，新函数的最大值是8，求n的值．（3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿直线AB平移，点A，G的对应点分别为A′，G′，连接AG′，A′G，线段AG′与A′G交于点M．若tan∠BMG=13，请直接写出点G【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣2，顶点G的坐标为（1，﹣3）；（2）n=-1+11或n=-2+（3）G'(1+10，-3+【分析】（1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标；（2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式为：y＝（x﹣1﹣n）2﹣3找y＝（x﹣1+n）2﹣3，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系分类讨论即可；（3）分成两种情况进行讨论，抛物线沿射线AB方向或射线BA方向平移．沿射线BA方向平移，求出直线AB的解析式为y＝x﹣2，由直线性质可知图象沿上下方向与左右方向平移相同的单位，设向上、向右平移了m个单位，可得A'（3+m，1+m），G'（1+m，﹣3+m），由平移性质可证四边形A'AGG'是平行四边形，推出交点M坐标为M(m+42，m-22)，可证明△ABG为直角三角形且tan∠BAG=13，根据tan∠BMG=13，可得A、B、G、M四点共圆，是在以AG为直径的圆上，可求AG中点P（2，﹣1），根据PM=PA=12AG=5，列方程即可求得m【解答】解：（1）将A（3，1），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，9+3b+c=1c=-2解得b=-2c=-2∴y＝x2﹣2x﹣2，∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，∴当x＝1时，y取最小值，最小值为﹣3，∴顶点G的坐标为（1，﹣3）．（2）a．当抛物线向右平移时，根据平移规律可得新抛物线解析式为：y＝（x﹣1﹣n）2﹣3，对称轴为直线x＝n+1，∵n＞0，∴n+1＞1，分情况讨论：①当1＜n+1≤3直线x＝3与抛物线交点M纵坐标最大，将x＝3，y＝8代入解析式得8＝（3﹣1﹣n）2﹣3，解得n=2±11，与0②当n+1＞32直线x＝0与抛物线交点N纵坐标最大，将x＝0，y＝8代入解析式得8＝（0﹣1﹣n）2﹣3，解得n1=-1-11n2b．当抛物线向左平移时，根据平移规律可得新抛物线解析式为：y＝（x﹣1+n）2﹣3，对称轴为直线x＝1﹣n，∵n＞0，∴1﹣n＜1，∴当x＝3时，y取最大值8，代入解析式得：8＝（3﹣1+n）2﹣3，解得：n1=-2+11综上可知，n=-1+11或n=-2+（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（3，1），B（0，﹣2）代入得，3k+b=1b=-2解得k=1b=-2∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，图象沿直线AB平移时，上下与左右平移的距离相等，设向上，向右平移m个单位，∴A′（3+m，1+m），G′（1+m，﹣3+m），由平移得AA′＝GG′，AA′∥GG′，∴四边形A′AGG′是平行四边形，∵线段AG′与A′G交于点M，∴M(m+4a．如图，抛物线沿射线BA平移，∵A（3，1），B（0，﹣2），G（1，﹣3），∴由勾股定理可得AB=32，BG=2，∴AB2+BG2＝AG2，∴∠ABG＝90°，且tan∠BAG=B