四平市第三高级中学2022-2023学年高二下册6月测试数学试卷（解析版）

四平市第三高级中学2022-2023学年高二下册6月测试数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数\(z=\frac{2i}{1-i}\)（\(i\)为虚数单位），则\(|z|=\)（）A.\(\sqrt{2}\)B.2C.1D.\(2\sqrt{2}\)2.下列函数中，在区间\((0,+\infty)\)上单调递增的是（）A.\(f(x)=x^2-2x\)B.\(f(x)=\lnx-x\)C.\(f(x)=\frac{e^x}{x}\)D.\(f(x)=x-\sinx\)3.已知数列\(\{a_n\}\)为等差数列，\(a_2=3\)，\(a_5=9\)，则数列\(\{a_n\}\)的公差为（）A.1B.2C.3D.44.曲线\(y=x^3-2x+1\)在点\((1,0)\)处的切线方程为（）A.\(y=x-1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=2x-2\)D.\(y=-2x+2\)5.已知随机变量\(X\)服从正态分布\(N(2,\sigma^2)\)，且\(P(X\leq4)=0.84\)，则\(P(X\leq0)=\)（）A.0.16B.0.32C.0.68D.0.846.下列命题中，正确的是（）A.若\(f'(x_0)=0\)，则\(x_0\)是函数\(f(x)\)的极值点B.若函数\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，则\(f(x)\)在\(x_0\)处连续C.若函数\(f(x)\)在\(x_0\)处连续，则\(f(x)\)在\(x_0\)处可导D.若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上单调递增，则\(f'(x)\geq0\)在\([a,b]\)上恒成立7.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^2-2n\)，则\(a_5=\)（）A.5B.7C.9D.118.函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的极大值为（）A.2B.3C.4D.59.已知一组数据\(1,2,3,4,5\)的方差是\(2\)，则另一组数据\(11,12,13,14,15\)的方差为（）A.2B.4C.10D.1210.设函数\(f(x)=e^x-ax-1\)（\(a\inR\)），若\(f(x)\geq0\)对任意\(x\inR\)恒成立，则\(a\)的取值范围是（）A.\((-\infty,1]\)B.\((-\infty,e]\)C.\([1,+\infty)\)D.\([e,+\infty)\)11.已知等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_4=8\)，则数列\(\{a_n\}\)的前\(5\)项和\(S_5=\)（）A.15B.31C.63D.12712.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2人参加活动，则选中的2人都是男生的概率为（）A.\(\frac{3}{10}\)B.\(\frac{3}{5}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{2}{5}\)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.复数\((1+2i)(3-i)\)的实部为__________。14.已知函数\(f(x)=\lnx+x^2\)，则\(f'(1)=\)__________。15.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_3+a_5=15\)，则\(a_3=\)__________。16.从装有2个红球和3个白球的袋子中任取2个球，其中至少有1个红球的概率为__________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知复数\(z=m+(m-1)i\)（\(m\inR\)），其中\(i\)为虚数单位。（1）若\(z\)为实数，求\(m\)的值；（2）若\(z\)在复平面内对应的点位于第四象限，求\(m\)的取值范围。18.（本小题满分12分）已知数列\(\{a_n\}\)是等差数列，且\(a_1=2\)，\(a_1+a_2+a_3=12\)。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）求数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)，并求\(S_{10}\)的值。19.（本小题满分12分）已知函数\(f(x)=x^3-3x+1\)。（1）求函数\(f(x)\)的单调区间；（2）求函数\(f(x)\)在区间\([-2,2]\)上的最值。20.（本小题满分12分）某学校高二学生共有1000人，其中男生600人，女生400人。为了解学生的数学学习情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中男生60人，女生40人，调查结果显示，男生中数学成绩优秀的有18人，女生中数学成绩优秀的有12人。（1）根据以上数据，完成下面的列联表；（2）判断是否有95%的把握认为“学生的数学成绩优秀与性别有关”。参考公式：\(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，其中\(n=a+b+c+d\)。参考数据：\(P(\chi^2\geqk_0)\)0.050.010.001\(k_0\)3.8416.63510.82821.（本小题满分12分）已知等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_5=16\)。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）若数列\(\{b_n\}\)满足\(b_n=\log_2a_n\)，求数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。22.（本小题满分12分）已知函数\(f(x)=e^x-x^2-ax\)。（1）若函数\(f(x)\)在\(x=0\)处的切线方程为\(y=1\)，求\(a\)的值；（2）若函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，求\(a\)的取值范围。四、解析说明一、选择题1.【答案】A【解析】\(z=\frac{2i}{1-i}=\frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i+2i^2}{1-i^2}=\frac{-2+2i}{2}=-1+i\)，则\(|z|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}\)，故选A。2.【答案】D【解析】A选项，\(f(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1\)，在\((0,1)\)上单调递减，不符合；B选项，\(f'(x)=\frac{1}{x}-1\)，当\(x>1\)时，\(f'(x)<0\)，单调递减，不符合；C选项，\(f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}\)，当\(0<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，单调递减，不符合；D选项，\(f'(x)=1-\cosx\geq0\)恒成立，且仅在\(x=2k\pi\)（\(k\inZ\)）时等号成立，故在\((0,+\infty)\)上单调递增，故选D。3.【答案】B【解析】设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)，则\(a_5=a_2+3d\)，即\(9=3+3d\)，解得\(d=2\)，故选B。4.【答案】A【解析】\(y'=3x^2-2\)，则在点\((1,0)\)处的切线斜率\(k=3\times1^2-2=1\)，切线方程为\(y-0=1\times(x-1)\)，即\(y=x-1\)，故选A。5.【答案】A【解析】正态分布\(N(2,\sigma^2)\)的对称轴为\(x=2\)，由对称性可知\(P(X\leq0)=P(X\geq4)=1-P(X\leq4)=1-0.84=0.16\)，故选A。6.【答案】B【解析】A选项，若\(f'(x_0)=0\)，\(x_0\)不一定是极值点，如\(f(x)=x^3\)，\(f'(0)=0\)，但0不是极值点，错误；B选项，可导必连续，正确；C选项，连续不一定可导，如\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)处连续，但不可导，错误；D选项，单调递增则\(f'(x)\geq0\)，但反之不成立，且题干表述为“单调递增则\(f'(x)\geq0\)恒成立”，正确表述应为“单调递增则\(f'(x)\geq0\)恒成立”，但选项D的逻辑是“若单调递增，则\(f'(x)\geq0\)”，本身正确？此处修正：D选项表述正确，但结合选项，B选项更严谨（可导必连续是定理），且D选项中“单调递增”与“\(f'(x)\geq0\)”是充要条件吗？不，是必要不充分，但若选项D表述为“若单调递增，则\(f'(x)\geq0\)”，则正确。但结合本题，B选项一定正确，故选B。7.【答案】B【解析】\(a_5=S_5-S_4=(5^2-2\times5)-(4^2-2\times4)=(25-10)-(16-8)=15-8=7\)，故选B。8.【答案】A【解析】\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x<0\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增；当\(0<x<2\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减；当\(x>2\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。故极大值为\(f(0)=0-0+2=2\)，故选A。9.【答案】A【解析】一组数据加上同一个常数，方差不变，故数据\(11,12,13,14,15\)是数据\(1,2,3,4,5\)每个数加10得到的，方差仍为2，故选A。10.【答案】A【解析】\(f'(x)=e^x-a\)，当\(a\leq0\)时，\(f'(x)>0\)恒成立，\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，且\(f(-\infty)\to-\infty\)，不满足\(f(x)\geq0\)恒成立；当\(a>0\)时，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=\lna\)，此时\(f(x)\)在\((-\infty,\lna)\)上单调递减，在\((\lna,+\infty)\)上单调递增，最小值为\(f(\lna)=e^{\lna}-a\lna-1=a-a\lna-1\)。令\(g(a)=a-a\lna-1\)，则\(g'(a)=1-(\lna+1)=-\lna\)，当\(0<a<1\)时，\(g'(a)>0\)，\(g(a)\)单调递增；当\(a>1\)时，\(g'(a)<0\)，\(g(a)\)单调递减，故\(g(a)_{\max}=g(1)=0\)，因此\(g(a)\geq0\)的充要条件是\(a=1\)，综上，\(a\leq1\)，故选A。11.【答案】B【解析】设等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q\)，则\(a_4=a_1q^3\)，即\(8=1\timesq^3\)，解得\(q=2\)。前5项和\(S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{1\times(1-32)}{1-2}=31\)，故选B。12.【答案】A【解析】从5人中任选2人，总共有\(C_5^2=10\)种情况；选中的2人都是男生，有\(C_3^2=3\)种情况，故概率为\(\frac{3}{10}\)，故选A。二、填空题13.【答案】5【解析】\((1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i^2=3+5i+2=5+5i\)，实部为5。14.【答案】3【解析】\(f'(x)=\frac{1}{x}+2x\)，则\(f'(1)=1+2\times1=3\)。15.【答案】5【解析】等差数列中，\(a_1+a_3+a_5=3a_3=15\)，故\(a_3=5\)。16.【答案】\(\frac{7}{10}\)【解析】总情况数为\(C_5^2=10\)，至少有1个红球的对立事件是2个都是白球，有\(C_3^2=3\)种情况，故至少有1个红球的概率为\(1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}\)。三、解答题17.【解析】（1）若\(z\)为实数，则虚部为0，即\(m-1=0\)，解得\(m=1\)。（5分）（2）\(z\)在复平面内对应的点为\((m,m-1)\)，位于第四象限，则\(\begin{cases}m>0\\m-1<0\end{cases}\)，解得\(0<m<1\)，故\(m\)的取值范围为\((0,1)\)。（10分）18.【解析】（1）设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)，由\(a_1+a_2+a_3=12\)，得\(3a_2=12\)，即\(a_2=4\)。又\(a_1=2\)，则\(d=a_2-a_1=4-2=2\)，故通项公式为\(a_n=a_1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n\)。（6分）（2）前\(n\)项和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2+2n)}{2}=n(n+1)=n^2+n\)，则\(S_{10}=10^2+10=110\)。（12分）19.【解析】（1）\(f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)，令\(f'(x)>0\)，解得\(x<-1\)或\(x>1\)；令\(f'(x)<0\)，解得\(-1<x<1\)。故函数\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty,-1)\)，\((1,+\infty)\)，单调递减区间为\((-1,1)\)。（6分）（2）计算区间\([-2,2]\)上的极值和端点值：\(f(-2)=(-2)^3-3(-2)+1=-8+6+1=-1\)；\(f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3\)；\(f(1)=1^3-3\times1+1=1-3+1=-1\)；\(f(2)=2^3-3\times2+1=8-6+1=3\)。故函数\(f(x)\)在区间\([-2,2]\)上的最大值为3，最小值为-1。（12分）20.【解析】（1）列联表如下：优秀非优秀合计男生184260女生122840合计3070100（6分）（2）由列联表数据，计算\(\chi^2=\frac{100\times(18\times28-42\times12)^2}{60\times40\times30\times70}=\frac{100\times(504-504)^2}{60\times40\times30\times70}=0\)。因为\(0<3.841\)，所以没有95%的把握认为“学生的数学成绩优秀与性别有关”。（12分）21.【解析】（1）设等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q\)，则\(a_5=a_2q^3\)，即\(16=2q^3\)，解得\(q^3=8\)，\(q=2\)。又\(a_2=a_1q=2\)，则\(a_1=1\)，故通项公式为\(a_n=a_1q^{n-1}=2^{n-1}\)。（6分）（2）由\(b_n=\log_2a_n=\log_22^{n-1}=n-1\)，可知数列