中考数学测试压轴训练3

第1页（共1页）2026年菁优中考数学压轴训练3一．选择题（共9小题）1．（2025•游仙区校级模拟）如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a4+a200＝（）A．20110 B．20111 C．20112 D．201132．（2025•沙坪坝区校级二模）用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有3个三角形，第③个图案中有5个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数是（）A．12 B．13 C．14 D．153．（2025•南岸区校级模拟）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，a1有1根，a2有3根，a3有7根…照此规律摆下去，a7的火柴棒根数是（）根．A．23 B．63 C．127 D．1294．（2025•保定二模）如图，在数轴上有一动点P，将点P沿数轴做如下移动，第一次点P向右平移2个单位长度到达点P1，第二次将点P1向左移动4个单位长度到达P2，第三次将点P2向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点Pn，甲、乙、丙三位同学给出以下结论：甲：若P1、P2互为相反数，则点P表示0；乙：若点P表示﹣1，点Pn到原点的距离为15，则n＝15；丙：当n为奇数时|Pn﹣Pn﹣1|＝2n；对于三人的观点，以下说法正确的是（）A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对5．（2025•九龙坡区校级二模）用正六边形瓷砖来铺设地板，以一块正六边形瓷砖为中心，按环状铺设，每次铺设时最外侧的边需一块新的正六边形瓷砖与它衔接，如图①铺设一环需1块正六边形瓷砖，如图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，如图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，如图④铺设四环需37块正六边形瓷砖，按此规律排列下去，则铺设六环需（）块正六边形瓷砖．A．81 B．91 C．96 D．1876．（2025•江北区校级一模）如图，用相同幸运星图案“”按一定规律排列成如图形，其中图形①有1个幸运星，图形②有5个幸运星，图形③有9个幸运星…按此规律排列，则图形⑥的中幸运星图案个数为（）A．21 B．22 C．23 D．247．（2025•九龙坡区模拟）将几个正整数排成一列数M：a1，a2，a3，…，an，其中n为正整数且n≥2，每次进行以下操作之一：操作一：将其中一个数删除；操作二：将其中一个数变为比该数更小的正整数；操作三：将其中一个数变为两个正整数，且两个正整数之和小于原来的正整数；现甲、乙二人对这些数按照甲一乙一甲一乙一……的顺序轮流进行操作，规定最后操作将所有数删除的人获胜．下列说法：①若M：1，4，则甲第一次操作后可能产生6种不同的结果；②若M：2，3，甲、乙二人共经过k次操作后将所有数都删除，且上述三种操作至少各进行了一次，则k＝4或5；③若M：1，2，2，则甲有必胜策略．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（2025•大姚县模拟）按一定规律排列的代数式：﹣2x，3x2，﹣4x3，5x4，﹣6x5，•••，第n个代数式是（）A．（n+1）xn+1 B．（n+1）xn C．（﹣1）n（n+1）xn D．（﹣1）n+1（n+1）xn9．（2025•金乡县三模）干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支；属相的计算方法与地支一致．123456789101112…天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…属相鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪…依据上述规律推断，2037年为（）A．戊酉鸡 B．丁巳蛇 C．丙申猴 D．己辰龙二．填空题（共11小题）10．（2025•碑林区校级四模）“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第①个图形用了8根火柴棒，第②个图形用了14根火柴棒，第③个图形用了20根火柴棒，…，则第个图形需要的火柴棒的根数为（结果用含n的式子表示）．11．（2025•长沙一模）如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第2025个正方形的面积为．12．（2025•天山区校级三模）若a2﹣a﹣1＝0，则代数式3a2﹣3a+7的值为．13．（2025•任城区二模）对于正数x，规定f（x）=x1+x，例如f（2）=21+2=23，则f(12025)+f(12024)+⋯+f(12)+f（114．（2025•碑林区校级模拟）数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有n个点时，可分得三角形的个数为．15．（2025•海伦市模拟）如图，已知∠MON＝30°，点A1在射线ON上，过点A1作A1B1⊥ON交OM于点B，过点B1作B1A2⊥OM交ON于点A2，过点A2作A2B2⊥ON交OM于点B2，过点B2作B2A3⊥OM交ON于点A3，若OA1=3，A2025B2025的长为16．（2025•五华区一模）求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中记载了求两个正整数最大公约数的一种方法——“更相减损术”．原文意思是，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．例如：求168与72的最大公约数，运算步骤如下：第一步：168﹣72＝96；第二步：96﹣72＝24；第三步：72﹣24＝48；第四步：48﹣24＝24．经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24．若两个正整数经过“更相减损术”的三步运算，所求得的最大公约数为a，且这两个数中的一个大于另一个的3倍，则这两个正整数中较大的数是．（用含a的代数式表示）17．（2025•厦门模拟）某镇为发展农业经济，对10km的农产品运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的akm/h提升到32akm/h.计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为.（用含18．（2025•碑林区校级模拟）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，通常根据碳原子的个数被命名为甲烷，乙烷，丙烷…（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷，十二烷…）．甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十三烷的化学式为．19．（2025•渝中区二模）在一组互不相等的正整数a1，a2，a3，⋯，an中任意提取m（1＜m＜n）个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为1+2+3+4+5＝15，（1+2+4）+1×2×4＝15，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，则提取的数字可以是（写一种情况即可），共有种完美提取（注：提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．20．（2025•大兴区一模）小瑞同学打开一盒全新的扑克牌，里面有54张普通牌和一张广告牌．他要用这些牌玩一个游戏，先将所有的牌随机分成五堆，清点后分别为6张，11张，16张，13张，9张，将每堆牌的张数由小到大排序后用有序数组记为（6，9，11，13，16）．接下来开始进行第一次操作：从每堆牌中分别抽取一张，抽出的牌组成新的一堆牌，这时将每堆牌的张数由小到大进行排序，记录下新的有序数组（若在某次操作中某一堆牌抽取后剩余牌的张数为0时，此时0不写入该有序数组，该堆自动消失）．重复上述方法进行第二次操作，第三次操作…（1）写出第二次操作后记录的有序数组；（2）经过若干次这样的操作后，小瑞同学发现记录的有序数组不再发生变化，这时的牌有堆．三．解答题（共5小题）21．（2025•安徽二模）在汪老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动．【观察发现】老师提供了下列一组等式：第1个等式：2×1+1＝22﹣12；第2个等式：2×2+1＝32﹣22；第3个等式：2×3+1＝42﹣32；第4个等式：2×4+1＝52﹣42；…第n个等式可写为：2n+1＝（n+1）2﹣n2．睿明同学将这n个等式两边分别相加，可得到公式：1+2+3+…+n＝．【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式．第1个等式：3×（12+1）+1＝23﹣13；第2个等式：3×（22+2）+1＝33﹣23；第3个等式：3×（32+3）+1＝43﹣33；第4个等式：3×（42+4）+1＝53﹣43；…【问题解决】（1）请你补充完整睿明同学发现的公式；（2）请你写出【类比推广】中的第5个等式：；猜想第n个等式：，并证明这个猜想；（3）请你根据上述探究思路和成果，直接写出关于12+22+32+⋯+n2的公式．22．（2025•盐池县一模）某公司对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：燃油车纯电新能源车油箱容积：48升电池容量：90千瓦时油价：8元/升电价：0.6元/千瓦时（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．请分别求出这两款车的每千米行驶费用．23．（2025•合肥一模）宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞”数字，数学兴趣小组在研究“黑洞”数字时，在0到9之间，任取一组不全相等的三个数字，从大到小排列得到最大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，再按照上述方式重新排列，再相减，再得到一个新数…一直重复操作，例如．第1组：数字1，2，0，则210﹣12＝198；第2组：数字1，9，8，则981﹣189＝792；第3组：数字7，9，2，则972﹣279＝693；第4组：数字6，9，3，则．（1）根据规律，补充第4组横线的内容；（2）小组成员A发现：任取这样一组不全相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个固定的“黑洞“数字，这个数是；（3）小组成员B发现：在上述“重排求整“操作中，最大数和最小数的差能被99整除，推过程如下：设一组三个数字为a，b，c，不妨设a≥b≥c，且a，b，c不全相等，最大数可表示为，最小数可表示为，则最大数﹣最小数＝99（），所以最大数和最小数的差能被99整除．24．（2025•合肥一模）在数学活动课中．某兴趣小组研究一种公式，写出了下列几组等式：第1个等式：23﹣13﹣3×2×1＝（2﹣1）3；第2个等式：33﹣23﹣3×3×2＝（3﹣2）3；第3个等式：43﹣33﹣3×4×3＝（4﹣3）3；…（1）根据上述等式规律：（ⅰ）第4个等式为：53﹣43﹣3×5×4＝（﹣）3；（ⅱ）第n个等式为：．（2）小组成员小明和小华进一步探索上述规律：小明同学猜想a3﹣b3﹣3ab＝（a﹣b）3，其中a，b为正整数．小华同学提出反对意见，并通过如下计算进行了证明：（a﹣b）3＝a3﹣b3﹣3ab（①）∴a3﹣b3﹣3ab不一定等于（a﹣b）3．请你补全①中所缺内容，并直接写出当小明同学猜想成立时，a、b需要满足的数量关系．25．（2025•庐阳区校级一模）阅读与思考下面是七年级某同学笔记整理本节选，请仔细阅读并完成相应的任务．求1+2+3+…+（n﹣1）+n（n为正整数）方法方法1：“头尾相加法”把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2．S＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，S＝n+（n﹣1）+（n﹣2）+2+1，2S＝（n+1）+（n+1）+（n+1）+…+（n+1）+（n+1）．可得S=n(n+1)即：1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)方法2：“递归法”由完全平方公式可得（n+1）2＝n2+2n+1，∴（n+1）2﹣n2＝2n+1．我们列出特殊情况：22﹣12＝2×1+1：32﹣22＝2×2+1；42﹣32＝2×3+1；…（n+1）2﹣n2＝2n+1．两边分别相加可得，（n+1）2﹣12＝2S+n．∴S=(n+1)试用这些方法和结果，可以解决问题．任务1计算：2+4+6+…+2026＝；任务2我们知道：22﹣21＝21；23﹣22＝22；24﹣23＝23；…则21+22+23+…+2100＝．任务3若1×2=1请仿写下去，并求1×2+2×3+3×4+…+167×168的值．

2026年菁优中考数学压轴训练3参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）题号123456789答案ABCCBABCB一．选择题（共9小题）1．（2025•游仙区校级模拟）如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a4+a200＝（）A．20110 B．20111 C．20112 D．20113【考点】规律型：数字的变化类；数学常识．【专题】规律型；运算能力．【答案】A【分析】对于这类题，遵循由特殊到一般的原则，这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第n﹣1个数大n；所以从特殊入手，a1＝1，a2＝1+2，a3＝3+3＝1+2+3，a4＝6+4＝1+2+3+4，…，由此得出一般规律：an＝1+2+3+4+…+n，从而可求得结果．【解答】解：这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第n﹣1个数大n，所以a1＝1，a2＝1+2，a3＝3+3＝1+2+3，a4＝6+4＝1+2+3+4，…，an＝1+2+3+4+…+n．∴a200＝1+2+3+4+5+…+198+199+200=1从而a4+a200＝10+20100＝20110；故选：A．【点评】本题是一个规律探索题，掌握探究的方法是解本题的关键．2．（2025•沙坪坝区校级二模）用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有3个三角形，第③个图案中有5个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数是（）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；运算能力．【答案】B【分析】根据前三个图形中三角形的个数分别为2×1﹣1＝1，2×2﹣1＝3，2×3﹣1＝5个，得出第n个图形三角形为（2n﹣1）个，即可得答案．【解答】解：∵第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有3个三角形，第③个图案中有5个三角形第④个图案中有7个三角形……，∴第n个图形中三角形的个数为（2n﹣1）个，∴第⑦个图案中三角形的个数是2×7﹣1＝13，故选：B．【点评】本题考查图形类变化，正确找出规律是解题关键．3．（2025•南岸区校级模拟）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，a1有1根，a2有3根，a3有7根…照此规律摆下去，a7的火柴棒根数是（）根．A．23 B．63 C．127 D．129【考点】规律型：图形的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】C【分析】根据所给图形，依次求出火柴棒的根数，发现规律即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，a1的火柴棒根数为：1＝21﹣1；a2的火柴棒根数为：3＝22﹣1；a3的火柴棒根数为：7＝23﹣1；…，所以an的火柴棒可表示为（2n﹣1）根．当n＝7时，a7的火柴棒根数为：27﹣1＝127（根）．故选：C．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需火柴棒根数的变化规律是解题的关键．4．（2025•保定二模）如图，在数轴上有一动点P，将点P沿数轴做如下移动，第一次点P向右平移2个单位长度到达点P1，第二次将点P1向左移动4个单位长度到达P2，第三次将点P2向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点Pn，甲、乙、丙三位同学给出以下结论：甲：若P1、P2互为相反数，则点P表示0；乙：若点P表示﹣1，点Pn到原点的距离为15，则n＝15；丙：当n为奇数时|Pn﹣Pn﹣1|＝2n；对于三人的观点，以下说法正确的是（）A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对【考点】规律型：数字的变化类；数轴；绝对值．【专题】规律型；运算能力．【答案】C【分析】根据题意分别求出P1表示的数，P2表示的数，P3表示的数，P4表示的数，P5表示的数，P6表示的数，找出规律逐一判断即可．【解答】解：甲：设点P表示x，则P1表示的数为x+2，P2表示的数为x﹣2，P1、P2互为相反数，∴x+2+x﹣2＝0，解得：x＝0，∴点P表示0，故甲说法正确；乙：∵点P表示﹣1；∴P1表示的数为1；P2表示的数为﹣3；P3表示的数为3；P4表示的数为﹣5P5表示的数为5；P6表示的数为﹣7；⋯；∴当n为奇数时，Pn＝n；当n为偶数时，Pn∵点Pn到原点的距离为15，∴n＝15或n＝14，故乙说法错误；丙：设点P表示x，∴P1表示的数为x+2；P2表示的数为x+2﹣4＝x﹣2；P3表示的数为x﹣2+6＝x+4；P4表示的数为x+4﹣8＝x﹣4；P5表示的数为x﹣4+10＝x+6；P6表示的数为x+6﹣12＝x﹣6；⋯；∴当n为奇数时，Pn＝x+n+1；当n为偶数时，Pn＝x﹣n；∴|Pn﹣Pn﹣1|＝|x+n+1﹣（x﹣n+1）|＝2n，故丙说法正确；综上可知：甲、丙对，乙不对，故选：C．【点评】本题考查了数字规律，一元一次方程的应用，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题的关键．5．（2025•九龙坡区校级二模）用正六边形瓷砖来铺设地板，以一块正六边形瓷砖为中心，按环状铺设，每次铺设时最外侧的边需一块新的正六边形瓷砖与它衔接，如图①铺设一环需1块正六边形瓷砖，如图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，如图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，如图④铺设四环需37块正六边形瓷砖，按此规律排列下去，则铺设六环需（）块正六边形瓷砖．A．81 B．91 C．96 D．187【考点】规律型：图形的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】B【分析】根据所给图形，依次求出图形中六边形瓷砖的块数，发现规律即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，铺设一环需要的六边形瓷砖块数为：1；铺设二环需要的六边形瓷砖块数为：7＝1+1×6；铺设三环需要的六边形瓷砖块数为：19＝1+1×6+2×6；铺设四环需要的六边形瓷砖块数为：37＝1+1×6+2×6+3×6；…，所以铺设n环需要的六边形瓷砖块数为：1+1×6+2×6+…+6（n﹣1）＝3n（n﹣1）+1．当n＝6时，3n（n﹣1）+1＝3×6×5+1＝91（块），即铺设六环需要的六边形瓷砖块数为91块．故选：B．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需六边形瓷砖块数变化的规律是解题的关键．6．（2025•江北区校级一模）如图，用相同幸运星图案“”按一定规律排列成如图形，其中图形①有1个幸运星，图形②有5个幸运星，图形③有9个幸运星…按此规律排列，则图形⑥的中幸运星图案个数为（）A．21 B．22 C．23 D．24【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；运算能力．【答案】A【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解．【解答】解：∵第①个图案幸运星个数为1，第②个图案幸运星个数为5，第③个图案幸运星个数9，第④个图案幸运星个数13，第⑤个图案幸运星个数17，…，则第⑥个图案三角形个数为1+4×（6﹣1）＝21，故选：A．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中幸运星个数，找出第n个幸运星个数为4（n﹣1）+1是解题的关键．7．（2025•九龙坡区模拟）将几个正整数排成一列数M：a1，a2，a3，…，an，其中n为正整数且n≥2，每次进行以下操作之一：操作一：将其中一个数删除；操作二：将其中一个数变为比该数更小的正整数；操作三：将其中一个数变为两个正整数，且两个正整数之和小于原来的正整数；现甲、乙二人对这些数按照甲一乙一甲一乙一……的顺序轮流进行操作，规定最后操作将所有数删除的人获胜．下列说法：①若M：1，4，则甲第一次操作后可能产生6种不同的结果；②若M：2，3，甲、乙二人共经过k次操作后将所有数都删除，且上述三种操作至少各进行了一次，则k＝4或5；③若M：1，2，2，则甲有必胜策略．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型．【答案】B【分析】根据题意，得要进行操作三，则最大项的数值必须大于等于3；若要进行操作二，则最大项的数值必须大于等于2；进行操作二不改变数列的项数．【解答】解：①当甲进行操作一时，会产生2种不同的结果，M：1或M：4，当甲进行操作二时，会产生3种不同的结果，M：1，3或M：1，2或M：1，1，当甲进行操作三时，会产生2种结果，M：1，1，2或M：1，1，1，因此甲第一次操作后可以产生7种不同的结果，故①错误；②在数列M中，只有a2项能进行操作三，并要求三种操作至少各进行了一次，进行操作三后，项数为3，A：2，1，1，当第二步先进行操作一时，只能删除为1的项，此时k＝1（操作三）+1（操作二）+4（操作一）＝6，当第二步先进行操作二时，k＝1（操作三）+1（操作二）+3（操作一）＝5，因此k＝5或6，故②错误；③根据题意可知，若数列M有奇数个项，甲、乙逐个消去，最终甲执行最后一次操作，有偶数个项逐个消去，最终乙执行最后一次操作，执行操作二、操作三不影响最终结果，∵M：1，2，2，为奇数项且最多可执行2（偶数）次操作二，∴能确保甲最后将所有项消除，只需保证进行偶数次操作二即可，故③正确，故选：B．【点评】本题主要考查了数列的应用和逻辑推理，熟练掌握逻辑推理是解题的关键．8．（2025•大姚县模拟）按一定规律排列的代数式：﹣2x，3x2，﹣4x3，5x4，﹣6x5，•••，第n个代数式是（）A．（n+1）xn+1 B．（n+1）xn C．（﹣1）n（n+1）xn D．（﹣1）n+1（n+1）xn【考点】规律型：数字的变化类；单项式．【专题】规律型；运算能力．【答案】C【分析】观察可知第n个单项式的系数的绝对值为n+1，次数为n，当n为奇数时，系数的符号为负，当n为偶数时，系数的符号为正，据此规律可得答案．【解答】解：发现规律：第n个单项式的系数的绝对值为n+1，次数为n，当n为奇数时，系数的符号为负，当n为偶数时，系数的符号为正，则第n个代数式是（﹣1）n（n+1）xn，故选：C．【点评】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，发现规律是关键．9．（2025•金乡县三模）干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支；属相的计算方法与地支一致．123456789101112…天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…属相鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪…依据上述规律推断，2037年为（）A．戊酉鸡 B．丁巳蛇 C．丙申猴 D．己辰龙【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型；运算能力．【答案】B【分析】根据题中的计算方法进行计算求解即可．【解答】解：根据题中的计算方法进行计算可得：天干为（2037﹣3）÷10＝203⋯⋯4，地支为（2037﹣3）÷12＝169⋯⋯6，所以2037年为农历丁巳蛇年．故选：B．【点评】本题考查了数字的变化类，有理数运算，找到变化规律是解题的关键．二．填空题（共11小题）10．（2025•碑林区校级四模）“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第①个图形用了8根火柴棒，第②个图形用了14根火柴棒，第③个图形用了20根火柴棒，…，则第个图形需要的火柴棒的根数为6n+2（结果用含n的式子表示）．【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】6n+2．【分析】根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，第①个图形需要的火柴棒根数为：8＝1×6+2；第②个图形需要的火柴棒根数为：14＝2×6+2；第③个图形需要的火柴棒根数为：20＝3×6+2；…，所以第个图形需要的火柴棒根数为（6n+2）个．故答案为：6n+2．【点评】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现所需小棒的根数依次增加6是解题的关键．11．（2025•长沙一模）如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第2025个正方形的面积为22024．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】22024．【分析】根据所给变换方式，依次求出正方形的面积，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，第1个正方形的面积为1，第2个正方形的面积为2，第3个正方形的面积为4，…，所以第n个正方形的面积为2n﹣1．当n＝2025时，第2025个正方形的面积为22024．故答案为：22024．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能通过计算发现第n个正方形的面积为2n﹣1是解题的关键．12．（2025•天山区校级三模）若a2﹣a﹣1＝0，则代数式3a2﹣3a+7的值为10．【考点】代数式求值．【专题】整体思想；整式；运算能力．【答案】10．【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1，∴原式＝3（a2﹣a）+7＝3×1+7＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．13．（2025•任城区二模）对于正数x，规定f（x）=x1+x，例如f（2）=21+2=23，则f(12025)+f(12024)+⋯+f(12)+f（1【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；代数式求值．【专题】规律型；运算能力．【答案】2024.5．【分析】先发现f(x)+f(1【解答】解：由条件可得f(1x)=∴f(x)+f(1∴原式=[f(＝1+1+1+⋯+1+0.5＝2024.5，故答案为：2024.5．【点评】本题主要考查了运算的规律、分式的混合运算等知识点，发现f(x)+f(114．（2025•碑林区校级模拟）数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有n个点时，可分得三角形的个数为2n+3．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，当五边形内有1个点时，可分得的三角形的个数为：5＝1×2+3；当五边形内有2个点时，可分得的三角形的个数为：7＝2×2+3；当五边形内有3个点时，可分得的三角形的个数为：9＝3×2+3；…，所以当五边形内有n个点时，可分得的三角形的个数为（2n+3）个．故答案为：2n+3．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键．15．（2025•海伦市模拟）如图，已知∠MON＝30°，点A1在射线ON上，过点A1作A1B1⊥ON交OM于点B，过点B1作B1A2⊥OM交ON于点A2，过点A2作A2B2⊥ON交OM于点B2，过点B2作B2A3⊥OM交ON于点A3，若OA1=3，A2025B2025的长为【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型；运算能力．【答案】(4【分析】先求出A1B1，A2B2，A3B3的值，找出规律An【解答】解：∵∠MON＝30°，A1B1⊥ON，OA∴A1B1=OA1tan∠O=1=(43)1-1∴A2B1∴A2B2∴A3B2∴A3B3∴A4B3……，发现规律：An∴A2025故答案为：(4【点评】本题考查了图形的变化规律探究，解直角三角形，找到变换规律是解题的关键．16．（2025•五华区一模）求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中记载了求两个正整数最大公约数的一种方法——“更相减损术”．原文意思是，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．例如：求168与72的最大公约数，运算步骤如下：第一步：168﹣72＝96；第二步：96﹣72＝24；第三步：72﹣24＝48；第四步：48﹣24＝24．经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24．若两个正整数经过“更相减损术”的三步运算，所求得的最大公约数为a，且这两个数中的一个大于另一个的3倍，则这两个正整数中较大的数是4a．（用含a的代数式表示）【考点】规律型：数字的变化类；数学常识；列代数式．【专题】规律型；运算能力．【答案】4a．【分析】设两个正整数中较小的数为b，则较大的数为4b，按照“更相减损术”进行三步运算，即可得到a与b的关系，从而求得较大数．【解答】解：设两个正整数中较小的数为b，则较大的数为4b，按照“更相减损术”进行三步运算可得：根据题意得：4b﹣b＝3b，3b﹣b＝2b，2b﹣b＝b；则b＝a，∴较大的数为4a．故答案为：4a．【点评】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．17．（2025•厦门模拟）某镇为发展农业经济，对10km的农产品运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的akm/h提升到32akm/h.计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为103ah.【考点】列代数式．【专题】整式；运算能力．【答案】103ah【分析】根据时间＝路程÷速度分别求出提速前后所用的时间并求差即可．【解答】解：10a-10∴该货车在该运输通道上行驶节约的时间为103ah故答案为：103ah【点评】本题考查列代数式，掌握时间、路程、速度之间的关系是解题的关键．18．（2025•碑林区校级模拟）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，通常根据碳原子的个数被命名为甲烷，乙烷，丙烷…（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷，十二烷…）．甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十三烷的化学式为C13H28．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】C13H28．【分析】根据题意，依次求出有机化合物的化学式，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，甲烷的化学式为：CH4，乙烷的化学式为：C2H6，丙烷的化学式为：C3H8，…，所以n烷的化学式可表示为∁nH2n+2（n为大于10的整数）．当n＝13时，十三烷的化学式为C13H28．故答案为：C13H28．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现n烷的化学式可表示为∁nH2n+2（n为大于10的整数）是解题的关键．19．（2025•渝中区二模）在一组互不相等的正整数a1，a2，a3，⋯，an中任意提取m（1＜m＜n）个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为1+2+3+4+5＝15，（1+2+4）+1×2×4＝15，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，则提取的数字可以是6、7（答案不唯一）（写一种情况即可），共有3种完美提取（注：提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．【考点】规律型：数字的变化类；二元一次方程组的应用；有理数的混合运算．【专题】规律型；运算能力．【答案】6、7（答案不唯一）；3．【分析】按照定义判断列方程求解即可．【解答】解：由条件可知当提取2个数a和b时，不妨设a＜b，则a+b+ab＝55，a＝1时，1+b+b＝55，则2b＝54，则b＝27（舍去），a＝2时，2+b+2b＝55，则3b＝53（舍去），a＝3时，3+b+3b＝55，则4b＝52，则b＝13（舍去），a＝4时，4+b+4b＝55，则5b＝51（舍去），a＝5时，5+b+5b＝55，则6b＝50（舍去），a＝6时，6+b+6b＝55，则7b＝49，则b＝7（符合题意），a＝7时，7+b+7b＝55，则8b＝48，则b＝6＜a（舍去），当提取3个数a、b和c时，不妨设a＜b＜c，则a+b+c+abc＝55，a＝1时，b+c+bc＝54，则b=4c=10a＝2时，b+c+2bc＝53（舍去），a＝3时，b+c+3bc＝52（舍去），当提取4个数时，因为2×3×4×5＝120＞55，则必定提取1、2，1+2+3+4+1×2×3×4＝34＜55（舍去），1+2+3+5+1×2×3×5＝41＜55（舍去），1+2+3+6+1×2×3×6＝48＜55（舍去），1+2+3+7+1×2×3×7＝55（符合题意），1+2+4+5+1×2×4×5＝52＜55（舍去），1+2+4+6+1×2×4×6＝61＞55（舍去），综上，提取的数字可以是6、7或1、4、10或1、2、3、7共3种．故答案为：6、7（答案不唯一）；3．【点评】本题考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用．熟练掌握以上知识点是关键．20．（2025•大兴区一模）小瑞同学打开一盒全新的扑克牌，里面有54张普通牌和一张广告牌．他要用这些牌玩一个游戏，先将所有的牌随机分成五堆，清点后分别为6张，11张，16张，13张，9张，将每堆牌的张数由小到大排序后用有序数组记为（6，9，11，13，16）．接下来开始进行第一次操作：从每堆牌中分别抽取一张，抽出的牌组成新的一堆牌，这时将每堆牌的张数由小到大进行排序，记录下新的有序数组（若在某次操作中某一堆牌抽取后剩余牌的张数为0时，此时0不写入该有序数组，该堆自动消失）．重复上述方法进行第二次操作，第三次操作…（1）写出第二次操作后记录的有序数组（4，4，6，7，9，11，14）；（2）经过若干次这样的操作后，小瑞同学发现记录的有序数组不再发生变化，这时的牌有10堆．【考点】规律型：数字的变化类；有理数大小比较．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】（1）（4，4，6，7，9，11，14）；（2）10．【分析】（1）根据所给操作方法，写出第二次操作后的记录即可解决问题．（2）根据所给操作方法，依次写出所得有序数组，发现规律即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，第一次操作后的有序数组为：（5，5，8，10，12，15）；第二次操作后的有序数组为：（4，4，6，7，9，11，14）；故答案为：（4，4，6，7，9，11，14）．（2）由题知，后续操作的有序数组依次为（3，3，5，6，7，8，10，13）；（2，2，4，5，6，7，8，9，12）；（1，1，3，4，5，6，7，8，9，11）；（2，3，4，5，6，7，8，10，10）；…，（2，3，4，5，6，7，8，9，11）；（1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）；（1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）；…，所以当有序数组不再变化时，这时牌有10堆．故答案为：10．【点评】本题主要考查了数字变化的规律及有理数大小比较，能根据所给操作方式依次写出所得有序数组并发现规律是解题的关键．三．解答题（共5小题）21．（2025•安徽二模）在汪老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动．【观察发现】老师提供了下列一组等式：第1个等式：2×1+1＝22﹣12；第2个等式：2×2+1＝32﹣22；第3个等式：2×3+1＝42﹣32；第4个等式：2×4+1＝52﹣42；…第n个等式可写为：2n+1＝（n+1）2﹣n2．睿明同学将这n个等式两边分别相加，可得到公式：1+2+3+…+n＝n(n+1)2【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式．第1个等式：3×（12+1）+1＝23﹣13；第2个等式：3×（22+2）+1＝33﹣23；第3个等式：3×（32+3）+1＝43﹣33；第4个等式：3×（42+4）+1＝53﹣43；…【问题解决】（1）请你补充完整睿明同学发现的公式；（2）请你写出【类比推广】中的第5个等式：3×（52+5）+1＝63﹣53；猜想第n个等式：3（n2+n）+1＝（n+1）3﹣n3，并证明这个猜想；（3）请你根据上述探究思路和成果，直接写出关于12+22+32+⋯+n2的公式．【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型；运算能力．【答案】（1）n(n+1)2（2）3×（52+5）+1＝63﹣53；3（n2+n）+1＝（n+1）3﹣n3；证明见解答；（3）n(n+1)(2n+1)6【分析】（1）根据有理数的加法运算法则求解；（2）根据题中的等式中的数字规律求解；（3）把（2）中个等式相加求解．【解答】解：（1）将这n个等式两边分别相加得：2（1+2+……+n）+n＝（n+1）2﹣1，∴1+2+……+n=n(n+1)故答案为：n(n+1)2（2）∵第1个等式：3×（12+1）+1＝23﹣13；第2个等式：3×（22+2）+1＝33﹣23；第3个等式：3×（32+3）+1＝43﹣33；第4个等式：3×（42+4）+1＝53﹣43；第5个等式：3×（52+5）+1＝63﹣53；……；∴第n个等式：3（n2+n）+1＝（n+1）3﹣n3；证明：∵左边＝3n2+3n+1，右边＝n3+3n2+3n+1﹣n3＝3n2+3n+1，∴3（n2+n）+1＝（n+1）3﹣n3；故答案为：3×（52+5）+1＝63﹣53；3（n2+n）+1＝（n+1）3﹣n3；（3）把（2）中的等式相加得：3（12+22+32+……n2+1+2+3+……n）+n＝（n+1）3﹣1，∴12+22+32+……n2=13[（n+1）3﹣1﹣n=n(n+1)(2n+1)【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律和掌握整式的运算是解题的关键．22．（2025•盐池县一模）某公司对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：燃油车纯电新能源车油箱容积：48升电池容量：90千瓦时油价：8元/升电价：0.6元/千瓦时（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．请分别求出这两款车的每千米行驶费用．【考点】列代数式．【专题】分式；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意，用含a的代数式分别表示出两款车每千米行驶的费用即可．（2）根据题意，建立关于a的方程，求出a的值即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，燃油车每千米的耗油量为48a所以燃油车每千米行驶的费用为48a纯电新能源车每千米的耗电量为90a所以纯电新能源车每千米行驶的费用为90a（2）由题知，384a解得a＝600，经检验a＝600是原方程的解且符合题意，则384a=0.64，答：燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元．【点评】本题主要考查了列代数式，能用a分别表示出两款车每千米行驶的费用是解题的关键．23．（2025•合肥一模）宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞”数字，数学兴趣小组在研究“黑洞”数字时，在0到9之间，任取一组不全相等的三个数字，从大到小排列得到最大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，再按照上述方式重新排列，再相减，再得到一个新数…一直重复操作，例如．第1组：数字1，2，0，则210﹣12＝198；第2组：数字1，9，8，则981﹣189＝792；第3组：数字7，9，2，则972﹣279＝693；第4组：数字6，9，3，则963﹣369＝594．（1）根据规律，补充第4组横线的内容；（2）小组成员A发现：任取这样一组不全相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个固定的“黑洞“数字，这个数是495；（3）小组成员B发现：在上述“重排求整“操作中，最大数和最小数的差能被99整除，推过程如下：设一组三个数字为a，b，c，不妨设a≥b≥c，且a，b，c不全相等，最大数可表示为（100a+10b+c），最小数可表示为（100c+10b+a），则最大数﹣最小数＝99（（a﹣c）），所以最大数和最小数的差能被99整除．【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型；运算能力．【答案】（1）963﹣369＝594；（2）495；（3）（100a+10b+c），（100c+10b+a），（a﹣c）．【分析】（1）根据题中方法计算求解；（2）继续计算，找出规律；（3）根据整式的运算法则列式计算．【解答】解：（1）第4组：数字6，9，3，则963﹣369＝594，故答案为：963﹣369＝594；（2）第5组为：954﹣459＝495，第6组为：954﹣459＝495，……，∴这个数为495，故答案为：495；（3）设一组三个数字为a，b，c，不妨设a≥b≥c，且a，b，c不全相等，则最大数可表示为（100a+10b+c），最小数可表示为（100c+10b+a），则最大数﹣最小数＝（100a+10b+c）﹣（100c+10b+a）＝99（a