2027届高三数学一轮复习课件：第一章　1.3　不等式的性质与解法

第一章集合、常用逻辑用语与不等式1.3不等式的性质与解法知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点1不等式的性质1.不等式的性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a可逆传递性a>b,b>c⇒a>c同向可加性a>b⇔a+c>b+c可逆可乘性a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bcc的符号同向可加性a>b,c>d⇒a+c>b+d同向同向同正可乘性a>b>0,c>d>0⇒ac>bd同向同正可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2)同正可开方性a>b>0⇒

>

(n∈N,n≥2)同正2.不等式的倒数和分数性质(1)倒数性质:a>b,ab>0⇒

<

;a<0<b⇒

<

.(2)分数性质:若a>b>0,m>0,则

<

(糖水不等式);

>

(b-m>0);

>

;

<

(b-m>0).知识点2不等式的解法1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象

ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个相异实根x1,x2(x1<x2)有两个相等实根x1=x2=-

没有实根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}

x

x≠-

Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀注意在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次项系数a<0,则可先根据不等式的性质,将

其转化为正数,再对照上表求解.2.分式不等式的解法(1)

>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0);(2)

≥0(≤0)⇔

3.绝对值不等式的解法|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);|x|<a(a>0)的解集为(-a,a).即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)若a>b,则ac2>bc2.

()(2)设a,b∈R,且a>b,则a3>b3.

()(3)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)的解集为空集,则函数y=ax2+bx+c无零点.

()(4)若a<b<0,则

<1.

()

✕

√

√

✕

2.(人教A版必修第一册P55习题T1改编)不等式-x2+2x-4>0的解集为

()A.R

B.⌀C.{x|x>0,x∈R}

D.{x|x<0,x∈R}

B

3.(易错题)已知a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],则4a-2b的取值范围是

()A.[1,5]

B.[2,7]

C.[1,6]

D.[0,9]

B

4.(人教A版必修第一册P43习题T3改编)已知a,b∈(0,1),记M=ab,N=a+b-1,则M与N的大

小关系是___________.

M>N

考点清单考点1不等式的性质角度1不等式的基本性质典例1

(多选)(2025届山东临沂二模,9)已知a>b>c,则下列不等式正确的是

(

)A.

<

B.ab2>cb2C.a+b>c

D.a2+c2>b2

AD

解析对于A【作差法】,

-

=

=

,因为a>b>c,所以c-b<0,a-c>0,a-b>0,即

<0,所以

<

,故A正确;对于B,ab2-cb2=b2(a-c),当b=0时不等式不成立,故B错误;对于C【举反例】,取a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,但a+b=c,故C错误;对于D【分情况讨论】,若a>b=0>c,则a2+c2>b2=0显然成立,若a>b>0>c,则a2+c2>a2>b2成立,若a>0>b>c,则a2+c2>c2>b2成立.综上,a2+c2>b2.故D正确.故选AD.易错提醒

1.a>b⇒ac>bc或a<b⇒ac<bc,对于c≤0不成立;2.a>b⇒

<

或a<b⇒

>

,对于ab>0才成立;3.a>b⇒

>

,对于正数a,b才成立;4.

>1⇔a>b,对于正数a,b才成立.在使用不等式的性质时,一定要注意它们成立的条件.变式训练1.(情境模型变式)(2025届广东江门调研,3)下列命题为真命题的是

()A.若a>b>c>0,则

<

B.若a>b>0,c<0,则

<

C.若a>b>0,则ac2>bc2D.若a>b,则a>

>b

D

解析对于A,

-

=

=

,因为a>b>c>0,所以a-b>0,b(b+c)>0,所以

-

>0,即

>

,故A错误;【根据不等式的性质用作差法比较大小】对于B,因为a>b>0,所以

<

,又c<0,所以

>

,故B错误;对于C,当c=0时,ac2=bc2=0,故C错误;对于D,若a>b,则2a>a+b,a+b>2b,所以a>

>b,故D正确.故选D.角度2两个数(式)的大小比较典例2

(多选)(2025届湖北考前压轴卷(二),10)若0<a<b<1,则

(

)A.

>

B.a+lnb>b+lnaC.2a+2b>2a+b

D.a·sinb>b·sina

BC

解析对于A【作差法】,因为0<a<b<1,所以b-a>0,b>0,b-1<0,所以

-

=

=

<0,所以

<

,A错误;对于B【构造函数法】,记f(x)=x-lnx,0<x<1,则f'(x)=1-

=

<0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,又0<a<b<1,所以f(a)>f(b),即a-lna>b-lnb,即a+lnb>b+lna,B正确;对于C【作商法】,因为0<a<b<1,所以1<2a<2b<2,1<2a+b<4,所以

=

+

≥2

,因为a≠b,所以等号不成立,则

>1,所以2a+2b>2a+b,C正确;对于D【构造函数法】,记g(x)=

,0<x<1,则g'(x)=

,记h(x)=xcosx-sinx,0<x<1,则sinx>0,故h'(x)=-xsinx<0,所以h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)<h(0)=0,则g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,又0

<a<b<1,所以g(a)>g(b),即

>

,即a·sinb<b·sina,D错误.故选BC.方法总结比较两个数(式)大小的方法1.作差法,步骤:作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论.注意:含根号的式子作差时一般先乘方,再作差.2.作商法,步骤:作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论.3.构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小.4.赋值法和排除法:可以多次取特殊值,根据特殊值比较大小,从而得出结论.变式训练2.(关键元素变式)(多选)(2025届河南许平汝名校三模,9)已知log2a>log2b,c为实数,则

下列不等式正确的是

(

)A.

>

B.ac2>bc2C.

+

>2

D.a-sina<b-sinb

AC

解析由题意可得a>b>0.A项,由y=

单调递增,知

>

,故A正确;B项,c=0时B不正确;C项,由a>0,b>0,得

+

≥2

=2,当且仅当a=b时等号成立,但a>b>0,∴等号不成立,故C正确;D项,构造函数y=x-sinx,则y'=1-cosx≥0,∴y=x-sinx单调递增,又a>b>0,∴a-sina>b-sinb,

故D不正确.故选AC.角度3利用不等式的性质求取值范围典例3

(2025届安徽淮南第二中学第一次考试,4)已知0<x+y<5,2<x-y<3,则2x-3y的取值

范围是

()A.

B.

C.

D.

C

解析设2x-3y=m(x+y)+n(x-y),则有2x-3y=(m+n)x+(m-n)y,【利用整体思想来表示所求式子】即

解得

由0<x+y<5,2<x-y<3,得-

<-

(x+y)<0,5<

(x-y)<

,两同向不等式相加得-

+5<-

(x+y)+

(x-y)<0+

,化简得

<2x-3y<

,故选C.方法总结利用不等式的性质求取值范围的方法由a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d,求F(x,y)的取值范围,可利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x,y)

+ng(x,y)(或其他形式),通过恒等变形求得m,n的值,再利用不等式的同向可加性和可乘

性求得F(x,y)的取值范围.变式训练3.(关键元素变式)设x,y为实数,满足3≤xy2≤8,4≤

≤9,则

的最大值为

()A.27

B.24

C.12

D.32

A

解析易知

=

·

,由3≤xy2≤8,得

≤

≤

,又4≤

≤9,所以16≤

≤81,所以

×16≤

·

≤

×81,即2≤

≤27,所以

的最大值为27.故选A.考点2不等式的解法角度1一元二次不等式的解法典例4不等式-2x2+3x+7<0的解集为__________________________.

-∞,  ∪  ,+∞ 

解析由题意可得2x2-3x-7>0,令2x2-3x-7=0,得x=

或x=

,所以不等式的解集为

-∞,

∪

,+∞

.典例5

(2026届江西赣州中学开学考,16)已知二次函数f(x)=ax2-4x+3.(1)若f(x)<0的解集为{x|1<x<b},分别求a,b的值;(2)解关于x的不等式f(x)>2ax-2x-1.解析

(1)由f(x)<0的解集为{x|1<x<b},得1,b是方程f(x)=0的根,且a>0,由f(1)=a-4+3=0,解得a=1,由1+b=

=4【根与系数的关系】,解得b=3,所以a=1,b=3.(2)由f(x)=ax2-4x+3是二次函数知a≠0.将不等式f(x)>2ax-2x-1整理得ax2-(2+2a)x+4>0,即

(ax-2)(x-2)>0,当a>0时,不等式等价于

(x-2)>0,【注意根的大小,讨论

与2的大小关系】当

>2,即0<a<1时,解得x<2或x>

;当

=2,即a=1时,解得x≠2;当

<2,即a>1时,解得x<

或x>2;当a<0时,不等式等价于

(x-2)<0,解得

<x<2,所以当0<a<1时,原不等式的解集为(-∞,2)∪

;当a=1时,原不等式的解集为(-∞,2)∪(2,+∞);当a>1时,原不等式的解集为

∪(2,+∞);当a<0时,原不等式的解集为

.解题技巧解二次项系数含参数的一元二次不等式的步骤

变式训练4.(情境模型变式)已知关于x的不等式组

的整数解的集合为{-2},则实数k的取值范围是______________.

[-3,2)

解析第一步:解不含参数的一元二次不等式x2-x-2>0.由x2-x-2>0,解得x<-1或x>2.第二步:解含参数的一元二次不等式2x2+(2k+5)x+5k<0,根据根的大小对k进行分类讨论.2x2+(2k+5)x+5k<0,即(2x+5)(x+k)<0.(1)当k=

时,不等式为2

<0,所以不等式无解,不符合题意,故舍去;(2)当k>

时,由(2x+5)(x+k)<0得-k<x<-

,故不等式的解集为

,因为-

<-2,所以不符合不等式组的整数解的集合为{-2},故舍去;(3)当k<

时,由(2x+5)(x+k)<0得-

<x<-k,若不等式组的整数解的集合为{-2},则由数轴可知-2<-k≤3,解得-3≤k<2.

综上,实数k的取值范围是[-3,2).角度2一元二次不等式恒成立问题典例6

(在R上恒成立)若关于x的不等式mx2-mx+1>0对任意的x∈R恒成立,则m的取

值范围为_____________.

[0,4)

解析当m=0时,不等式为1>0,恒成立,故m=0满足题意;当m≠0时,

解得0<m<4.综上,m的取值范围是[0,4).解题技巧恒成立问题常见类型及解题策略(1)在R上恒成立,①不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔

或

②不等式ax2+bx+c<0对任